MENYELESAIKAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT (1)

Pebruari 21st, 2017

Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang memiliki salah satu dari bentuk-bentuk umum berikut:

ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c ≥ 0

ax² + bx + c < 0

ax² + bx + c ≤ 0

Salah satu contoh di antaranya, misalnya: x² – 3x – 4 > 0. Bagaimana himpunan penyelesaian bagi pertidaksamaan ini? Untuk memberikan pemahaman yang lebih baik, mari kita lihat grafik fungsi f, dengan persamaan f(x) = x² – 3x – 4. Perhatikan gambar berikut.

Gambar 1

Seperti dapat dilihat pada Gambar 1, sebagian dari parabola berada di atas sumbu x, sebagian berada di bawah sumbu y, sebagian lagi terletak pada sumbu x. Bagian-bagian dimaksud tersebut dapat dilihat pada Gambar 2.

Gambar 2

Pada Gambar 2, bagian kurva yang berwarna hitam merupakan bagian kurva yang menggambarkan nilai-nilai fungsi yang lebih dari nol, yaitu menggambarkan f(x) > 0. Bagian berwarna merah menggambarkan nilai-nilai fungsi yang kurang dari nol, f(x) < 0. Bagian yang ditandai cakram lingkaran berwarna putih menggambarkan f(x) = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi f(x) = 0 dinamakan pembuat nol dari f. Jadi, terdapat dua buah pembuat nol dari f, yaitu x = -1 atau x = 4. [Perhatikan bahwa f(-1) = 0 dan f(4) = 0.] Apabila kita menelusuri kurva tersebut dari kiri ke kanan atau kanan ke kiri, tampak bahwa “warna kurva” berganti dari hitam ke merah atau sebaliknya, setiap kali kita melewati pembuat nol. Jadi, terjadi “pembalikan tanda f(x)” setiap kali kita “melewati” pembuat nol; namun terdapat pengecualian sebagaimana akan diterangkan kemudian. Dengan mengamati Gambar 2, kita dapat dengan mudah menentukan himpunan penyelesaian bagi x² – 3x – 4 > 0. Di sini kita mencari nilai-nilai x yang nilai f(x)-nya lebih dari nol. Pada Gambar 2, ini ditunjukkan oleh bagian kurva yang berwarna hitam; bagian kurva yang berwarna hitam merupakan bagian kurva yang menggambarkan f(x) > 0. [Sebaliknya, bagian berwarna merah menggambarkan f(x) < 0.]. Jadi, dengan melihat Gambar 2, f(x) > 0 dipenuhi apabila x < -1 atau x > 4. Jadi, himpunan penyelesaian dari x² – 3x – 4 > 0 adalah {x ∊ ℝ| x < -1 atau x > 4}.

Bagian berwarna merah menggambarkan solusi bagi x² – 3x – 4 < 0. Jadi, dengan melihat Gambar 2, himpunan penyelesaian bagi x² – 3x – 4 < 0 adalah {x ∊ ℝ| -1 < x < 4}.

Uraian di atas memberikan gagasan kepada kita, bagaimana cara menyelesaikan suatu pertidaksamaan kuadrat, apabila fungsi kuadrat tersebut memiliki 2 buah pembuat nol. Langkah-langkah penyelesaian tersebut adalah sebagai berikut.

Ubahlah pertidaksamaan yang ditanyakan ke dalam salah satu bentuk umum pertidaksamaan kuadrat sebagaimana telah diuraikan di bagian awal post
Tentukanlah pembuat nol pertidaksamaan tersebut, misalkan x₁ dan x₂.
Tempatkan pembuat nol tersebut pada garis bilangan. Apabila terdapat 2 buah pembuat nol, maka para pembuat nol ini akan membagi garis tersebut menjadi tiga daerah. Anggaplah daerah-daerah tersebut secara berturutan dari kiri ke kanan dinamakan Daerah I, Daerah II, dan Daerah III. (Pada gambar berikut, cakram lingkaran putih menggambarkan pembuat nol.)
[Uji Tanda] Pilihlah salah satu nilai x pada salah satu daerah, sebagai sampel. Substitusikan nilai x tersebut ke dalam f(x), dan periksalah hasilnya apakah negatif atau positif. Jika positif, tandai daerah tersebut dengan tanda + misalnya. Selain daerah tersebut, tandai dengan tanda – sedemikian hingga tanda + dan – berselang-seling. Jadi, ada 2 macam pola yang mungkin terbentuk, yaitu:

atau

Berdasarkan tanda-tanda yang diberikan pada Langkah 4, tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan. Apabila pertidaksamaan kuadrat tersebut memiliki bentuk f(x) ≥ 0 atau f(x) ≤ 0, jangan lupa untuk menjadikan x₁ dan x₂ sebagai anggota dari himpunan penyelesaian.

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari -x² + 7x < 12 untuk x ∊ ℝ.

Jawab:

Langkah 1: Ubah ke bentuk umum, menjadi f(x) = -x² + 7x – 12 < 0

Langkah 2:

Pembuat nol pertidaksamaan tersebut ditentukan dengan mencari akar-akar persamaan kuadrat -x² + 7x – 12 = 0. Dengan teknik pemfaktoran atau teknik lainnya, diperoleh x = 3 atau x = 4.

Langkah 3:

Langkah 4:

Untuk melakukan uji tanda, kita pilih salah satu daerah untuk diuji tandanya, misalkan saja kita pilih Daerah I. Daerah I dalam contoh ini adalah daerah x < 3. Karena itu kita pilih salah satu nilai x yang kurang dari 3, misalnya saja 0. Substitusikan x = 0 ke dalam f(x) = -x² + 7x – 12 (yang diperoleh pada Langkah 1). f(0) = – 0² + 7.0 – 12 = -12 < 0. Karena di daerah ini f(x) < 0, Daerah I ini kita berikan tanda negatif (-), sehingga pola yang terbentuk adalah sebagai berikut.

Langkah 5:

Dari hasil pada Langkah 1, yang diminta adalah nilai-nilai x sedemikian hingga f(x) negatif, f(x) < 0. Dari garis bilangan di atas, tanda negatif didapat untuk x < 3 atau x > 4. Jadi, himpunan penyelesaian bagi pertidaksamaan yang ditanyakan adalah {x ∊ ℝ| x < 3 atau x > 4}.

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari -x² + 7x ≤ 12 untuk x ∊ ℝ.

Jawab:

Langkah 1: Ubah ke bentuk umum, menjadi f(x) = -x² + 7x – 12 ≤ 0

(Langkah 2, 3, dan 4 sama dengan penyelesaian Contoh 1.)

Langkah 4 menghasilkan:

Langkah 5:

Dari hasil pada Langkah 1, yang diminta adalah nilai-nilai x sedemikian hingga f(x) negatif atau nol, f(x) ≤ 0. Dari garis bilangan di atas, tanda negatif didapat untuk x < 3 atau x > 4. Nilai f(x) = 0 dicapai apabila x = 3 atau x = 4. Pembuat-pembuat nol ini harus dijadikan sebagai anggota himpunan penyelesaian. Jadi, himpunan penyelesaian bagi pertidaksamaan yang ditanyakan adalah {x ∊ ℝ| x ≤ 3 atau x ≥ 4}.

Catatan:

Seandainya yang ditanyakan adalah himpunan penyelesaian dari -x² + 7x ≥ 12, dengan mengikuti langkah-langkah di atas dengan tepat, maka garis bilangan yang menggambarkan penyelesaian adalah sebagai berikut: