PENERAPAN TURUNAN DALAM OPTIMASI DI BIDANG EKONOMI

Maret 28th, 2017

Post kali ini menyajikan beberapa contoh bagaimana konsep turunan digunakan dalam optimasi di bidang ekonomi atau bisnis.

Contoh 1: (Meminimumkan Biaya Rata-rata)

Dalam produksi suatu barang, biaya totalnya adalah TC = (0,4Q² + 500Q + 16000) rupiah. Berapakah banyaknya barang yang harus diproduksi agar biaya rata-ratanya (AC) minimum? Berapakah biaya rata-rata ninimum tersebut?

Jawab:

Biaya rata-rata (AC) dapat dinyatakan sebagai:

$AC(Q) = \frac{TC}{Q}$

$AC(Q) = \frac{0,4 Q^2 + 500 Q + 16000}{Q}$

$AC(Q) = 0,4 Q + 500 + \frac{16000}{Q}$ ………………………………………………. (*1)

Untuk meminimumkan AC, bentuk persamaan $\frac{dAC}{dQ} = 0$ . Dengan rumus turunan, diperoleh:

$\frac{dAC}{dQ} = 0,4 - 16000 Q^{-2}$

Dengan membuat $\frac{dAC}{dQ} = 0$ , diperoleh persamaan:

0,4 Q² – 16000 = 0

Q² – 40000 = 0

(Q+200)(Q-200) = 0

Q₁ = -200 dan Q₂ = 200 [Q = -200 atau Q = 200]

Di sini diperoleh dua buah titik stasioner, yaitu Q₁ = -200 dan Q₂ = 200. Untuk menentukan mana di antara kedua nilai ini yang menghasilkan AC minimum, kita tentukan dulu AC”(Q) = $\frac{d^2 AC}{dQ^2}$ , yaitu turunan dari $\frac{dAC}{dQ}$ terhadap Q. Dengan menggunakan rumus-rumus turunan, diperoleh:

$\frac{d^2 AC}{dQ^2} = 32000 Q^{-3}$

Jika Q = -200 maka nilai turunan kedua AC terhadap Q adalah $\frac{d^2 AC}{dQ^2} = 32000 (-200)^{-3}$

Karena turunan kedua AC terhadap Q tersebut negatif, nilai Q = -200 menghasilkan nilai maksimum relatif biaya rata-rata.

Jika Q = 200 maka nilai turunan kedua AC terhadap Q adalah:

$\frac{d^2 AC}{dQ^2} = 32000 \cdot 200^{-3}$

Karena turunan kedua AC terhadap Q tersebut positif, nilai Q = 200 menghasilkan nilai minimum relatif biaya rata-rata.

Jadi, agar biaya rata-rata minimum, banyaknya barang yang harus diproduksi adalah 200 unit.

Untuk menentukan berapa biaya rata-rata yang minimum tersebut, substitusikan Q = 200 ke dalam (*1), diperoleh:

$AC(200) = 0,4 \cdot 200 + 500 + \frac{16000}{200} = 660$

Jadi, biaya rata-rata minimumnya adalah Rp 660/unit.

Contoh 2 (Memaksimalkan Penerimaan Total)

Diketahui permintaan terhadap suatu produk mengikuti persamaan berikut: P = (2700 – 9Q²) rupiah/unit. Berapakah banyaknya produk yang harus terjual agar penerimaan total (TR, Total Revenue) dari hasil penjualan tersebut maksimum?

Jawab:

Jika Q unit produk terjual maka penerimaan total (TR) yang terjadi adalah TR = PQ. Karena P = 2700 – 9Q², diperoleh:

TR(Q) = (2700 – 9Q²).Q

TR(Q) = 2700Q – 9Q³ ………………………………………………………………………………. (*2)

Untuk meminimumkan TR, bentuk persamaan $\frac{dTR}{dQ} = 0$ . Dengan rumus turunan, diperoleh:

$\frac{dTR}{dQ} = 2700 - 27 Q^2$

Dengan membuat $\frac{dTR}{dQ} = 0$ , diperoleh persamaan:

2700 – 27Q² = 0

100 – Q² = 0

(10 + Q)(10 – Q) = 0

Q₁ = -10 dan Q₂ = 10 [Q = -10 atau Q = 10]

Di sini diperoleh dua buah titik stasioner, yaitu Q₁ = -10 dan Q₂ = 10. Untuk menentukan mana di antara kedua nilai ini yang menghasilkan TR maksimum, kita tentukan dulu TR”(Q) = $\frac{d^2 TR}{dQ^2}$ , yaitu turunan dari $\frac{dTR}{dQ}$ terhadap Q. Dengan menggunakan rumus-rumus turunan, diperoleh:

$\frac{d^2 TR}{dQ^2} = - 54 Q$

Jika Q = -10 maka nilai turunan kedua TR terhadap Q adalah $\frac{d^2 TR}{dQ^2} = -54.(-10) = 540$

Karena turunan kedua TR terhadap Q tersebut positif, nilai Q = -10 menghasilkan nilai minimum relatif total penerimaan.

Jika Q = 10 maka nilai turunan kedua TR terhadap Q adalah $\frac{d^2 TR}{dQ^2} = -54 \cdot 10 = -540$

Karena turunan kedua TR terhadap Q tersebut negatif, nilai Q = 10 menghasilkan nilai maksimum relatif total penerimaan.

Jadi, agar total penerimaan maksimum, banyaknya barang yang harus terjual adalah 10 unit.

Untuk menentukan berapa total penerimaan yang maksimum tersebut, substitusikan Q = 10 ke dalam (*2), diperoleh:

TR(10) = 2700.10 – 9.10³ = 27000 – 9000 = 18000

Jadi, total penerimaan maksimumnya adalah Rp 18.000.

Contoh 3 (Memaksimumkan Laba)

Permintaan terhadap suatu produk memenuhi persamaan P = (90 – 3Q) rupiah/unit dan total biaya (TC, Total Cost) untuk menghasilkan Q unit produk tersebut adalah TC = Q³/10 – 3Q² + 60Q + 100. Berapakah banyaknya produk yang harus dijual agar diperoleh laba maksimum? Berapakah laba maksimum tersebut?

Jawab:

Jika Q unit produk terjual maka penerimaan total (TR) yang terjadi adalah TR = PQ. Karena P = 90 – 3Q, diperoleh:

TR(Q) = (90 – 3Q).Q

TR(Q) = 90Q – 3Q²

Selanjutnya, laba yang diperoleh (π), adalah

π = TR – TC

π(Q) = (90Q – 3Q²) – (Q³/10 – 3Q² + 60Q + 100)

π(Q) = – Q³/10 + 30Q – 100 ……………………………………………………………………….. (*3)

Untuk memaksimumkan π, bentuk persamaan $\frac{d \pi}{dQ} = 0$ . Dengan rumus turunan, diperoleh:

$\frac{d \pi}{dQ} = - \frac{3}{10} Q^2 + 30$

Dengan membuat $\frac{d \pi}{dQ} = 0$ , diperoleh persamaan:

$- \frac{3}{10} Q^2 + 30 = 0$

Q² – 100 = 0

(Q + 10)(Q – 10) = 0

Q₁ = -10 dan Q₂ = 10 [Q = -10 atau Q = 10]

Di sini diperoleh dua buah titik stasioner, yaitu Q₁ = -10 dan Q₂ = 10. Untuk menentukan mana di antara kedua nilai ini yang menghasilkan π maksimum, kita tentukan dulu π”(Q) = $\frac{d^2 \pi}{dQ^2}$ , yaitu turunan dari $\frac{d \pi}{dQ}$ terhadap Q. Dengan menggunakan rumus-rumus turunan, diperoleh: