UKURAN LETAK DAN UKURAN PENYEBARAN (7)

Agustus 28th, 2016

Di posting terdahulu, telah diuraikan jangkauan dan simpangan kuartil sebagai ukuran-ukuran penyebaran. Kali ini akan diuraikan ukuran penyebaran yang lain, yaitu variansi dan simpangan baku. Berbeda halnya dengan rata-rata yang rumusnya sama antara rata-rata sampel dan rata-rata populasi, variansi sampel dan variansi populasi mempunyai rumus yang berbeda.

 

Variansi populasi (population variance):

Jika diketahui n buah data x1, x2, x3, …, xn maka variansi (σ2) data tersebut adalah

{sigma}^2={sum{i=1}{n}{(x_{i}~-~overline{x})^2}}/n

 

Variansi sample (sample variance):

Jika diketahui n buah data x1, x2, x3, …, xn maka variansi (σ2) data tersebut adalah

s^2={sum{i=1}{n}{(x_{i}~-~overline{x})^2}}/{n-1}

 

Simpangan baku (standard deviation) adalah akar kuadrat dari variansi. Jadi, simpangan baku populasi adalah akar kuadrat dari variansi populasi dan simpangan baku sampel adalah akar kuadrat dari variansi sampel.

 

Simpangan baku populasi: sigma = sqrt{{sigma}^2}

Simpangan baku sampel: s=sqrt{s^2}

 

Rumus mana yang digunakan dalam praktik, disesuaikan dengan konteks atau situasi yang dihadapi.

 

Contoh 1:

Untuk mengetahui simpangan baku tinggi badan sekelompok siswa, dilakukan pengukuran terhadap 5 sampel siswa dan diperoleh data tinggi badan sebagai berikut: 150 cm, 157 cm, 155 cm, 146 cm, 162 cm. Berapakah variansi dan simpangan baku tinggi badan kelima siswa tersebut?

 

Jawab:

Pada contoh ini diketahui bahwa kelima data tersebut adalah data hasil sampling sehingga yang diminta di sini adalah variansi sampel. Rata-rata tinggi badan kelima siswa tersebut adalah:

overline{x}={150+157+155+146+162}/5~cm=154~cm

Variansi data tersebut adalah:

s^2={(150-154)^2+(157-154)^2+(155-154)^2+(146-154)^2+(162-154)^2}/{5-1}~{cm}^2=38,5~{cm}^2

dan simpangan bakunya s=sqrt{38,5} cm approx 6,2 cm

 

Contoh 2:

Pak Ahmad memiliki 6 counter tempat penjualan pulsa. Di bulan Juli 2016, keuntungan bersih yang didapat dari masing-masing counter adalah: 4, 7, 5, 3, 5, 6 (dalam juta rupiah). Berapakah simpangan baku keuntungan bersih dari keenam counter di bulan Juli 2016?

 

Jawab:

Pada contoh ini, kita diminta untuk menghitung simpangan baku keuntungan bersih dari keenam counter di bulan Juli 2016 dan data yang kita miliki adalah data keuntungan bersih semua counter tersebut. Jadi data yang kita miliki bukan hanya sebagian dari seluruh populasi melainkan data seluruh anggota populasi. (Bandingkan perbedaannya dengan Contoh 3 nanti.)

overline{x}={4+7+5+3+5+6}/6=5 (Rata-rata keuntungan bersih = Rp 5 juta)

Variansi keuntungan bersih:

{sigma}^2={(4-5)^2+(7-5)^2+(5-5)^2+(3-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2}/6 approx 1,67

(Variansi keuntungan bersih = Rp2 1,67.1012)

Simpangan baku keuntungan bersih:

sigma=sqrt{1,67} approx 1,29 (Simpangan baku keuntungan bersih = Rp 1,29 juta)

 

Contoh 3:

Pak Ahmad memiliki ratusan buah counter tempat penjualan pulsa. Ia ingin mengetahui seberapa bervariasinya keuntungan bersih dari semua counter yang dimilikinya di bulan Juli 2016. Agar cepat, ia mencari data keuntungan bersih dari 6 buah counter sebagai sampel, dan diperoleh hasil sebagai berikut: 4, 7, 5, 3, 5, 6 (dalam juta rupiah). Berapakah simpangan baku keenam data ini?

 

Jawab:

Pada contoh ini, keenam data tersebut bukan merupakan data keuntungan bersih seluruh counter, melainkan hanya sebagian saja. Karena itu, simpangan baku yang akan diperoleh adalah simpangan baku sampel.

overline{x}={4+7+5+3+5+6}/6=5 (Rata-rata keuntungan bersih = Rp 5 juta)

Variansi keuntungan bersih:

s^2={(4-5)^2+(7-5)^2+(5-5)^2+(3-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2}/{6-1}=2

(Variansi keuntungan bersih = Rp2 2.1012)

Simpangan baku keuntungan bersih:

s=sqrt{2} approx 1,44 (Simpangan baku keuntungan bersih = Rp 1,44 juta)

 

Cara lain menghitung variansi:

{sigma}^2={sum{i=1}{n}{{x_{i}}^2}}/n~-~(overline{x})^2 …………………… (*)

s^2={sum{i=1}{n}{{x_{i}}^2}}/{n-1}~-~n/{n-1} (overline{x})^2 …………………………. (**)

 

Jika Contoh 2 dikerjakan dengan rumus (*) maka diperoleh hasil sebagai berikut.

{sigma}^2={4^2+7^2+5^2+3^2+5^2+6^2}/6-5^2={16+49+25+9+25+36}/6-25 approx 1,67.

Jika Contoh 3 dikerjakan dengan rumus (**) maka diperoleh hasil sebagai berikut:

s^2={4^2+7^2+5^2+3^2+5^2+6^2}/{6-1}-6/{6-1}.5^2=160/5-6/5 .25=2.

 

EVALUASI: Latihan soal tentang variansi dan simpangan baku

 

Referensi:

  1. Spiegel, M. R., Theory and Problems of Statistics, McGraw-Hill Inc., 1981
  2. Lind, D.A., W. G. Marchal, S. A. Wathen, Statistical Techniques in Business and Economics 10th Ed., McGraw-Hill Irwin, 1999

 

Materi selanjutnya: variansi dan simpangan baku data dalam kelas-kelas interval

Tagging: , , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *