FUNGSI SATU-SATU DAN FUNGSI SURJEKTIF
(English version of this article is available at edsmathscholar.com, click here)
Di post saya sebelumnya, saya telah memperkenalkan konsep fungsi dari suatu himpunan ke himpunan lainnya. Kali ini saya akan menjelaskan fungsi satu-satu dan fungsi surjektif.
Fungsi Satu-Satu
Misalkan A dan B masing-masing himpunan dan f suatu fungsi dari A ke B. Fungsi f dikatakan fungsi satu-satu (one-one function) atau fungsi injektif (injective function) apabila berlaku:
f(a) = f(b) ⇒ a =b …………………………………………….. (1)
Dengan bahasa yang lebih sederhana, (1) dapat dinyatakan sebagai setiap anggota daerah asal (domain) yang berbeda memiliki peta yang berbeda pula di daerah kawan (co-domain).
Contoh 1: (Bukan fungsi satu-satu)
Misalkan f: ℝ → ℝ yang didefinisikan sebagai f(x) = x2.
Perhatikan bahwa f(-5) = (-5)2 = 25 dan f(5) = 52 = 25.
Dalam hal ini, f(-5) = f(5), tetapi -5 ≠ 5.
Jadi, pada contoh ini kondisi (1) tidak dipenuhi, sehingga kita simpulkan f bukan fungsi satu-satu.
Contoh 2: (Fungsi satu-satu)
Misalkan g: ℝ → ℝ yang didefinisikan sebagai g(x) = x + 10
g merupakan fungsi satu-satu.
Untuk membuktikan ini, misalkan g(a) = g(b).
Akibatnya, a + 10 = b + 10.
Kurangi kedua ruas dengan 10, diperoleh a = b.
Pada contoh ini, g(a) = g(b) ⇒ a = b. Kondisi (1) dipenuhi, sehingga kita simpulkan g merupakan fungsi satu-satu.
Contoh 3: (bukan fungsi satu-satu)
Misalkan h: ℝ → ℝ yang didefinisikan sebagai h(x) = |x|.
Perhatikan bahwa h(3) = |3| = 3 dan h(-3) = |–3| = 3.
Dalam hal ini, h(3) = h(-3) namun -3 ≠ 3.
Jadi, pada contoh ini kondisi (1) tidak dipenuhi, sehingga kita simpulkan h bukan fungsi satu-satu.
Contoh 4 (fungsi satu-satu)
Misalkan k: ℝ\{0} → ℝ yang didefinisikan sebagai berikut:
k merupakan fungsi satu-satu. Untuk membuktikan ini, kita misalkan k(a) = k (b).
Akibatnya:
Kalikan kedua ruas dengan ab, diperoleh a = b.
Pada contoh ini, k(a) = k(b) ⇒ a = b. Kondisi (1) dipenuhi, sehingga kita simpulkan k merupakan fungsi satu-satu.
Fungsi Surjektif
Misalkan A dan B masing-masing himpunan dan f suatu fungsi dari A ke B. Fungsi f dikatakan fungsi surjektif (surjective function) atau fungsi pada (onto function) apabila berlaku:
∀b ∊ B ∃a ∊ A f(a) = b …………………………………………….. (2)
(2) dibaca sebagai berikut: untuk setiap b anggota B terdapat a yang merupakan anggota A sedemikian hingga f(a) = b. Dengan bahasa yang lebih sederhana, (2) dapat dinyatakan sebagai berikut: “Setiap anggota daerah kawan (co-domain) memiliki suatu pasangan yang merupakan anggota daerah asal.”
Contoh 5 (bukan fungsi surjektif)
Misalkan f: ℝ → ℝ yang didefinisikan sebagai f(x) = x2.
f bukan fungsi surjektif karena -3 ∊ ℝ (ℝ ini merupakan co-domain f) tetapi tidak ada anggota daerah asal a ∊ ℝ sedemikian hingga f(a) = a2 = -3. Jadi, pada kasus ini kondisi (2) tidak dipenuhi, sehingga kita simpulkan f bukan fungsi surjektif.
Contoh 6 (fungsi surjektif)
Misalkan g: ℝ → ℝ yang didefinisikan sebagai g(x) = x + 10
g merupakan fungsi surjektif karena setiap anggota daerah kawan, yaitu ℝ, memiliki pasangan yang merupakan anggota daerah asal (ℝ). Untuk membuktikan ini, kita misalkan b ∊ ℝ sembarang. Kita mencari anggota daerah asal a ∊ ℝ sedemikian hingga g(a) = b.
Selanjutnya, kita peroleh: a + 10 = b dan a = b – 10.
Karena b ∊ ℝ dan 10 ∊ ℝ, a = (b – 10) ∊ ℝ
Jadi, untuk setiap anggota daerah kawan b terdapat anggota daerah asal a sedemikian hingga g(a) = b. Karena kondisi (2) dipenuhi, kita simpulkan g fungsi surjektif.
Contoh 7 (bukan fungsi surjektif)
Misalkan k: ℝ\{0} → ℝ yang didefinisikan sebagai berikut:
k bukan fungsi surjektif karena terdapat anggota daerah kawan, yaitu 0, yang tidak memiliki pasangan yang merupakan anggota daerah asal. Tidak ada a ∊ ℝ\{0} sedemikian hingga k(a) = 1/a = 0.
Contoh 8 (fungsi surjektif)
Misalkan v: ℝ\{0} → ℝ\{0} yang didefinisikan sebagai berikut:
v merupakan fungsi surjektif karena setiap anggota daerah kawan, yaitu ℝ\{0}, memiliki pasangan yang merupakan anggota daerah asal (ℝ\{0}). Untuk membuktikan ini, kita misalkan b ∊ ℝ\{0} sembarang. Karena b ∊ ℝ\{0}, b ≠ 0. Kita mencari anggota daerah asal a ∊ ℝ\{0} sedemikian hingga v(a) = b. Jadi, kita mencari a ∊ ℝ\{0} sedemikian hingga v(a) = 1/a = b. Dalam hal ini, kita dapat memilih a = 1/b. Dengan mudah dapat diperiksa bahwa v(a) = b. Perhatikan bahwa 1/b ≠ 0 sehingga a ∊ ℝ\{0}. Jadi, untuk setiap anggota daerah kawan b terdapat anggota daerah asal a sedemikian hingga v(a) = b. Karena kondisi (2) dipenuhi, kita simpulkan v fungsi surjektif.
Tagging: one-one function, onto function, surjective function
Saya tidak mengerti dalam fungsi surjektif contoh 5. Kenapa tiba tiba ada angka -3 terus angka -3 di sebut codomain,apakah untuk penentuan codomain angkanya selalu sebarang?
Terimakasih
-3 itu merupakan suatu contoh saja. -3 tersebut merupakan anggota co-domain, tetapi tidak memiliki pasangan di domain-nya. Demikian juga misalnya -4. -4 pun anggota co-domain tetapi tidak memiliki pasangan di domain-nya. Ada tak berhingga contoh lain selain -3 ataupun -4.