CARA CEPAT MENYELESAIKAN PERTIDAKSAMAAN HARGA MUTLAK
September 28th, 2016
Barangkali adik-adik di tingkat SMA pernah mendapatkan soal untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan yang mengandung harga mutlak (absolute value) seperti contoh berikut.
Contoh 1
Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi: , dengan x ∊ ℝ.
Cara yang diajarkan di sekolah atau di buku-buku SMA, biasanya adalah dengan mengkuadratkan kedua ruas sehingga muncul suatu pertidaksamaan kuadrat, yaitu sebagai berikut.
Pembuat nol: x1 = -4 dan x2 = 10
Uji tanda:
Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah x ∊ ℝ yang memenuhi -4 < x < 10.
Dengan kata lain, himpunan penyelesaiannya (HP) adalah: HP = {x ∊ ℝ∣ -4 < x < 10}.
Cara di atas cukup panjang, apabila dibandingkan dengan cara berikut.
⇔ -7 < x – 3 < 7
⇔ -4 < x < 10 (jawaban yang sama dengan penyelesaian di atas)
Apa yang menjadi dasar berpikir penyelesaian cara cepat tersebut? Ini dijawab dalil berikut.
Dalil 1
Misalkan a, u ∊ ℝ dan a > 0. Maka berlakulah pernyataan-pernyataan berikut:
∣u∣ < a jika dan hanya jika –a < u < a ……………………………………………………………… (1a)
∣u∣ > a jika dan hanya jika u > a atau u < –a …………………………………………………….. (2a)
Dalil lain yang serupa, yang dapat membantu mempercepat penyelesaian pertidaksamaan harga mutlak adalah:
Dalil 2
Misalkan a, u ∊ ℝ dan a ≥ 0. Maka berlakulah pernyataan-pernyataan berikut:
∣u∣ ≤ a jika dan hanya jika –a ≤ u ≤ a ……………………………………………………………… (1b)
∣u∣ ≥ a jika dan hanya jika u ≥ a atau u ≤ –a …………………………………………………….. (2b)
Pada Contoh 1, rumus (1a) digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang diberikan. Substitusikan u = x – 3 dan a = 7 ke dalam (1a), diperoleh:
∣x – 3∣ < 7
⇔ -7 < x – 3 < 7
Untuk mendapatkan x, jumlahkan ketiga ruas pertidaksamaan di atas dengan 3, diperoleh:
-4 < x < 10
Contoh 2
Tentukanlah penyelesaian |2x – 3| > 5 dengan x ∊ ℝ.
Jawab:
Substitusikan u = 2x – 3 dan a = 5 ke dalam (2a), diperoleh:
|2x – 3| > 5 ⇔ 2x – 3 > 5 atau 2x – 3 < -5
|2x – 3| > 5 ⇔ 2x > 8 atau 2x < -2
|2x – 3| > 5 ⇔ 2x > 8 atau 2x < -2
|2x – 3| > 5 ⇔ x > 4 atau x < -1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = {x ∊ ℝ| x > 4 atau x < -1}
Contoh 3
Tentukanlah penyelesaian , dengan x ∊ ℝ.
Jawab:
Substitusikan u = 2 – x dan a = 8 ke dalam (1b), diperoleh:
⇔ -8 ≤ 2 – x ≤ 8
⇔ -10 ≤ -x ≤ 6 (Kemudian, kalikan ketiga ruas dengan -1, untuk mendapatkan x.)
⇔ -6 ≤ x ≤ 10
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = {x ∊ ℝ| -6 ≤ x ≤ 10}.
Contoh 4
Tentukan himpunan penyelesaian bagi , dengan x ∊ ℝ dan x > -2.
Jawab:
; x > -2
; x > -2
Kalikan kedua ruas pertidaksamaan tersebut dengan |x + 2|, diperoleh:
|2x – 1| < |x + 2|
Karena x > -2, |x + 2| = x + 2 > 0, sehingga diperoleh:
|2x – 1| < x + 2
Karena x + 2 > 0, kita boleh menggunakan (1a) sehingga pertidaksamaan terakhir tadi menjadi:
-(x + 2) < 2x – 1 < x + 2
Pertidaksamaan ini ekivalen dengan I) -(x + 2) < 2x – 1 dan II) 2x – 1 < x + 2
Pertidaksamaan I) menghasilkan x > – ⅓ dan II) menghasilkan x < 3. Namun, diketahui pula bahwa x > -2. Semua penyelesaian dan syarat ini dapat dilukiskan dalam gambar berikut.
Solusi masalah ini diwakili oleh daerah berarsir di atas, sehingga:
HP = {x ∊ ℝ∣ – ⅓ < x < 3}
Catatan:
Untuk Contoh 4 terdapat banyak alternatif penyelesaian yang juga cepat. Yang disajikan di atas sekedar contoh variasi soal yang dapat diselesaikan dengan bantuan dalil-dalil di atas.
CARA CEPAT MENYELESAIKAN PERTIDAKSAMAAN HARGA MUTLAK
Barangkali adik-adik di tingkat SMA pernah mendapatkan soal untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan yang mengandung harga mutlak (absolute value) seperti contoh berikut.
Contoh 1
Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi:
, dengan x ∊ ℝ.
Cara yang diajarkan di sekolah atau di buku-buku SMA, biasanya adalah dengan mengkuadratkan kedua ruas sehingga muncul suatu pertidaksamaan kuadrat, yaitu sebagai berikut.
Pembuat nol: x1 = -4 dan x2 = 10
Uji tanda:
Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah x ∊ ℝ yang memenuhi -4 < x < 10.
Dengan kata lain, himpunan penyelesaiannya (HP) adalah: HP = {x ∊ ℝ∣ -4 < x < 10}.
Cara di atas cukup panjang, apabila dibandingkan dengan cara berikut.
⇔ -7 < x – 3 < 7
⇔ -4 < x < 10 (jawaban yang sama dengan penyelesaian di atas)
Apa yang menjadi dasar berpikir penyelesaian cara cepat tersebut? Ini dijawab dalil berikut.
Dalil 1
Misalkan a, u ∊ ℝ dan a > 0. Maka berlakulah pernyataan-pernyataan berikut:
∣u∣ < a jika dan hanya jika –a < u < a ……………………………………………………………… (1a)
∣u∣ > a jika dan hanya jika u > a atau u < –a …………………………………………………….. (2a)
Dalil lain yang serupa, yang dapat membantu mempercepat penyelesaian pertidaksamaan harga mutlak adalah:
Dalil 2
Misalkan a, u ∊ ℝ dan a ≥ 0. Maka berlakulah pernyataan-pernyataan berikut:
∣u∣ ≤ a jika dan hanya jika –a ≤ u ≤ a ……………………………………………………………… (1b)
∣u∣ ≥ a jika dan hanya jika u ≥ a atau u ≤ –a …………………………………………………….. (2b)
Pada Contoh 1, rumus (1a) digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang diberikan. Substitusikan u = x – 3 dan a = 7 ke dalam (1a), diperoleh:
∣x – 3∣ < 7
⇔ -7 < x – 3 < 7
Untuk mendapatkan x, jumlahkan ketiga ruas pertidaksamaan di atas dengan 3, diperoleh:
-4 < x < 10
Contoh 2
Tentukanlah penyelesaian |2x – 3| > 5 dengan x ∊ ℝ.
Jawab:
Substitusikan u = 2x – 3 dan a = 5 ke dalam (2a), diperoleh:
|2x – 3| > 5 ⇔ 2x – 3 > 5 atau 2x – 3 < -5
|2x – 3| > 5 ⇔ 2x > 8 atau 2x < -2
|2x – 3| > 5 ⇔ 2x > 8 atau 2x < -2
|2x – 3| > 5 ⇔ x > 4 atau x < -1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = {x ∊ ℝ| x > 4 atau x < -1}
Contoh 3
Tentukanlah penyelesaian
, dengan x ∊ ℝ.
Jawab:
Substitusikan u = 2 – x dan a = 8 ke dalam (1b), diperoleh:
⇔ -8 ≤ 2 – x ≤ 8
⇔ -10 ≤ -x ≤ 6 (Kemudian, kalikan ketiga ruas dengan -1, untuk mendapatkan x.)
⇔ -6 ≤ x ≤ 10
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = {x ∊ ℝ| -6 ≤ x ≤ 10}.
Contoh 4
Tentukan himpunan penyelesaian bagi
, dengan x ∊ ℝ dan x > -2.
Jawab:
Kalikan kedua ruas pertidaksamaan tersebut dengan |x + 2|, diperoleh:
|2x – 1| < |x + 2|
Karena x > -2, |x + 2| = x + 2 > 0, sehingga diperoleh:
|2x – 1| < x + 2
Karena x + 2 > 0, kita boleh menggunakan (1a) sehingga pertidaksamaan terakhir tadi menjadi:
-(x + 2) < 2x – 1 < x + 2
Pertidaksamaan ini ekivalen dengan I) -(x + 2) < 2x – 1 dan II) 2x – 1 < x + 2
Pertidaksamaan I) menghasilkan x > – ⅓ dan II) menghasilkan x < 3. Namun, diketahui pula bahwa x > -2. Semua penyelesaian dan syarat ini dapat dilukiskan dalam gambar berikut.
Solusi masalah ini diwakili oleh daerah berarsir di atas, sehingga:
HP = {x ∊ ℝ∣ – ⅓ < x < 3}
Catatan:
Untuk Contoh 4 terdapat banyak alternatif penyelesaian yang juga cepat. Yang disajikan di atas sekedar contoh variasi soal yang dapat diselesaikan dengan bantuan dalil-dalil di atas.
Bagikan ini:
Most visitors also read :
BERKENALAN DENGAN NILAI DAN VEKTOR EIGEN
DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SINGULAR VALUE DECOMPOSITION)
MATRIKS AKAR KUADRAT
SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA