Persamaan kuadrat adalah persamaan dengan bentuk umum ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0. Ada beberapa teknik yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaian (atau akar-akar) suatu persamaan kuadrat. Salah satunya adalah dengan teknik pemfaktoran, yang sudah pernah dimuat pada post saya terdahulu. Kelemahan dari teknik pemfaktoran adalah sulit diterapkan apabila akar-akar persamaan tersebut irasional. Dalam post kali ini akan diuraikan metode lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu yang sering dinamakan rumus abc.
Misalkan diberikan suatu persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Persamaan kuadrat ini ekivalen dengan persamaan kuadrat ax2 + bx = -c. Karena a ≠ 0, kita dapat membagi kedua ruas persamaan itu dengan a, sehingga diperoleh:
Perhatikan bahwa (p + q)2 = p2 + 2pq + q2. Dengan mensubstitusikan p = x dan
ke dalam rumus tersebut, ruas kiri persamaan kuadrat di atas adalah sama dengan:
sehingga persamaan tersebut dapat ditulis kembali sebagai berikut:
Dengan menarik akar kuadrat dari kedua ruas persamaan tersebut, diperoleh:
Rumus di atas populer dengan rumus abc!
Jika D = b2 – 4ac maka hasil tersebut dapat dinyatakan kembali sebagai:
D dinamakan diskriminan. Ada tiga kemungkinan bagi D, yaitu D > 0, D = 0, atau D < 0.
D > 0
Jika D > 0 maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar yang berbeda nilainya, yaitu:
D = 0
Jika D = 0 maka x1 = x2. Dengan kata lain, persamaan kuadrat tersebut memiliki akar kembar, hanya memiliki sebuah akar.
D < 0
Jika D < 0 maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar yang merupakan bilangan nyata. Persamaan ini memiliki dua akar yang merupakan bilangan kompleks.
Contoh 1
Tentukan akar-akar persamaan 2x2 – 5x – 3 = 0.
Jawab:
Pada contoh ini, a = 2, b = -5, dan c = -3. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus abc, diperoleh:
dan
Jadi persamaan ini memiliki dua akar berlainan, yaitu x = 3 atau x = – ½. [Perhatikan bahwa pada contoh ini, D = 7 > 0.]
Pada contoh ini, a = 5, b = -3, dan c = 10. Perhatikan bahwa D = (-3)2 – 4.5.10 = – 191 < 0. Karena D < 0, persamaan kuadrat ini tidak memiliki akar yang merupakan bilangan nyata.
MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT DENGAN RUMUS abc
Persamaan kuadrat adalah persamaan dengan bentuk umum ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0. Ada beberapa teknik yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaian (atau akar-akar) suatu persamaan kuadrat. Salah satunya adalah dengan teknik pemfaktoran, yang sudah pernah dimuat pada post saya terdahulu. Kelemahan dari teknik pemfaktoran adalah sulit diterapkan apabila akar-akar persamaan tersebut irasional. Dalam post kali ini akan diuraikan metode lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu yang sering dinamakan rumus abc.
Misalkan diberikan suatu persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Persamaan kuadrat ini ekivalen dengan persamaan kuadrat ax2 + bx = -c. Karena a ≠ 0, kita dapat membagi kedua ruas persamaan itu dengan a, sehingga diperoleh:
Perhatikan bahwa (p + q)2 = p2 + 2pq + q2. Dengan mensubstitusikan p = x dan
ke dalam rumus tersebut, ruas kiri persamaan kuadrat di atas adalah sama dengan:
sehingga persamaan tersebut dapat ditulis kembali sebagai berikut:
Dengan menarik akar kuadrat dari kedua ruas persamaan tersebut, diperoleh:
Rumus di atas populer dengan rumus abc!
Jika D = b2 – 4ac maka hasil tersebut dapat dinyatakan kembali sebagai:
D dinamakan diskriminan. Ada tiga kemungkinan bagi D, yaitu D > 0, D = 0, atau D < 0.
D > 0
Jika D > 0 maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar yang berbeda nilainya, yaitu:
D = 0
Jika D = 0 maka x1 = x2. Dengan kata lain, persamaan kuadrat tersebut memiliki akar kembar, hanya memiliki sebuah akar.
D < 0
Jika D < 0 maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar yang merupakan bilangan nyata. Persamaan ini memiliki dua akar yang merupakan bilangan kompleks.
Contoh 1
Tentukan akar-akar persamaan 2x2 – 5x – 3 = 0.
Jawab:
Pada contoh ini, a = 2, b = -5, dan c = -3. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus abc, diperoleh:
dan
Jadi persamaan ini memiliki dua akar berlainan, yaitu x = 3 atau x = – ½. [Perhatikan bahwa pada contoh ini, D = 7 > 0.]
Contoh 2
Tentukan penyelesaian dari persamaan -x2 + 6x – 9 = 0.
Jawab:
Pada contoh ini, a = -1, b = 6, dan c = -9. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus abc, diperoleh:
x = 3 [Perhatikan bahwa pada contoh ini D = 0 sehingga persamaan hanya memiliki sebuah akar.]
Contoh 3
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut: 5x2 – 3x + 10 = 0.
Jawab:
Pada contoh ini, a = 5, b = -3, dan c = 10. Perhatikan bahwa D = (-3)2 – 4.5.10 = – 191 < 0. Karena D < 0, persamaan kuadrat ini tidak memiliki akar yang merupakan bilangan nyata.
Bagikan ini:
Most visitors also read :
BERKENALAN DENGAN NILAI DAN VEKTOR EIGEN
DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SINGULAR VALUE DECOMPOSITION)
MATRIKS AKAR KUADRAT
SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA