CARA CEPAT MENYELESAIKAN PERTIDAKSAMAAN HARGA MUTLAK

September 28th, 2016

harga_mutlak

Barangkali adik-adik di tingkat SMA pernah mendapatkan soal untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan yang mengandung harga mutlak (absolute value) seperti contoh berikut.

 

Contoh 1

Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi: delim{|}{x ~-~ 3}{|} ~ < ~7, dengan x ∊ ℝ.

 

Cara yang diajarkan di sekolah atau di buku-buku SMA, biasanya adalah dengan mengkuadratkan kedua ruas sehingga muncul suatu pertidaksamaan kuadrat, yaitu sebagai berikut.

{delim{|}{x ~-~ 3}{|}}^2 ~ < ~7^2

x^2 ~-~ 6x ~+~ 9 ~ < ~ 49

x^2 ~-~ 6x ~-~ 40 ~ < ~ 0

(x ~+~ 4)(x ~-~ 10) ~ < ~ 0

Pembuat nol: x1 = -4 dan x2 = 10

Uji tanda:

pertidaksamaan_hm_1

Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah x ∊ ℝ yang memenuhi -4 < x < 10.

Dengan kata lain, himpunan penyelesaiannya (HP) adalah: HP = {x ∊ ℝ∣ -4 < x < 10}.

 

Cara di atas cukup panjang, apabila dibandingkan dengan cara berikut.

delim{|}{x ~-~ 3}{|} ~ < ~7

⇔ -7 < x – 3 < 7

⇔ -4 < x < 10 (jawaban yang sama dengan penyelesaian di atas)

 

Apa yang menjadi dasar berpikir penyelesaian cara cepat tersebut? Ini dijawab dalil berikut.

 

Dalil 1

Misalkan a, u ∊ ℝ dan a > 0. Maka berlakulah pernyataan-pernyataan berikut:

u∣ < a jika dan hanya jika –a < u < a ……………………………………………………………… (1a)

u∣ > a jika dan hanya jika u > a atau u < –a …………………………………………………….. (2a)

 

Dalil lain yang serupa, yang dapat membantu mempercepat penyelesaian pertidaksamaan harga mutlak adalah:

 

Dalil 2

Misalkan a, u ∊ ℝ dan a ≥ 0. Maka berlakulah pernyataan-pernyataan berikut:

u∣ ≤ a jika dan hanya jika –aua ……………………………………………………………… (1b)

u∣ ≥ a jika dan hanya jika ua atau u ≤ –a …………………………………………………….. (2b)

 

Pada Contoh 1, rumus (1a) digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang diberikan. Substitusikan u = x – 3 dan a = 7 ke dalam (1a), diperoleh:

x – 3∣ < 7

⇔ -7 < x – 3 < 7

Untuk mendapatkan x, jumlahkan ketiga ruas pertidaksamaan di atas dengan 3, diperoleh:

-4 < x < 10

 

Contoh 2

Tentukanlah penyelesaian |2x – 3| > 5 dengan x ∊ ℝ.

Jawab:

Substitusikan u = 2x – 3 dan a = 5 ke dalam (2a), diperoleh:

|2x – 3| > 5 2x – 3 > 5 atau 2x – 3 < -5

|2x – 3| > 5 2x > 8 atau 2x < -2

|2x – 3| > 5 2x > 8 atau 2x < -2

|2x – 3| > 5 x > 4 atau x < -1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = {x ∊ ℝ| x > 4 atau x < -1}

 

Contoh 3

Tentukanlah penyelesaian delim{|}{2 - x}{|} ~ <= ~8, dengan x ∊ ℝ.

Jawab:

Substitusikan u = 2 – x dan a = 8 ke dalam (1b), diperoleh:

|2 – x| = 8

-8 ≤ 2 – x ≤ 8

-10 ≤ -x ≤ 6 (Kemudian, kalikan ketiga ruas dengan -1, untuk mendapatkan x.)

-6 ≤ x ≤ 10

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = {x ∊ ℝ| -6 ≤ x ≤ 10}.

 

Contoh 4

Tentukan himpunan penyelesaian bagi delim{|}{{2x ~-~ 1}/{x ~+~ 2}}{|} ~ < ~1, dengan x ∊ ℝ dan x > -2.

 

Jawab:

delim{|}{{2x ~-~ 1}/{x ~+~ 2}}{|} ~ < ~1 ; x > -2

Kalikan kedua ruas pertidaksamaan tersebut dengan |x + 2|, diperoleh:

|2x – 1| < |x + 2|

Karena x > -2, |x + 2| = x + 2 > 0, sehingga diperoleh:

|2x – 1| < x + 2

Karena x + 2 > 0, kita boleh menggunakan (1a) sehingga pertidaksamaan terakhir tadi menjadi:

-(x + 2) < 2x – 1 < x + 2

Pertidaksamaan ini ekivalen dengan I) -(x + 2) < 2x – 1 dan II) 2x – 1 < x + 2

Pertidaksamaan I) menghasilkan x > – ⅓ dan II) menghasilkan x < 3. Namun, diketahui pula bahwa x > -2. Semua penyelesaian dan syarat ini dapat dilukiskan dalam gambar berikut.

irisan_solusi

Solusi masalah ini diwakili oleh daerah berarsir di atas, sehingga:

HP = {x ∊ ℝ∣ – ⅓ < x < 3}

 

Catatan:

Untuk Contoh 4 terdapat banyak alternatif penyelesaian yang juga cepat. Yang disajikan di atas sekedar contoh variasi soal yang dapat diselesaikan dengan bantuan dalil-dalil di atas.

 

 

 

Tagging: , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *