UKURAN LETAK DAN UKURAN PENYEBARAN (4)

Agustus 25th, 2016

Pada posting yang lalu telah diterangkan salah satu ukuran letak, yaitu nilai tengah (median). Jika median merupakan nilai yang terletak di tengah dan membagi data menjadi dua bagian sama banyak, maka kuartil-kuartil (quartiles) membagi data menjadi empat bagian sama banyak.

 

Kuartil-kuartil

Misalkan diketahui n buah data x1, x2, x3, …, xn yang sudah diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar (x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ … ≤ xn). Terdapat dua macam kuartil, yaitu kuartil bawah (Q1) dan kuartil atas (Q3). Q1 dan Q3 ditentukan sebagai berikut:

Q1 = xb dengan b = ¼(n + 1)

Q3 = xa dengan a = ¾(n + 1)

 

Contoh 1:

Diketahui 14 buah data sebagai berikut, yaitu data nilai tugas mata kuliah Statistika Sosial 14 orang mahasiswa.

47  56   71   65   29   68   78   73   80   75   29   38   65   90

Berapakah kuartil bawah dan kuartil atas data tersebut?

 

Jawab:

Langkah pertama, urutkan data tersebut dari yang terendah menjadi yang tertinggi. Hasilnya sebagai berikut.

29   29   38   47  56   65   65   68   71   73   75   78   80   90

Setelah pengurutan ini, diperoleh x1 = 29, x2 = 29, x3 = 38, …, x14 = 90. Untuk menentukan kuartil bawah, kita hitung b={n+1}/4={14+1}/4={15}/4=3,75 sehingga Q1 = xb = x3,75. Yang menjadi masalah sekarang adalah yang manakah data ke-3¾? Data ke-3¾ tidak tepat terletak di tengah-tengah antara data ke-3 dan data ke-4, namun nilainya lebih mendekati nilai data ke-4 daripada nilai data ke-3. Lebih tepatnya, (Q1-x3) : (x4-Q1) = 3:1. Dengan demikian, Q1 ditentukan dengan cara sebagai berikut:

Q_{1}={x_{3}+3x_{4}}/4

Jadi, pada contoh ini Q_{1}={38+3.47}/4={38+141}/4=44,75

Untuk menentukan kuartil atas, kita hitung a={3(n+1)}/4={3(14+1)}/4={45}/4=11,25 sehingga Q3 = xa = x11,25. Yang menjadi masalah sekarang adalah yang manakah data ke-11¼? Data ke-11¼ tidak tepat terletak di tengah-tengah antara data ke-11 dan data ke-12, namun nilainya lebih mendekati nilai data ke-11 daripada nilai data ke-12. Lebih tepatnya, (Q3-x11) : (x12-Q1) = 1:3. Dengan demikian, Q3 ditentukan dengan cara sebagai berikut:

Q_{3}={x_{12}+3x_{11}}/4

Jadi, pada contoh ini Q_{3}={78+3.75}/4={78+225}/4=75,75

 

Jika datanya sudah tersaji dalam kelas-kelas interval, Q1 ditentukan dengan rumus berikut

Q_{1}=L_{1}+({n/4-(Sigma f)_{1}}/{f_{b}})c ……………………………………….. (*)

dengan:

L1 = tepi bawah kelas tempat kuartil bawah berada (kelas kuartil bawah)

n = jumlah semua frekuensi (= banyaknya data)

f)1 = jumlah frekuensi semua kelas yang lebih rendah dari kelas kuartil bawah

fb = frekuensi kelas kuartil bawah

c = lebar kelas Q1 = tepi atas kelas Q1 – tepi bawah kelas Q1

 

sedangkan Q3 ditentukan dengan rumus sebagai berikut

Q_{3}=L_{1}+({{3n}/4-(Sigma f)_{1}}/{f_{a}})c ……………………………………….. (**)

dengan:

L1 = tepi bawah kelas tempat kuartil atas berada (kelas kuartil atas)

n = jumlah semua frekuensi (= banyaknya data)

f)1 = jumlah frekuensi semua kelas yang lebih rendah dari kelas kuartil atas

fa = frekuensi kelas kuartil atas

c = lebar kelas Q3 = tepi atas kelas Q3 – tepi bawah kelas Q3

 

Contoh 2:

Berikut ini merupakan data penggunaan pulsa pascabayar 50 orang karyawan di suatu perusahaan, dalam satuan ribu rupiah. Berapakah nilai kuartil bawah dan kuartil atasnya?

No. Penggunaan Pulsa per Bulan (ribu Rupiah) Banyaknya Karyawan
1 106 – 140 5
2 141 – 175 13
3 176 – 210 20
4 211 – 245 7
5 246 – 280 5

 

Jawab:

Langkah pertama, tambahkan satu kolom lagi di sebelah kanan kolom frekuensi, yaitu kolom nomor data. Karena kelas pertama memuat 5 data, nomor data kelas pertama adalah nomor 1 sampai dengan 5. Karena kelas kedua memuat 13 data, nomor data kelas kedua adalah nomor 6 sampai dengan 18, demikian seterusnya, hingga diperoleh tabel berikut.

No. Penggunaan Pulsa per Bulan (ribu Rupiah) fi Nomor Data
1 106 – 140 5 1 s.d. 5
2 141 – 175 13 6 s.d. 18
3 176 – 210 20 19 s.d. 38
4 211 – 245 7 39 s.d. 45
5 246 – 280 5 46 s.d. 50
JUMLAH 50

 

Untuk menghitung kuartil bawah, perhatikan bahwa pada contoh ini n = 50 sehingga n/4 = 50/4 = 12,5. Perhatikan bahwa data ke-12½ ada pada kelas ke-2, yaitu kelas 141-175. Kelas ke-2 inilah selanjutnya disebut kelas Q1. Kemudian, kita hitung L1 = 141-0,5 = 140,5. Jumlah semua frekuensi yang lebih rendah dari kelas Q1 adalah (Ʃf)1 = 5. Frekuensi kelas Q1 adalah fb = 13. Lebar kelas Q1 adalah c = 175,5-140,5 = 35. Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam (*), diperoleh:

Q_{1}=L_{1}+({n/4-(Sigma f)_{1}}/{f_{b}})c=140,5+({12,5-5}/{13}).35 approx 160,69

Jadi, kuartil bawah penggunaan pulsa pascabayar 50 orang karyawan tersebut adalah Rp 160.690.

Untuk menghitung kuartil atasnya, kita hitung dulu 3n/4 = 3.50/4 = 37,5. Perhatikan bahwa data ke-37½ ada pada kelas ke-3, yaitu kelas 176-210. Kelas ke-3 inilah selanjutnya disebut kelas Q3. Kemudian, kita hitung L1 = 176-0,5 = 175,5. Jumlah semua frekuensi yang lebih rendah dari kelas Q3 adalah (Ʃf)1 = 5+13 = 18. Frekuensi kelas Q3 adalah fa = 20. Lebar kelas Q3 adalah c = 210,5-175,5 = 35. Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam (**), diperoleh:

Q_{3}=L_{1}+({{3n}/4-(Sigma f)_{1}}/{f_{a}})c=175,5+({37,5-18}/{20}).35=209,625

Jadi, kuartil atas penggunaan pulsa pascabayar 50 orang karyawan tersebut adalah Rp 209.625.

 

EVALUASI: Latihan soal mengenai kuartil-kuartil

 

Referensi:

  1. Spiegel, M. R., Theory and Problems of Statistics, McGraw-Hill Inc., 1981
  2. Shukla, M. C., S. S., Gulshan, Elements of Statistics for Commerce Students, S. Chand&Co.(Pvt) Ltd., 1971

 

Materi selanjutnya: modus

Tagging: , , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *