TITIK BERAT LIMAS SEGITIGA

Juli 30th, 2016

Misalkan diketahui limas segitiga T.ABC. Pada limas tersebut, misalkan D adalah titik tengah BC, E titik tengah AB. Titik potong antara AD dan CE adalah F, yaitu titik berat ΔABC. Karena itu CF:FE = 2:1 (untuk pembuktian mengenai perbandingan ini, silakan pelajari materi Titik Berat Segitiga). Tarik garis yang melalui T dan F, sehingga TF merupakan suatu garis berat limas tersebut. (Lihat gambar di bawah.)

Limas_Segitiga

Karena E titik tengah AB, TE merupakan suatu garis berat ΔTAB. Misalkan K titik tengah TB. Dengan demikian AK merupakan garis berat lainnya dari ΔTAB. TE dan AK saling berpotongan di G, yaitu titik berat ΔTAB. Karena itu EG:GT = 1:2 (untuk pembuktian mengenai perbandingan ini, silakan pelajari materi Titik Berat Segitiga). Kemudian tarik garis yang melalui C dan G, sehingga CG merupakan garis berat lainnya dari limas tersebut. Karena CG dan TF keduanya terletak di ΔTEC dan keduanya tidak sejajar, kedua garis tersebut akan berpotongan di suatu titik, misalkan titik P. Titik P ini merupakan titik berat limas T.ABC. Berapa perbandingan TP:PF? Berapa perbandingan CP:PG? Inilah yang akan kita jawab.

Sekarang, misalkan $\overrightarrow{BC}=\vec{a}$ , $\overrightarrow{BT}=\vec{b}$ , $\overrightarrow{BA}=\vec{c}$ .

Misalkan juga $\overrightarrow{PG}=x \overrightarrow{CG}$ dan $\overrightarrow{PF}=y \overrightarrow{TF}$ (0 < x < 1 dan 0 < y < 1).

Akibatnya, $\overrightarrow{CP}=(1-x) \overrightarrow{CG}$ .

Perhatikan bahwa $\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{CF}$ . Dari perbandingan CF:FE = 2:1 diperoleh bahwa $\overrightarrow{CF}= \frac{2}{3} \overrightarrow{CE}$ . Jadi, $\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{CF}$ dapat dinyatakan sebagai:

$(1-x) \overrightarrow{CG}+y \overrightarrow{TF}= \frac{2}{3} \overrightarrow{CE}$

$(1-x)(\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EG})+y(\overrightarrow{TE}+\overrightarrow{EF})=\frac{2}{3} \overrightarrow{CE}$

Dari perbandingan EG:GT = 1:2 dan CF:FE = 2:1, diperoleh:

$(1-x)(\overrightarrow{CE}-\frac{1}{3} \overrightarrow{TE})+y(\overrightarrow{TE}+\frac{1}{3} \overrightarrow{EC})=\frac{2}{3} \overrightarrow{CE}$ ………………………. (*)

Substitusikan $\overrightarrow{CE}=-\vec{a}+\frac{1}{2} \vec{c}$ , $\overrightarrow{TE}=-\vec{b}+\frac{1}{2} \vec{c}$ , dan $\overrightarrow{EC}=\vec{a}-\frac{1}{2} \vec{c}$ ke dalam (*) akan diperoleh persamaan vektor: $(3x+y-1) \vec{a}-(x+3y-1) \vec{b}-(x-y) \vec{c}= \vec{0}$ .

Perhatikan bahwa $\vec{b}$ tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari $\vec{a}$ dan $\vec{c}$ . Selain itu, $\vec{a}$ dan $\vec{c}$ tidak sejajar. Dari dua pernyataan tersebut, kita simpulkan bahwa $\vec{a}$ , $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ saling bebas. Karena ketiga vektor ini saling bebas, $(3x+y-1) \vec{a}-(x+3y-1) \vec{b}-(x-y) \vec{c}=\vec{0}$ mensyaratkan ketiga hal berikut:

Solusi sistem persamaan linier tersebut menghasilkan $x \: = \: y \: = \: \frac{1}{4}$ .

Jadi, TP:PF = CP:PG = 3:1.

Pertanyaan selanjutnya sekarang adalah apabila koordinat T, A, B, dan C diketahui, berapakah koordinat titik beratnya? Dari perbandingan TP:PF = 3:1, diperoleh bahwa $\overrightarrow{FP}=\frac{1}{4} \overrightarrow{FT}$ . Dengan notasi vektor posisi dari titik F, P, dan T, diperoleh:

$\vec{P}-\vec{F}=\frac{1}{4} (\vec{T}-\vec{F})$

$\vec{P}=\frac{1}{4} \vec{T}+\frac{3}{4} \vec{F}$ …………………………………………………………………….. (**)

Dari perbandingan CF:FE = 2:1, diperoleh bahwa $\vec{F}=\frac{2}{3} \vec{E}+\frac{1}{3} \vec{C}$ sehingga (**) dapat dinyatakan sebagai:

$\vec{P}=\frac{1}{4} \vec{T}+\frac{1}{2} \vec{E}+\frac{1}{4} \vec{C}$

Karena E titik tengah AB, $\vec{E}=\frac{1}{2} \vec{A}+\frac{1}{2} \vec{B}$ sehingga diperoleh $\vec{P}=\frac{1}{4}(\vec{T}+\vec{A}+\vec{B}+\vec{C})$ .