PANJANG GARIS BERAT SEGITIGA

Oktober 23rd, 2016

Di post saya yang lain telah diuraikan bagaimana cara mencari letak titik berat suatu segitiga. Sekarang akan diuraikan bagaimana cara menghitung panjang garis berat suatu segitiga yang ditarik dari suatu titik sudut tertentu segitiga tersebut.

 

Panjang garis berat suatu segitiga mudah dihitung apabila kita ingat dalil Stewart sebagai berikut.

 

Dalil Stewart

Diketahui segitiga sembarang ABC. Titik D terletak pada ruas garis AB sedemikian hingga AD = c1 dan DB = c2. Misalkan BC = a, AC = b, AB = c. (Lihat Gambar 1.)

stewart

Gambar 1

Jika CD = ℓ maka berlaku ℓ2c = a2c1 + b2c2 – c1c2c.

 

Jika CD merupakan garis berat ∆ABC yang ditarik dari titik sudut C maka c_1 = c_2 = \frac{c}{2}. Substitusikan nilai c1 dan c2 ini ke dalam rumus Stewart di atas, diperoleh:

ℓ2c = a2.½c + b2.½c – (½c)(½c).c

Kalikan kedua ruas di atas dengan 1/c, diperoleh:

ℓ2 = ½a2 + ½b2 – ¼c2 ……………………………………………………… (*)

Besarnya ℓ diperoleh dengan menarik akar kuadrat ruas kanan (*).

 

Dengan memisalkan:

Panjang garis berat ∆ABC yang ditarik dari titik sudut C = zc

Panjang garis berat ∆ABC yang ditarik dari titik sudut B = zb

Panjang garis berat ∆ABC yang ditarik dari titik sudut A = za

Maka dari (*) dapat disimpulkan:

z_c = \sqrt{\frac{1}{2} a^2 + \frac{1}{2} b^2 - \frac{1}{4} c^2} ……………………. (1)

z_b = \sqrt{\frac{1}{2} a^2 + \frac{1}{2} c^2 - \frac{1}{4} b^2} ……………………. (2)

z_a = \sqrt{\frac{1}{2} b^2 + \frac{1}{2} c^2 - \frac{1}{4} a^2} ……………………. (3)

(Lihat Gambar 2.)

zazbzc

Gambar 2

(Pada Gambar 2, a = BC, b = AC, dan c = AB.)

 

Contoh

Diketahui ∆ABC dengan AB = 12 cm, BC = 9 cm, dan AC = 5 cm. Hitunglah panjang garis berat yang ditarik dari A, B, dan C!

 

Jawab:

Pada contoh ini, a = 9 cm, b = 5 cm, dan c = 12 cm.

Panjang garis berat yang ditarik dari A adalah za, yaitu:

z_a = \sqrt{\frac{1}{2} \cdot 5^2 + \frac{1}{2} \cdot 12^2 - \frac{1}{4} \cdot 9^2} \: cm

z_a = \frac{\sqrt{257}}{2} \: cm

Panjang garis berat yang ditarik dari B adalah zb, yaitu:

z_b = \sqrt{\frac{1}{2} \cdot 9^2 + \frac{1}{2} \cdot 12^2 - \frac{1}{4} \cdot 5^2} \: cm

z_b = \frac{5 \sqrt{17}}{2} \: cm

Panjang garis berat yang ditarik dari C adalah zc, yaitu:

z_c = \sqrt{\frac{1}{2} \cdot 9^2 + \frac{1}{2} \cdot 5^2 - \frac{1}{4} \cdot 12^2} \: cm

z_c = \sqrt{17} \: cm

 

Pada penyelesaian contoh di atas, za, zb, dan zc dihitung dengan menggunakan (3), (2), dan (1). Jika dua di antara za, zb, dan zc sudah dihitung, panjang garis berat yang satunya lagi dapat juga dihitung dengan menggunakan rumus berikut.

4(za2 + zb2 + zc2) = 3(a2 + b2 + c2) …………………………… (**)

Rumus (**) menunjukkan perbandingan antara jumlah kuadrat panjang masing-masing sisi segitiga dengan jumlah kuadrat panjang masing-masing garis berat:

(a2 + b2 + c2) : (za2 + zb2 + zc2) = 4 : 3

Menarik bukan?

 

Terima kasih atas kunjungan Anda ke website ini. Untuk kepuasan Anda, Anda dapat mengajukan permintaan materi untuk dimuat di edscyclopedia.com. Kirim permintaan tersebut melalui e-mail ke sondakh.edu@google.com.

 

Tagging: , , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan.