BESAR JUMLAH VEKTOR vs BESAR SELISIH VEKTOR

September 27th, 2016

 jumsel_vek

Jika diketahui besar (magnitude) dua buah vektor dan besar jumlah kedua vektor itu, berapakah besar selisih kedua vektor itu? Berapakah sudut yang dibentuk antara jumlah kedua vektor dengan selisih kedua vektor? Untuk lebih jelasnya mengenai apa yang dimaksud kedua pertanyaan itu, simaklah Contoh Soal 1 berikut.

 

Contoh Soal 1

Diketahui dua buah vektor vec{a} dan vec{b} dengan delim{vert}{vec{a}}{vert} ~=~ 4 dan delim{vert}{vec{b}}{vert} ~=~ 10. Jika diketahui delim{vert}{vec{a} ~+~ vec{b}}{vert} ~=~ 2 sqrt{39}, berapakah delim{vert}{vec{a} ~-~ vec{b}}{vert}? Jika φ adalah sudut antara vec{a} ~+~ vec{b} dengan vec{a} ~-~ vec{b}, berapakah cos φ?

 

Pertanyaan tersebut dapat diselesaikan dengan rumus yang biasa diajarkan dalam pelajaran fisika SMA, yaitu delim{vert}{vec{F}_{R}}{vert} ~=~ sqrt{{delim{vert}{vec{F}_{1}}{vert}}^2 ~+~ {delim{vert}{vec{F}_{2}}{vert}}^2 ~+~ 2 delim{vert}{vec{F}_{1}}{vert} delim{vert}{vec{F}_{2}}{vert} cos {alpha}} dengan α = sudut antara vec{F_{1}} dengan vec{F_{2}}. Namun menyelesaikan dengan rumus ini cukup menghabiskan waktu, padahal ada suatu hubungan di antara besar jumlah vektor dan besar selisih vektor, sebagaimana dapat dilihat pada dalil berikut.

 

Misalkan vec{a} , ~ vec{b} masing-masing vektor yang besarnya (secara berturutan) adalah delim{vert}{vec{a}}{vert} dan delim{vert}{vec{b}}{vert}. Maka berlakulah dua hubungan berikut:

{delim{vert}{vec{a} ~+~ vec{b}}{vert}}^2 ~+~ {delim{vert}{vec{a} ~-~ vec{b}}{vert}}^2 ~=~ 2 {delim{vert}{vec{a}}{vert}}^2 ~+~ 2 {delim{vert}{vec{b}}{vert}}^2 ………………………….. (*1)

cos {varphi} ~=~ {{delim{vert}{vec{a}}{vert}}^2 ~-~ {delim{vert}{vec{b}}{vert}}^2}/{ delim{vert}{vec{a} ~+~ vec{b}}{vert} delim{vert}{vec{a} ~-~ vec{b}}{vert}} …………………………….. (*2)

dengan φ = besarnya sudut antara vec{a} ~+~ vec{b} dengan vec{a} ~-~ vec{b}.

 

Catatan:

φ pada rumus (*2) adalah sudut antara vec{a} ~+~ vec{b} dengan vec{a} ~-~ vec{b}. Jika yang dipertanyakan adalah sudut antara vec{a} ~+~ vec{b} dengan vec{b} ~-~ vec{a}, rumus (*2) dimodifikasi menjadi:

cos {varphi} ~=~ {{delim{vert}{vec{b}}{vert}}^2 ~-~ {delim{vert}{vec{a}}{vert}}^2}/{ delim{vert}{vec{a} ~+~ vec{b}}{vert} delim{vert}{vec{b} ~-~ vec{a}}{vert}} …………………………….. (*2a)

 

Dengan (*1) dan (*2), Contoh Soal 1 dapat diselesaikan dengan mudah. Substitusikan delim{vert}{vec{a}}{vert} ~=~ 4, delim{vert}{vec{b}}{vert} ~=~ 10, dan delim{vert}{vec{a} ~+~ vec{b}}{vert} ~=~ 2 sqrt{39} ke dalam (*1), diperoleh:

(2 sqrt{39})^2 ~+~ {delim{vert}{vec{a} ~-~ vec{b}}{vert}}^2 ~=~ 2.{4^2} ~+~ 2.{10^2}

{delim{vert}{vec{a} ~-~ vec{b}}{vert}}^2 ~=~ 76

delim{vert}{vec{a} ~-~ vec{b}}{vert} ~=~ 2 sqrt{19}

Selanjutnya, substitusikan semua yang sudah didapat atau diketahui ke dalam (*2), diperoleh:

cos {varphi} ~=~ {4^2 ~-~ 10^2}/{2 sqrt{39} . 2 sqrt{19}} ~=~ - ~ {21}/{sqrt{741}}

 

(Coba bandingkan penyelesaian menggunakan dua rumus di atas dengan rumus yang adik-adik dapatkan di sekolah atau di buku-buku SMA. Cara ini lebih cepat.)

 

Seandainya pada Contoh Soal 1 yang ditanyakan adalah cosinus sudut antara vec{a} ~+~ vec{b} dengan vec{b} ~-~ vec{a}, maka dengan rumus (*2a) akan diperoleh jawaban cos {varphi} ~=~ {10^2 ~-~ 4^2}/{2 sqrt{39} . 2 sqrt{19}} ~=~ {21}/{sqrt{741}}.

 

Contoh Soal 2

Dua buah vektor vec{a} dan vec{b} besarnya berbanding sebagai 2 : 3. Jika delim{vert}{vec{a} ~+~ vec{b}}{vert} ~=~ {delim{vert}{vec{a}}{vert} ~+~ delim{vert}{vec{b}}{vert}}/2, tentukanlah nilai cosinus sudut antara vec{a} ~+~ vec{b} dan vec{a} ~-~ vec{b}.

 

Jawab:

Dengan diketahui perbandingan panjang kedua vektor, kita dapat memisalkan delim{vert}{vec{a}}{vert} ~=~ 2p dan delim{vert}{vec{b}}{vert} ~=~ 3p dengan p ≠ 0, dan selanjutnya delim{vert}{vec{a} ~+~ vec{b}}{vert} ~=~ {2p+3p}/2 ~=~ {5p}/2. Substitusikan semua yang telah didapat ini ke dalam (*1), diperoleh:

({5p}/2)^2 ~+~ {delim{vert}{vec{a} ~-~ vec{b}}{vert}}^2 ~=~ 2. (2p)^2 ~+~ 2. (3p)^2

{delim{vert}{vec{a} ~-~ vec{b}}{vert}}^2 ~=~ {79 p^2}/4

delim{vert}{vec{a} ~-~ vec{b}}{vert} ~=~ {1/2} p sqrt{79}

Jika φ adalah sudut yang dimaksud pada soal ini, dengan menggunakan (*2), diperoleh:

cos {varphi} ~=~ {(2p)^2 ~-~ (3p)^2}/{{5p}/2 ~.~ {p sqrt{79}}/2} ~=~ - ~ 4/{sqrt{79}}.

(Coba bandingkan penyelesaian menggunakan dua rumus di atas dengan rumus yang adik-adik dapatkan di sekolah atau di buku-buku SMA. Cara ini lebih cepat.)

 

Latihan

Diketahui dua buah vektor vec{a} dan vec{b} dengan delim{vert}{vec{a}}{vert} ~=~ 6 dan delim{vert}{vec{b}}{vert} ~=~ 10. Jika diketahui delim{vert}{vec{a} ~+~ vec{b}}{vert} ~=~ 12, berapakah delim{vert}{vec{a} ~-~ vec{b}}{vert}? Jika φ adalah sudut antara vec{a} ~+~ vec{b} dengan vec{a} ~-~ vec{b}, berapakah cos φ?

Tagging: , , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *