MENYELESAIKAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT (2)

Pebruari 22nd, 2017

Di bagian pertama telah dicontohkan bagaimana menyelesaikan suatu pertidaksamaan kuadrat. Dalam masing-masing contoh, terdapat dua buah pembuat nol pertidaksamaan itu. Pada post kali ini akan dibahas bagaimana apabila suatu pertidaksamaan memiliki hanya sebuah pembuat nol.

 

Bagaimana penyelesaian bagi pertidaksamaan -x2 + 4x – 4 < 0? Untuk menjawab ini, perhatikan fungsi g yang memiliki persamaan y = g(x) = -x2 + 4x – 4. Grafik fungsi tersebut dapat dilihat pada Gambar 3 berikut.

Gambar 3

 

Pada gambar tersebut, tampak bahwa tidak ada bagian dari kurva yang terletak di atas sumbu x. Ini menunjukkan bahwa nilai-nilai fungsi g(x) tidak ada yang positif. Lebih tepatnya, g(x) ≤ 0 untuk setiap nilai x. Selanjutnya, g(x) = 0 jika dan hanya jika x = 2. Jadi, x = 2 merupakan pembuat nol dari pertidaksamaan -x2 + 4x – 4 < 0.

Gambar 4

 

Pada Gambar 4, pembuat nol pertidaksamaan tersebut digambarkan sebagai bulatan putih (di x = 2). Apabila kita menelusuri kurva tersebut dari kiri ke kanan atau sebaliknya, ternyata tidak terjadi perubahan tanda aljabar bagi g(x) ketika penelusuran melalui titik pembuat nol. Ini berarti, baik sebelum maupun sesudah melewati pembuat nol, nilai g(x) tetap negatif. Ini berbeda dengan yang kita dapati pada post sebelumnya. Pada post yang lalu, tanda aljabar berganti dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif setiap kali titik pembuat nol dilalui. Dengan mengamati Gambar 4, cukup mudah dipahami mengapa dalam kasus ini perubahan tanda tidak terjadi. Dengan mengamati Gambar 4, kita peroleh bahwa g(x) < 0 apabila x < 2 atau x > 2, g(x) = 0 apabila x = 2, dan tidak ada nilai x yang memenuhi g(x) > 0. Jadi, himpunan penyelesaian bagi pertidaksamaan -x2 + 4x – 4 < 0 adalah {x ∊ ℝ| x ≠ 2}, atau dapat juga ditulis sebagai {x ∊ ℝ| x < 2 atau x > 2}.

 

Pembahasan kasus di atas memberikan gagasan bagi penyelesaian pertidaksamaan kuadrat apabila terdapat hanya satu buah pembuat nol.

 

  1. Ubahlah pertidaksamaan yang ditanyakan ke dalam salah satu bentuk umum pertidaksamaan kuadrat sebagaimana telah diuraikan di bagian awal post
  2. Tentukanlah pembuat nol pertidaksamaan tersebut. Apabila terdapat dua buah pembuat nol, lanjutkan ke Langkah 3 pada post Apabila terdapat hanya sebuah pembuat nol, lanjutkan ke Langkah 3 di bawah ini.
  3. Tempatkan pembuat nol tersebut pada garis bilangan. Misalkan pembuat nol tersebut adalah x0. Pembuat nol ini akan membagi garis tersebut menjadi dua daerah. Anggaplah daerah-daerah tersebut secara berturutan dari kiri ke kanan dinamakan Daerah I dan Daerah II. (Pada gambar berikut, bulatan putih menggambarkan pembuat nol, dan merupakan perbatasan antara kedua daerah.)

4. [Uji Tanda] Pilihlah salah satu nilai x pada salah satu daerah, sebagai sampel. Substitusikan nilai x tersebut ke dalam f(x), dan periksalah hasilnya apakah negatif atau positif. Jika positif, tandai daerah tersebut dengan tanda + misalnya. Jika negatif, tandai daerah tersebut dengan tanda – misalnya. Jadi, ada 2 macam pola yang mungkin terbentuk, yaitu:

atau

  1. Berdasarkan tanda-tanda yang diberikan pada Langkah 4, tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan. Apabila pertidaksamaan kuadrat tersebut memiliki bentuk f(x) ≥ 0 atau f(x) ≤ 0, jangan lupa untuk menjadikan x0 sebagai anggota dari himpunan penyelesaian.

 

Contoh 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari ½x2 + 4x + 8 > 0.

 

Jawab:

Langkah 1: Pertidaksamaan sudah dalam bentuk umum f(x) = ½x2 + 4x + 8 > 0

Langkah 2:

Pembuat nol pertidaksamaan tersebut ditentukan dengan mencari akar-akar persamaan kuadrat ½x2 + 4x + 8 = 0. Dengan teknik pemfaktoran atau teknik lainnya, diperoleh pembuat nol: x = – 4.

Langkah 3:

Langkah 4:

Untuk melakukan uji tanda, kita pilih salah satu daerah untuk diuji tandanya, misalkan saja kita pilih Daerah II. Daerah II dalam contoh ini adalah daerah x > -4. Karena itu kita pilih salah satu nilai x yang lebih dari -4, misalnya saja 0. Substitusikan x = 0 ke dalam f(x) = ½x2 + 4x + 8 (yang diperoleh pada Langkah 1). f(0) = ½.02 + 4.0 + 8 = 8 > 0. Karena di daerah ini f(x) > 0, Daerah II ini kita berikan tanda positif (+), sehingga pola yang terbentuk adalah sebagai berikut.

Langkah 5:

Dari hasil pada Langkah 1, yang diminta adalah nilai-nilai x sedemikian hingga f(x) positif, f(x) > 0. Dari garis bilangan di atas, tanda positif didapat untuk x < -4 atau x > -4. Jadi, himpunan penyelesaian bagi pertidaksamaan yang ditanyakan adalah {x ∊ ℝ| x < -4 atau x > -4}.

 

Contoh 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari ½x2 + 4x + 8 < 0.

 

Jawab:

Langkah 1, 2, 3, dan 4 sama dengan penyelesaian Contoh 3. Seperti halnya pada Contoh 3, Langkah 4 menghasilkan:

Dari hasil pada Langkah 1, yang diminta adalah nilai-nilai x sedemikian hingga f(x) negatif, f(x) < 0. Pada garis bilangan di atas tidak ada tanda negatif yang didapatkan. Jadi, tidak ada penyelesaian bagi pertidaksamaan ini. Dengan kata lain, himpunan penyelesaiannya merupakan himpunan kosong.

 

Contoh 5

Tentukan himpunan penyelesaian dari ½x2 + 4x + 8 ≥ 0.

 

Jawab:

Langkah 1, 2, 3, dan 4 sama dengan penyelesaian Contoh 3.

Langkah 4 menghasilkan:

Langkah 5:

Dari hasil pada Langkah 1, yang diminta adalah nilai-nilai x sedemikian hingga f(x) positif atau nol, f(x) ≥ 0. Dari garis bilangan di atas, tanda positif didapat untuk x < -4 atau x > -4. Nilai f(x) = 0 dicapai apabila x = -4. Pembuat nol ini harus dijadikan sebagai anggota himpunan penyelesaian. Jadi, himpunan penyelesaian bagi pertidaksamaan yang ditanyakan adalah {x ∊ ℝ| x < -4 atau x > -4 atau x = -4}. Dengan kata lain, semua nilai x ∊ ℝ merupakan jawaban bagi pertidaksamaan ini. Jadi, kita dapat menuliskan ℝ sebagai himpunan penyelesaiannya.

 

Contoh 6

Tentukan himpunan penyelesaian dari ½x2 + 4x + 8 ≤ 0.

 

Jawab:

Langkah 1, 2, 3, dan 4 sama dengan penyelesaian Contoh 3.

Langkah 4 menghasilkan:

Langkah 5:

Dari hasil pada Langkah 1, yang diminta adalah nilai-nilai x sedemikian hingga f(x) negatif atau nol, f(x) ≤ 0. Pada garis bilangan di atas tidak ada tanda negatif yang didapatkan; tidak ada nilai x yang memenuhi f(x) < 0. Nilai f(x) = 0 dicapai apabila x = -4. Pembuat nol ini harus dijadikan sebagai anggota himpunan penyelesaian. Jadi, himpunan penyelesaian bagi pertidaksamaan yang ditanyakan adalah {-4}.

 

(bersambung)



Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *