UKURAN LETAK DAN UKURAN PENYEBARAN (1)

Agustus 22nd, 2016

Dalam statistika terdapat dua golongan ukuran yang penting, yaitu yang disebut dengan ukuran letak (measures of location) dan ukuran penyebaran (measures of dispersion). Kedua ukuran tersebut berbeda kegunaan dan saling melengkapi.

 

UKURAN LETAK

Misalkan Anda diminta untuk membandingkan tinggi badan dua orang: Anto yang tingginya 170 cm dan Hasan yang tingginya 160 cm. Mana yang lebih tinggi? Dengan mudah Anda dapat menjawab pertanyaan tersebut. Lain halnya apabila situasinya seperti ini. Di suatu sekolah ada dua kelompok penggemar olah raga. Kelompok pertama adalah kelompok pebasket yang beranggotakan 20 orang siswa dan kelompok lain adalah kelompok pemain volley yang beranggotakan 25 orang. Mana yang lebih tinggi badannya apakah pebasket atau pemain volley? Kesukaran yang ditemui adalah pada masing-masing kelompok tinggi badannya beraneka ragam; pada masing-masing kelompok terdapat variasi tinggi badan. Untuk menjawab pertanyaan kedua ini, pada umumnya digunakan suatu nilai yang mewakili, misalnya rata-rata. Jadi, untuk menentukan kelompok mana yang lebih tinggi, kita menghitung rata-rata tinggi badan kelompok pebasket dan rata-rata tinggi badan kelompok pemain volley. Kedua nilai rata-rata itulah yang kita bandingkan. Secara umum, ketika kita hendak membandingkan suatu atribut tertentu yang terdapat dalam beberapa kelompok, kita memerlukan suatu nilai yang mewakili masing-masing kelompok. Nilai yang mewakili tersebut (yang dianggap sebagai “pusat” data) dalam statistika dinamakan ukuran letak atau dalam sebagian literatur disebut juga central tendency.

Ada beberapa jenis ukuran letak, di antaranya adalah: rata-rata (mean), nilai tengah (median), modus (mode), kuartil-kuartil (quartiles), desil-desil (deciles), dan persentil-persentil (percentiles). Rata-rata itu sendiri terdiri dari beberapa macam, yaitu rata-rata hitung (arithmetic mean), rata-rata geometris (geometric mean), dan rata-rata harmonik (harmonic mean). Mengapa tersedia banyak macam ukuran letak? Mana yang harus digunakan pada situasi tertentu? Ini tergantung dari tingkat data yang kita olah. Apabila data yang kita hadapi adalah data nominal, tidak mungkin kita menggunakan rata-rata maupun median misalnya. Untuk data nominal, hanya modus yang dapat diterapkan. Untuk data ordinal, kita dapat menggunakan modus, median, kuartil, desil, dan persentil. Untuk data interval dan rasio semua ukuran letak tersebut bisa diterapkan.

 

Rata-rata hitung (arithmetic mean)

Misalkan diketahui n buah data,yaitu x1, x2, x3, …, xn. Rata-rata hitung dari n buah data tersebut adalah: overline{x}={x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}}/n

 

Contoh 1:

Tentukanlah nilai rata-rata hitung dar 5 buah data berikut: 3 menit, 5 menit, 10 menit, 6 menit, 6 menit.

Jawab:

Dalam hal ini n = 5, x1`= 3 menit, x2 = 5 menit, x3 = 10 menit, x4 = x5 = 6 menit. Rata-rata hitung kelima data tersebut adalah overline{x}={3+5+10+6+6}/5~menit={30}/5~menit=6~menit.

 

Pada contoh di atas, data tidak terkelompok, melainkan tersebar. Ada kalanya data yang telah dikumpulkan sudah dikelompokkan (dalam suatu tabel misalnya) seperti pada contoh berikut.

 

Contoh 2:

Berikut ini adalah daftar nilai hasil ujian matematika 40 orang siswa di suatu kelas.

No. Nilai Banyaknya Siswa
1 45 15
2 50 10
3 60 7
4 70 5
5 80 3

(Terdapat 15 orang siswa yang nilai ujiannya 45, 10 orang siswa yang nilai ujiannya 50, dan seterusnya.) Berapakah rata-rata nilai ujian matematika di kelas tersebut?

Jawab:

Dengan memisalkan xi = nilai ujian dan fi = banyaknya siswa yang mendapat nilai xi, rata-rata nilai ujian di kelas itu adalah overline{x}={sum{i=1}{k}{f_{i}.x_{i}}}/n dengan n= sum{i=1}{k}{f_{i}}. k dalam rumus ini adalah banyaknya kelas. Pada contoh ini, k = 5. Untuk menerapkan rumus tersebut, lebih mudah kita gunakan tabel pembantu sebagai berikut.

i xi fi fi.xi
1 45 15 675
2 50 10 500
3 60 7 420
4 70 5 350
5 80 3 240
JUMLAH 40 2185

Rata-rata nilai ujian siswa di kelas tersebut adalah overline{x}={2185}/{40}=54,625.

 

Ada kalanya data sudah tersaji dalam kelas-kelas interval sebagaimana diperlihatkan pada contoh berikut. Bagaimana cara menghitung nilai rata-ratanya?

 

Contoh 3:

Berikut ini merupakan data penggunaan pulsa pascabayar 50 orang karyawan di suatu perusahaan, dalam satuan ribu rupiah. Berapakah nilai rata-ratanya?

No. Penggunaan Pulsa per Bulan (ribu Rupiah) Banyaknya Karyawan
1 106 – 140 5
2 141 – 175 13
3 176 – 210 20
4 211 – 245 7
5 246 – 280 5

 

Jawab:

Pada tabel tersebut ada 5 kelas. Kelas pertama adalah kelas 106-140, kelas kedua 141-175, dan seterusnya. Pada masing-masing kelas, 106,141, 176, 210, 246 merupakan batas-batas bawah kelas (BBi) dan 140, 175, 210, 245, 280 merupakan batas-batas atas kelas (BAi). Untuk menghitung rata-rata sekelompok data yang disajikan dalam kelas-kelas interval, langkah pertama yang dilakukan adalah menghitung titik tengah masing-masing kelas, Mi, dengan rumus M_{i}={BB_{i}+BA_{i}}/2. Dengan rumus ini, diperoleh M_{1}={106+140}/2=123, M_{2}={141+175}/2=158, dan seterusnya. Jika frekuensi masing-masing kelas adalah fi dan jumlah semua frekuensi adalah n, rata-rata dihitung dengan rumus overline{x}={sum{i=1}{k}{f_{i}.M_{i}}}/n. Perhatikan tabel berikut.

i Penggunaan Pulsa per Bulan (ribu Rupiah) fi Mi fi.Mi
1 106 – 140 5 123 615
2 141 – 175 13 158 2054
3 176 – 210 20 193 3860
4 211 – 245 7 228 1596
5 246 – 280 5 263 1315
JUMLAH 50 JUMLAH 9440

 

overline{x}={sum{i=1}{5}{f_{i}.M_{i}}}/{50}={9440}/{50}=188,8.

Jadi, rata-rata penggunaan pulsa per bulan 50 orang karyawan tersebut adalah Rp 188.800.

 

Untuk data yang terkelompok dalam kelas-kelas interval semacam ini, ada 2 cara lain yang dapat digunakan, yaitu cara simpangan dan cara coding.

 

Rata-rata terboboti (weighted mean)

Dalam situasi tertentu, data yang akan dihitung rata-ratanya tidak memiliki bobot (weight) yang sama. Sebagai contoh yang cukup sering ditemui dalam dunia pendidikan tinggi adalah rata-rata yang digunakan untuk menentukan nilai akhir suatu mata kuliah. Anggaplah nilai akhir ditentukan dari tiga komponen, yaitu: nilai Ujian Tengah Semester (UTS), tugas-tugas, dan Ujian Akhir Semester (UAS). Karena (misalnya) UAS dianggap lebih penting dari tugas dan UTS, dosen menetapkan bobot yang lebih tinggi bagi UAS dari pada yang lainnya. Misalnya UAS diberi bobot 50%, UTS 30%, dan tugas 20%. Seandainya nilai-nilai seorang mahasiswa untuk setiap komponen diketahui, nilai akhir mahasiswa ditentukan dengan rata-rata yang terboboti yang dihitung dengan rumus berikut.

overline{x}={sum{i=1}{k}{w_{i}.x_{i}}}/{sum{i=1}{k}{w_{i}}}

Pada contoh mengenai menghitung nilai akhir ini, w1 = 50% (UAS), w2 = 30% (UTS), dan w3 = 20%. Jika nilai UAS seorang mahasiswa adalah 70, nilai UTS-nya 80, dan tugasnya 90 maka x1 = 70, x2 = 80, dan x3 = 90. Selanjutnya, nilai akhir mahasiswa tersebut adalah overline{x}={50%.70+30%.80+20%.90}/{50%+30%+20%}={77}/{100%}=77. Dengan bantuan tabel, soal ini dapat diselesaikan sebagai berikut.

No. Komponen Bobot (wi) Nilai Komponen (xi) wi.xi
1. UAS 50% 70 35
2. UTS 30% 80 24
3. Tugas 20%

90

18
JUMLAH 100% JUMLAH 77

 

Evaluasi: Latihan soal mengenai rata-rata

Referensi:

  1. Spiegel, M. R., Theory and Problems of Statistics, McGraw-Hill Inc., 1981
  2. Lind, D.A., W. G. Marchal, S. A. Wathen, Statistical Techniques in Business and Economics 10th Ed., McGraw-Hill Irwin, 1999

 

Materi selanjutnya: nilai tengah (median)

Tagging: , , , , ,

Most visitors also read :



Satu tanggapan untuk “UKURAN LETAK DAN UKURAN PENYEBARAN (1)”

  1. HERI SUSANTO berkata:

    mantap materinya ada soal latihannya juga

    My blog

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *