BESAR JUMLAH VEKTOR vs BESAR SELISIH VEKTOR

September 27th, 2016

 jumsel_vek

Jika diketahui besar (magnitude) dua buah vektor dan besar jumlah kedua vektor itu, berapakah besar selisih kedua vektor itu? Berapakah sudut yang dibentuk antara jumlah kedua vektor dengan selisih kedua vektor? Untuk lebih jelasnya mengenai apa yang dimaksud kedua pertanyaan itu, simaklah Contoh Soal 1 berikut.

 

Contoh Soal 1

Diketahui dua buah vektor [pmath]vec{a}[/pmath] dan [pmath]vec{b}[/pmath] dengan [pmath]delim{vert}{vec{a}}{vert} ~=~ 4[/pmath] dan [pmath]delim{vert}{vec{b}}{vert} ~=~ 10[/pmath]. Jika diketahui [pmath]delim{vert}{vec{a} ~+~ vec{b}}{vert} ~=~ 2 sqrt{39}[/pmath], berapakah [pmath]delim{vert}{vec{a} ~-~ vec{b}}{vert}[/pmath]? Jika φ adalah sudut antara [pmath]vec{a} ~+~ vec{b}[/pmath] dengan [pmath]vec{a} ~-~ vec{b}[/pmath], berapakah cos φ?

 

Pertanyaan tersebut dapat diselesaikan dengan rumus yang biasa diajarkan dalam pelajaran fisika SMA, yaitu [pmath]delim{vert}{vec{F}_{R}}{vert} ~=~ sqrt{{delim{vert}{vec{F}_{1}}{vert}}^2 ~+~ {delim{vert}{vec{F}_{2}}{vert}}^2 ~+~ 2 delim{vert}{vec{F}_{1}}{vert} delim{vert}{vec{F}_{2}}{vert} cos {alpha}}[/pmath] dengan α = sudut antara [pmath]vec{F_{1}}[/pmath] dengan [pmath]vec{F_{2}}[/pmath]. Namun menyelesaikan dengan rumus ini cukup menghabiskan waktu, padahal ada suatu hubungan di antara besar jumlah vektor dan besar selisih vektor, sebagaimana dapat dilihat pada dalil berikut.

 

Misalkan [pmath]vec{a} , ~ vec{b}[/pmath] masing-masing vektor yang besarnya (secara berturutan) adalah [pmath]delim{vert}{vec{a}}{vert}[/pmath] dan [pmath]delim{vert}{vec{b}}{vert}[/pmath]. Maka berlakulah dua hubungan berikut:

[pmath]{delim{vert}{vec{a} ~+~ vec{b}}{vert}}^2 ~+~ {delim{vert}{vec{a} ~-~ vec{b}}{vert}}^2 ~=~ 2 {delim{vert}{vec{a}}{vert}}^2 ~+~ 2 {delim{vert}{vec{b}}{vert}}^2[/pmath] ………………………….. (*1)

[pmath]cos {varphi} ~=~ {{delim{vert}{vec{a}}{vert}}^2 ~-~ {delim{vert}{vec{b}}{vert}}^2}/{ delim{vert}{vec{a} ~+~ vec{b}}{vert} delim{vert}{vec{a} ~-~ vec{b}}{vert}}[/pmath] …………………………….. (*2)

dengan φ = besarnya sudut antara [pmath]vec{a} ~+~ vec{b}[/pmath] dengan [pmath]vec{a} ~-~ vec{b}[/pmath].

 

Catatan:

φ pada rumus (*2) adalah sudut antara [pmath]vec{a} ~+~ vec{b}[/pmath] dengan [pmath]vec{a} ~-~ vec{b}[/pmath]. Jika yang dipertanyakan adalah sudut antara [pmath]vec{a} ~+~ vec{b}[/pmath] dengan [pmath]vec{b} ~-~ vec{a}[/pmath], rumus (*2) dimodifikasi menjadi:

[pmath]cos {varphi} ~=~ {{delim{vert}{vec{b}}{vert}}^2 ~-~ {delim{vert}{vec{a}}{vert}}^2}/{ delim{vert}{vec{a} ~+~ vec{b}}{vert} delim{vert}{vec{b} ~-~ vec{a}}{vert}}[/pmath] …………………………….. (*2a)

 

Dengan (*1) dan (*2), Contoh Soal 1 dapat diselesaikan dengan mudah. Substitusikan [pmath]delim{vert}{vec{a}}{vert} ~=~ 4[/pmath], [pmath]delim{vert}{vec{b}}{vert} ~=~ 10[/pmath], dan [pmath]delim{vert}{vec{a} ~+~ vec{b}}{vert} ~=~ 2 sqrt{39}[/pmath] ke dalam (*1), diperoleh:

[pmath](2 sqrt{39})^2 ~+~ {delim{vert}{vec{a} ~-~ vec{b}}{vert}}^2 ~=~ 2.{4^2} ~+~ 2.{10^2}[/pmath]

[pmath]{delim{vert}{vec{a} ~-~ vec{b}}{vert}}^2 ~=~ 76[/pmath]

[pmath]delim{vert}{vec{a} ~-~ vec{b}}{vert} ~=~ 2 sqrt{19}[/pmath]

Selanjutnya, substitusikan semua yang sudah didapat atau diketahui ke dalam (*2), diperoleh:

[pmath]cos {varphi} ~=~ {4^2 ~-~ 10^2}/{2 sqrt{39} . 2 sqrt{19}} ~=~ – ~ {21}/{sqrt{741}}[/pmath]

 

(Coba bandingkan penyelesaian menggunakan dua rumus di atas dengan rumus yang adik-adik dapatkan di sekolah atau di buku-buku SMA. Cara ini lebih cepat.)

 

Seandainya pada Contoh Soal 1 yang ditanyakan adalah cosinus sudut antara [pmath]vec{a} ~+~ vec{b}[/pmath] dengan [pmath]vec{b} ~-~ vec{a}[/pmath], maka dengan rumus (*2a) akan diperoleh jawaban [pmath]cos {varphi} ~=~ {10^2 ~-~ 4^2}/{2 sqrt{39} . 2 sqrt{19}} ~=~ {21}/{sqrt{741}}[/pmath].

 

Contoh Soal 2

Dua buah vektor [pmath]vec{a}[/pmath] dan [pmath]vec{b}[/pmath] besarnya berbanding sebagai 2 : 3. Jika [pmath]delim{vert}{vec{a} ~+~ vec{b}}{vert} ~=~ {delim{vert}{vec{a}}{vert} ~+~ delim{vert}{vec{b}}{vert}}/2[/pmath], tentukanlah nilai cosinus sudut antara [pmath]vec{a} ~+~ vec{b}[/pmath] dan [pmath]vec{a} ~-~ vec{b}[/pmath].

 

Jawab:

Dengan diketahui perbandingan panjang kedua vektor, kita dapat memisalkan [pmath]delim{vert}{vec{a}}{vert} ~=~ 2p[/pmath] dan [pmath]delim{vert}{vec{b}}{vert} ~=~ 3p[/pmath] dengan p ≠ 0, dan selanjutnya [pmath]delim{vert}{vec{a} ~+~ vec{b}}{vert} ~=~ {2p+3p}/2 ~=~ {5p}/2[/pmath]. Substitusikan semua yang telah didapat ini ke dalam (*1), diperoleh:

[pmath]({5p}/2)^2 ~+~ {delim{vert}{vec{a} ~-~ vec{b}}{vert}}^2 ~=~ 2. (2p)^2 ~+~ 2. (3p)^2[/pmath]

[pmath]{delim{vert}{vec{a} ~-~ vec{b}}{vert}}^2 ~=~ {79 p^2}/4[/pmath]

[pmath]delim{vert}{vec{a} ~-~ vec{b}}{vert} ~=~ {1/2} p sqrt{79}[/pmath]

Jika φ adalah sudut yang dimaksud pada soal ini, dengan menggunakan (*2), diperoleh:

[pmath]cos {varphi} ~=~ {(2p)^2 ~-~ (3p)^2}/{{5p}/2 ~.~ {p sqrt{79}}/2} ~=~ – ~ 4/{sqrt{79}}[/pmath].

(Coba bandingkan penyelesaian menggunakan dua rumus di atas dengan rumus yang adik-adik dapatkan di sekolah atau di buku-buku SMA. Cara ini lebih cepat.)

 

Latihan

Diketahui dua buah vektor [pmath]vec{a}[/pmath] dan [pmath]vec{b}[/pmath] dengan [pmath]delim{vert}{vec{a}}{vert} ~=~ 6[/pmath] dan [pmath]delim{vert}{vec{b}}{vert} ~=~ 10[/pmath]. Jika diketahui [pmath]delim{vert}{vec{a} ~+~ vec{b}}{vert} ~=~ 12[/pmath], berapakah [pmath]delim{vert}{vec{a} ~-~ vec{b}}{vert}[/pmath]? Jika φ adalah sudut antara [pmath]vec{a} ~+~ vec{b}[/pmath] dengan [pmath]vec{a} ~-~ vec{b}[/pmath], berapakah cos φ?

Tagging: , , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *