BENTUK A cos x + B sin x

Januari 9th, 2017

Bagaimanakah menyelesaikan persamaan trigonometri √3 cos x – sin x = 1? Berapakah nilai maksimum y = 3 sin x – 2 cos x? Menjawab pertanyaan-pertanyaan ini memerlukan pembahasan mengenai bentuk A cos x + B sin x.

 

Salah satu identitas trigonometri yang sudah kita kenal adalah:

cos (x – α) = cos x.cos α + sin x.sin α   ……………………………………………… (*)

dan selanjutnya:

k cos (x – α) = k cos x.cos α + k sin x.sin α

k cos (x – α) = (k cos α).cos x + (k sin α).sin x ………………………………………………………… (**)

Perhatikan bahwa ruas kanan (**) memiliki bentuk A cos x + B sin x apabila A = k cos α dan B = k sin α. Jadi, bentuk A cos x + B sin x dapat diubah menjadi bentuk yang lebih sederhana, yaitu ruas kiri (**). Bagaimana cara mengubah bentuk A cos x + B sin x menjadi bentuk k cos (x – α)? Inilah yang akan dibahas dalam post ini.

 

Misalkan A cos x + B sin x = k cos (x – α). Dengan menggunakan (*), diperolehlah:

A cos x + B sin x = (k cos α).cos x + (k sin α).sin x

Dari sini diperoleh A = k cos α dan B = k sin α.

Akibatnya, A2 + B2 = k2 dan selanjutnya k ~=~ sqrt{A^2 ~+~ B^2}.

Untuk menentukan α, perhatikan bahwa tan alpha ~=~ B/A

Pertanyaannya sekarang adalah: apabila 0 ≤ α < 3600, pada kuadran berapakah α terletak? Pada prinsipnya α dipilih sedemikian hingga A = k cos α dan B = k sin α kedua-duanya dipenuhi secara sekaligus. Tabel berikut adalah untuk menentukan kuadran tempat α terletak, diperoleh dengan menggunakan prinsip tersebut.

 

Contoh 1

Nyatakan √3 cos x – sin x ke dalam bentuk k cos (x – α) apabila 0 ≤ α < 3600.

 

Jawab:

Pada contoh ini, A = √3 dan B = -1.

Dari uraian di atas, k ~=~ sqrt{(sqrt{3})^2 ~+~ (-1)^2}. Jadi, k = 2.

Untuk menentukan α, kita gunakan persamaan:

tan alpha ~=~ {-1}/{sqrt{3}}

Jika 0 ≤ α < 3600 ada dua nilai α yang mungkin, yaitu α = 1500 atau α = 3300.

Namun:

k cos α = √3 > 0 dan k sin α = -1 < 0 (sedangkan k > 0)

Untuk memenuhi kedua persyaratan tersebut secara sekaligus, α harus terletak di kuadran IV. Jadi, kita pilih α = 3300.

Dari penjabaran di atas telah diperoleh k = 2 dan α = 3300.

Sebagai kesimpulan: √3 cos x – sin x = 2 cos (x – 3300)

 

Contoh 2

Selesaikan persamaan √3 cos x – sin x = 1 dengan 0 ≤ x < 3600

 

Jawab:

Dari pembahasan Contoh 1, telah diperoleh bahwa √3 cos x – sin x = 2 cos (x – 3300), sehingga yang dipertanyakan pada contoh ini ekivalen dengan penyelesaian persamaan:

2 cos (x – 3300) = 1 dengan 0 ≤ x < 3600

Jadi, cos (x – 3300) = ½.

Kaidah penyelesaian persamaan trigonometri memberikan dua kemungkinan bagi (x – 3300), yaitu:

Kemungkinan I:

x – 3300 = 600 + n.3600; n ∊ ℤ

x = 3900 + n.3600; n ∊ ℤ ……………………………………………………………. (1)

Karena 0 ≤ x < 3600, (1) memberikan penyelesaian x = 300 (dicapai apabila n = -1).

Kemungkinan II:

x – 3300 = -600 + n.3600; n ∊ ℤ

x = 2700 + n.3600; n ∊ ℤ ……………………………………………………………. (2)

Karena 0 ≤ x < 3600, (2) memberikan penyelesaian x = 2700 (dicapai apabila n = 0).

Jadi, apabila 0 ≤ x < 3600, ada dua nilai x yang memenuhi √3 cos x – sin x = 1, yaitu x = 300 atau x = 2700.

 



Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *