Misalnya di suatu daerah ada suatu aturan bahwa setiap tukang cukur di daerah itu harus mencukur siapa pun yang tidak mencukur dirinya sendiri dan tidak boleh mencukur orang yang mencukur dirinya sendiri. Mr. Brown adalah salah seorang tukang cukur di daerah tersebut. Pertanyaannya adalah siapa yang mencukur Mr. Brown? Seandainya pertanyaan ini dijawab: “Mr. Brown mencukur dirinya sendiri.” Menurut aturan di daerah itu, ia tidak boleh mencukur mencukur dirinya sendiri. Jadi, menurut aturan ini, Mr. Brown tidak mencukur dirinya sendiri. Kalau begitu, berarti tukang cukur lain yang mencukur Mr. Brown. Ini pun tidak mungkin. Mengapa? Anggaplah ia datang ke tukang cukur lain, misalnya Mr. Red. Maka Mr. Brown datang ke Mr. Red dengan status sebagai orang yang tidak mencukur dirinya sendiri. Tetapi, aturan di daerah itu mengatakan setiap tukang cukur harus mencukur siapa pun (tanpa kecuali) orang yang tidak mencukur dirinya sendiri. Karena aturan ini, Mr. Brown harus mencukur dirinya sendiri! Padahal aturan di daerah itu tukang cukur tidak boleh mencukur orang yang mencukur dirinya sendiri! Jadi, masing-masing jawaban akan menimbulkan suatu kontradiksi/pertentangan.
Persoalan tadi merupakan salah satu varian dari apa yang dinamakan Russel’s Paradox. Paradoks ini sebenarnya merupakan suatu analogi salah satu paradoks dalam teori himpunan. Dalam teori himpunan, pertanyaannya adalah seperti ini. Misalkan S suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah semua himpunan yang tidak memuat himpunan itu sendiri sebagai anggotanya. Jadi, S = {x ∣ x ∉ x}. Yang menjadi pertanyaannya sekarang adalah apakah S ∊ S atau S ∉ S. Apabila dijawab S ∊ S, menurut pendefinisian S, haruslah S ∉ S. Jadi, timbul suatu pertentangan. Tetapi apabila dijawab S ∉ S, menurut pendefinisian S, S ini harus menjadi anggota S (S ∊ S). Pertentangan lagi.
Georg Cantor (1845-1918) adalah seorang ahli matematika bangsa Jerman yang untuk pertama kalinya mempelari teori himpunan secara khusus sebagai disiplin matematika. Teori himpunan versi Cantor ini (yang dalam beberapa literatur disebut sebagai the naive set theory) di satu sisi menjadi dasar dalam matematika namun di sisi lain memiliki cacat sehingga menimbulkan beberapa paradoks; sebagaimana dituliskan oleh Lipschutz, “Today, the theory of sets lies at the foundations of mathematics and has revolutionized almost every branch of mathematics. At about the same time that set theory began to influence other branches of mathematics, various contradictions, called paradoxes, were discovered.”
Dalam perkembangan selanjutnya, dua orang ahli matematika bernama Ernst Zermelo dan Abraham Fraenkel mengembangkan teori himpunan lain yang dinamakan dengan Zermelo-Fraenkel Set Theory. Mereka mengemukakan suatu teori himpunan yang kemudian menjadi sistem pondasi bagi matematika; teori himpunan versi mereka ini populer dengan singkatan ZFC, yaitu Zermelo-Fraenkel Set Theory with The Axiom of Choice. ZFC ini merupakan bentuk standar teori himpunan aksiomatik (axiomatic set theory) dan karenanya merupakan pondasi paling umum dari matematika. Dengan ZFC ini kita dapat terhindar dari paradoks Russel sebagaimana diuraikan di bagian awal tulisan ini. Mengenai Zermelo-Fraenkel Set Theory dapat dipelajari di tautan yang terdapat di bagian akhir tulisan ini.
PARADOKS TUKANG CUKUR
Misalnya di suatu daerah ada suatu aturan bahwa setiap tukang cukur di daerah itu harus mencukur siapa pun yang tidak mencukur dirinya sendiri dan tidak boleh mencukur orang yang mencukur dirinya sendiri. Mr. Brown adalah salah seorang tukang cukur di daerah tersebut. Pertanyaannya adalah siapa yang mencukur Mr. Brown? Seandainya pertanyaan ini dijawab: “Mr. Brown mencukur dirinya sendiri.” Menurut aturan di daerah itu, ia tidak boleh mencukur mencukur dirinya sendiri. Jadi, menurut aturan ini, Mr. Brown tidak mencukur dirinya sendiri. Kalau begitu, berarti tukang cukur lain yang mencukur Mr. Brown. Ini pun tidak mungkin. Mengapa? Anggaplah ia datang ke tukang cukur lain, misalnya Mr. Red. Maka Mr. Brown datang ke Mr. Red dengan status sebagai orang yang tidak mencukur dirinya sendiri. Tetapi, aturan di daerah itu mengatakan setiap tukang cukur harus mencukur siapa pun (tanpa kecuali) orang yang tidak mencukur dirinya sendiri. Karena aturan ini, Mr. Brown harus mencukur dirinya sendiri! Padahal aturan di daerah itu tukang cukur tidak boleh mencukur orang yang mencukur dirinya sendiri! Jadi, masing-masing jawaban akan menimbulkan suatu kontradiksi/pertentangan.
Persoalan tadi merupakan salah satu varian dari apa yang dinamakan Russel’s Paradox. Paradoks ini sebenarnya merupakan suatu analogi salah satu paradoks dalam teori himpunan. Dalam teori himpunan, pertanyaannya adalah seperti ini. Misalkan S suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah semua himpunan yang tidak memuat himpunan itu sendiri sebagai anggotanya. Jadi, S = {x ∣ x ∉ x}. Yang menjadi pertanyaannya sekarang adalah apakah S ∊ S atau S ∉ S. Apabila dijawab S ∊ S, menurut pendefinisian S, haruslah S ∉ S. Jadi, timbul suatu pertentangan. Tetapi apabila dijawab S ∉ S, menurut pendefinisian S, S ini harus menjadi anggota S (S ∊ S). Pertentangan lagi.
Dalam perkembangan selanjutnya, dua orang ahli matematika bernama Ernst Zermelo dan Abraham Fraenkel mengembangkan teori himpunan lain yang dinamakan dengan Zermelo-Fraenkel Set Theory. Mereka mengemukakan suatu teori himpunan yang kemudian menjadi sistem pondasi bagi matematika; teori himpunan versi mereka ini populer dengan singkatan ZFC, yaitu Zermelo-Fraenkel Set Theory with The Axiom of Choice. ZFC ini merupakan bentuk standar teori himpunan aksiomatik (axiomatic set theory) dan karenanya merupakan pondasi paling umum dari matematika. Dengan ZFC ini kita dapat terhindar dari paradoks Russel sebagaimana diuraikan di bagian awal tulisan ini. Mengenai Zermelo-Fraenkel Set Theory dapat dipelajari di tautan yang terdapat di bagian akhir tulisan ini.
Tautan yang berkaitan dengan tulisan ini:
Bagikan ini:
Most visitors also read :
BERKENALAN DENGAN NILAI DAN VEKTOR EIGEN
DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SINGULAR VALUE DECOMPOSITION)
MATRIKS AKAR KUADRAT
SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA