DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SINGULAR VALUE DECOMPOSITION)

September 5th, 2021

Dalam artikel berjudul Dekomposisi Spektral Matriks Simetris telah ditunjukkan bahwa setiap matriks simetris A dapat dinyatakan sebagai A = EΛE’ dengan E suatu matriks yang kolom-kolomnya merupakan vektor-vektor eigen A yang bernorma 1 dan Λ suatu matriks diagonal yang elemen-elemennya merupakan nilai-nilai eigen A. Sekarang, bagaimana apabila matriks A bukan matriks simetris, namun sembarang matriks? Dekomposisi nilai singular (singular value decomposition) melakukan “pekerjaan” yang serupa dengan dekomposisi spektral, sehingga dapat dianggap sebagai dekomposisi yang lebih umum atau perluasan dari dekomposisi spektral.

Dekomposisi Nilai Singular
Jika A adalah sembarang matriks yang berukuran m x n yang semua elemennya merupakan bilangan nyata maka terdapat matriks ortogonal U berukuran m x m dan matriks ortogonal V berukuran n x n sedemikian hingga A = UΣV’ dengan Σ = [σ_ij] adalah matriks berukuran m x n di mana σ_ii ≥ 0 untuk i = 1, 2, …, k, σ₁₁ ≥ σ₂₂ ≥ … ≥ σ_kk, dan σ_ij = 0 untuk i ≠ j; k = min(m,n). Konstanta-konstanta positif σ_ii dinamakan nilai-nilai singular dari A.

Bagaimana menentukan U dan V?
Misalkan A = UΣV’. Sebagai akibatnya, AA’ = (UΣV’)(VΣ’U’) = U(ΣΣ’)U’, yang merupakan matriks simetris. Dengan memperhatikan AA’ = U(ΣΣ’)U’, dapat disimpulkan bahwa: 1) U pada A = UΣV’ dapat diperoleh dengan cara melakukan dekomposisi spektral terhadap AA’ dan 2) elemen-elemen diagonal ΣΣ’ merupakan kuadrat dari elemen-elemen diagonal Σ. V diperoleh secara serupa itu, yaitu dengan meninjau A’A. Perhatikan bahwa A’A = (VΣ’U’)(UΣV’) = VΣ’ΣV’. Jadi, V dapat diperoleh dengan menerapkan dekomposisi spektral terhadap A’A.

Contoh 1

Misalkan $A = \begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Tentukan dekomposisi nilai singular A.

Jawab
U dapat ditentukan dari dekomposisi spektral matriks simetris AA’. Perhatikan bahwa:

Dengan menyelesaikan persamaan |λI – AA’| = 0 diperoleh nilai-nilai eigen AA’ sebagai berikut: λ₁ = 3, λ₂ = 1, dan λ₃ = 0. Nilai-nilai eigen λ₁, λ₂, dan λ₃ (secara berturutan) menghasilkan ruang eigen E₁, E₂, dan E₃ sebagai berikut.

Dengan demikian diperoleh matriks ortogonal:

Perhatikan bahwa jika A = UΣV’ maka A’ = VΣ’U’ dan A’U = VΣ’ = VΣ. Dari hubungan A’U = VΣ diperoleh bahwa $A' \vec{u}_i = \sigma_i \vec{v}_i$ dengan $\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$ , $\vec{u}_i$ = vektor kolom ke-i dari U dan $\vec{v}_i$ = vektor kolom ke-i dari V. Jadi, berlaku hubungan $\vec{v}_i = \frac{1}{\sqrt{\lambda_i}} A' \vec{u}_i$ . Dengan demikian berlaku:

Jadi, $V = \begin{pmatrix}1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}$ dan dekomposisi nilai singular A adalah:

Contoh 2

Tentukan dekomposisi nilai singular dari $A = \begin{pmatrix}3 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & -2 \end{pmatrix}$ .

Jawab

V dapat ditentukan dari dekomposisi spektral matriks simetris A’A. Perhatikan bahwa:

Dengan menyelesaikan persamaan |λI – A’A| = 0 diperoleh nilai-nilai eigen AA’ sebagai berikut: λ₁ = 25, λ₂ = 9, dan λ₃ = 0. Nilai-nilai eigen λ₁, λ₂, dan λ₃ (secara berturutan) menghasilkan ruang eigen E₁, E₂, dan E₃ sebagai berikut.

Dengan demikian diperoleh matriks ortogonal:

Perhatikan bahwa jika A = UΣV’ maka A’ = VΣ’U’ dan AV = UΣ. Dari hubungan AV = UΣ diperoleh bahwa $A \vec{v}_i = \sigma_i \vec{u}_i$ dengan $\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$ , $\vec{v}_i$ = vektor kolom ke-i dari V dan $\vec{u}_i$ = vektor kolom ke-i dari U. Jadi, berlaku hubungan $\vec{u}_i = \frac{1}{\sqrt{\lambda_i}} A \vec{v}_i$ . Dengan demikian berlaku: