CARA CEPAT MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS

Bagaimanakah persamaan garis yang melalui A(2,5) dan B(-3,8)? Perhatikanlah cara cepat berikut.

Kaidah yang digunakan untuk menjawab ini adalah sebagai berikut.

(HKL – HKD) – (selisih ordinat) x + (selisih absis) y = 0

 

Catatan:

HKL = Hasil Kali Luar

HKD = Hasil Kali Dalam

selisih ordinat = ordinat kanan – ordinat kiri (perhatikan arah tanda panah)

selisih absis = absis kanan – absis kiri (perhatikan arah tanda panah)

 

Dengan kaidah tersebut, persamaan garis yang ditanyakan ditentukan sebagai berikut.

(16 – (-15)) – 3x + (-5)y = 0

⇔ 3x + 5y – 31 = 0

Secara umum, kaidah tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut: Jika diketahui A(x₁,y₁) dan B(x₂,y₂) maka persamaan garis yang melalui A dan B adalah:

(x₁y₂ – x₂y₁) – (y₂ – y₁) x + (x₂ – x₁) y = 0

 

Bagaimanakah kaidah tersebut didapatkan/dibuktikan? Berikut ini adalah uraiannya.

 

Misalkan diketahui dua buah titik pada bidang Kartesius A(x₁,y₁) dan B(x₂,y₂). Persamaan garis yang melalui A dan B dapat ditentukan dengan konsep cross product antara dua vektor. Dengan cara ini, persamaan garis dapat dinyatakan dalam bentuk determinan matriks persegi berordo 3.

 

Jika titik P(x,y) adalah sembarang titik yang dilalui garis yang melalui A dan B, tentulah berlaku [pmath]vec{AB} * vec{AP} ~=~ vec{0}[/pmath].

[pmath]vec{AB} * vec{AP} ~=~ delim{|}{matrix{3}{3}{{vec{i}} {vec{j}} {vec{k}} {x_{2}-x_{1}} {y_{2}-y_{1}} 0 {x-x_{1}} {y-y_{1}} 0}}{|} ~=~ delim{|}{matrix{2}{2}{{x_{2}-x_{1}} {y_{2}-y_{1}} {x-x_{1}} {y-y_{1}}}}{|} vec{k}[/pmath]

Karena [pmath]vec{AB} * vec{AP} ~=~ vec{0}[/pmath], haruslah berlaku [pmath]delim{|}{matrix{2}{2}{{x_{2}-x_{1}} {y_{2}-y_{1}} {x-x_{1}} {y-y_{1}}}}{|} ~=~ 0[/pmath]

Determinan pada ruas kiri persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai:

[pmath](x_{1} y_{2} ~-~ x_{2} y_{1}) ~-~ (y_{2} ~-~ y_{1}) x ~+~ (x_{2} ~-~ x_{1}) y ~=~ 0[/pmath] …….. (*1)

 

(Perhatikan bahwa (*1) tidak lain adalah kaidah yang digunakan untuk secara cepat menentukan persamaan garis yang melalui (x₁,y₁) dan (x₂,y₂) sebagaimana diajarkan dengan bantuan diagram di awal post ini!)

 

Selanjutnya, (*1) dapat dinyatakan sebagai:

[pmath]delim{|}{matrix{2}{2}{{x_{1}} {y_{1}} {x_{2}} {y_{2}}}}{|} ~-~ delim{|}{matrix{2}{2}{1 {y_{1}} 1 {y_{2}}}}{|} x ~+~ delim{|}{matrix{2}{2}{1 {x_{1}} 1 {x_{2}}}}{|} y ~=~ 0[/pmath]

[pmath]delim{|}{matrix{3}{3}{1 x y 1 {x_{1}} {y_{1}} 1 {x_{2}} {y_{2}}}}{|} ~=~0[/pmath] ………. (*2)

Persamaan (*2) inilah yang dimaksud dengan persamaan garis dalam bentuk determinan matriks persegi berordo 3.

 

Contoh 1:

Tentukanlah persamaan garis yang melalui titik-titik berkoordinat (2,5) dan (-3,8).

 

Jawab:

Substitusi x₁, y₁, x₂, dan y₂ ke dalam (*2) menghasilkan:

[pmath]delim{|}{matrix{3}{3}{1 x y 1 2 5 1 {-3} 8}}{|} ~=~0[/pmath]

Dengan menghitung determinan matriks tersebut, diperoleh persamaan garis 3x + 5y – 31 = 0

 

(*2) juga dapat digunakan untuk memeriksa apakah tiga buah titik yang koordinatnya diketahui terletak segaris atau tidak. Ketiga titik berkoordinat (x₁,y₁), (x₂,y₂), dan (x₃,y₃) terletak segaris jika dan hanya jika:

[pmath]delim{|}{matrix{3}{3}{1 {x_{1}} {y_{1}} 1 {x_{2}} {y_{2}} 1 {x_{3}} {y_{3}}}}{|} ~=~ 0[/pmath] ………………… (*3)

 

Contoh 2:

Diketahui tiga buah titik A(2,5), B(-3,8) dan C(6,2) terletak segaris?

 

Jawab:

Substitusikan absis dan ordinat masing-masing titik tersebut ke dalam ruas kiri (*3) dan hitunglah determinan tersebut. Apabila determinan tersebut nol simpulkan ketiga titik tersebut segaris dan apabila tidak sama dengan nol, simpulkan ketiga titik tersebut tidak segaris.

Kesimpulan: ketiga titik tersebut tidak segaris.

 

 

Tagging: cara cepat, persamaan garis

Most visitors also read :

PENGENALAN INDUKSI MATEMATIKA



SUBRUANG VEKTOR



RUANG VEKTOR



MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DENGAN ELIMINASI GAUSS-JORDAN (1)