DEKOMPOSISI SPEKTRAL MATRIKS SIMETRIS

Juni 18th, 2021

Studi mengenai matriks simetris tergolong penting dalam rangka memahami statistika multivariat. Matriks variansi-kovariansi, yang sering digunakan dalam statistika multivariat, merupakan suatu contoh matriks simetris. Hasil pertama yang dapat diperoleh apabila suatu matriks bersifat simetris ditunjukkan pada Dalil 1 berikut ini.

Dalil 1

Jika A merupakan suatu matriks persegi yang simetris berordo k maka A memiliki k pasangan nilai eigen dan vektor eigen ({\lambda}_1, \vec{e}_1}), ({\lambda}_2, \vec{e}_2}), \ldots , ({\lambda}_k, \vec{e}_k}). Vektor-vektor eigen dapat dipilih sedemikian hingga bernorma 1 dan saling tegak lurus satu sama lain. Vektor-vektor eigen tersebut bersifat unik kecuali apabila dua atau lebih nilai eigennya sama.

Hasil selanjutnya, yang dinamakan dalil dekomposisi spektral matriks simetris, adalah sebagai berikut.

 

Dalil 2 [Dekomposisi Spektral Matriks Simetris]

Misalkan A suatu matriks persegi yang simetris berordo k dan ({\lambda}_1, \vec{e}_1}), ({\lambda}_2, \vec{e}_2}), \ldots , ({\lambda}_k, \vec{e}_k}) adalah pasangan-pasangan nilai eigen-vektor eigen sedemikian hingga semua vektor eigen tersebut bernorma 1 dan saling tegak lurus satu sama lain. Matriks A dapat dinyatakan sebagai:

Apakah vektor-vektor eigen yang diperoleh dari suatu matriks simetris pasti saling tegak lurus? Jawaban terhadap pertanyaan ini dijawab oleh dalil berikut.

 

Dalil 3

Jika A matriks simetris maka vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda saling tegak lurus (ortogonal).

 

Dari dalil tersebut, dapat disimpulkan bahwa vektor-vektor eigen yang dimaksud pada Dalil 2 belum tentu saling tegak lurus. Namun jika vektor-vektor eigen tersebut berasal dari ruang eigen berbeda maka vektor-vektor itu saling tegak lurus.

Apakah vektor-vektor eigen yang diperoleh dari suatu matriks simetris pasti saling bebas? Untuk menjawab ini, perhatikan dalil berikut.

 

Dalil 4

Jika v1, v2, … , vn adalah vektor-vektor eigen dari suatu matriks A yang didapat dari nilai-nilai eigen yang berbeda satu sama lain \lambda_1, \lambda_2, \ldots , \lambda_n maka v1, v2, … , vn saling bebas.

 

Dari Dalil 4 dapat disimpulkan jawaban terhadap pertanyaan tadi. Belum tentu vektor-vektor eigen pada Dalil 2 saling bebas. Namun, jika vektor-vektor eigen tersebut didapat dari nilai-nilai eigen yang berbeda maka vektor-vektor eigen tersebut saling bebas.

 

Contoh

Perhatikan matriks A sebagai berikut.

Bagaimana dekomposisi spektral matriks tersebut? Apakah dekomposisi tersebut tunggal?

Jawab
Dapat ditunjukkan bahwa persamaan karakteristik A adalah (\lambda - 12)(\lambda - 6)^{2} = 0.

Untuk \lambda = \lambda_1 = 12 diperoleh ruang eigen:

Basis E1 yang bernorma 1 adalah:

 

 

 

 

Untuk \lambda = \lambda_2 =\lambda_3 = 6 diperoleh ruang eigen:

Dalam rangka menentukan dekomposisi spektral bagi A, diperlukan vektor-vektor eigen yang saling tegak lurus dan bernorma 1. Dalam hal ini, Dalil 3 menjamin bahwa vektor-vektor eigen dalam E1 tegak lurus dengan vektor-vektor eigen dalam E2. Tinggal, sekarang mencari vektor-vektor eigen dalam E2 yang saling tegak lurus. E2 dibangun oleh \vec{u} = \begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} dan \vec{v} = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} sebagai vektor-vektor basisnya. Untuk mendapatkan basis ortonormal bagi E2, kita dapat menerapkan proses Gram-Schmidt. Normalisasi \vec{v} menghasilkan salah satu vektor basis ortonormalnya, yaitu \vec{e}_2 = \begin{pmatrix}1/{\sqrt{2}} \\ 1/{\sqrt{2}} \\ 0 \end{pmatrix}. Proyeksi \vec{u} pada ruang vektor yang dibangun \vec{e}_2 adalah:

Komponen \vec{u} yang tegak lurus dengan proyeksi tersebut adalah:

Normalisasi vektor ini menghasilkan \vec{e}_3 = \begin{pmatrix}1/{\sqrt{3}} \\ -1/{\sqrt{3}} \\ 1/{\sqrt{3}} \end{pmatrix}. Vektor terakhir ini adalah vektor yang bersama \vec{e}_2 membangun ruang eigen E2, sehingga \{ \vec{e}_2, \vec{e}_3 \} merupakan basis ortonormal bagi E2. Jadi, dekomposisi spektral bagi A adalah:

Dekomposisi ini tidak tunggal. Ada tak berhingga basis yang mungkin bagi E2. Sebagai contoh, kita dapat mengambil dua buah vektor yang saling bebas di E2, misalnya  \vec{p} = \begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} dan \vec{q} = \begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.  Perhatikan bahwa \{ \vec{p}, \vec{q} \} juga merupakan basis bagi E2. Dengan proses Gram-Schmidt, dapat diperoleh suatu basis ortonormal yang berbeda dengan yang sebelumnya. Untuk menunjukkan ini, normalkan \vec{p} untuk menghasilkan vektor basis dengan norma 1, yaitu \vec{f}_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 2/{\sqrt{5}} \\ -1/{\sqrt{5}} \end{pmatrix}. Vektor proyeksi \vec{q} pada ruang vektor yang dibangun \vec{f}_2 adalah:

Komponen \vec{q} yang tegak lurus dengan proyeksi tersebut adalah:

Normalisasi vektor ini menghasilkan \vec{f}_3 = \begin{pmatrix} 5/{\sqrt{30}} \\ 1/{\sqrt{30}} \\  2/{\sqrt{30}} \end{pmatrix} . Vektor terakhir ini adalah vektor yang bersama \vec{f}_2 membangun ruang eigen E2, sehingga \{ \vec{f}_2, \vec{f}_3 \} merupakan basis ortonormal yang lain bagi E2. Jadi, dekomposisi spektral bagi A adalah:

 

 

Tagging: , , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *