UJI F UNTUK PERBANDINGAN ANTARA DUA VARIANSI

Maret 30th, 2020

 

Penerapan uji t untuk perbedaan dua rata-rata populasi dengan variansi sama (pooled variance t test for the difference between two means) mengharuskan kita memeriksa apakah dua buah populasi yang sedang diamati memiliki variansi yang sama atau tidak. Untuk memeriksa ini, statistik uji F (yang akan diuraikan di bawah ini) dapat dilakukan.

 

Asumsi Uji F untuk perbandingan dua variansi: kedua populasi berdistribusi normal dan sampel-sampel acak saling bebas

Pasangan hipotesis dalam uji ini:
H0: {\sigma_1}^2 = {\sigma}^2
H1: {\sigma_1}^2 \neq {\sigma}^2

Statistik uji yang digunakan adalah: F = \frac{{s_1}^2}{{s_2}^2}; {s_1}^2 > {s_2}^2

Catatan:
{s_1}^2 adalah variansi sampel dari populasi pertama yang lebih besar dari variansi sampel dari populasi kedua (= {s_2}^2).

Daerah kritis uji ini adalah: F > F_{{\alpha}/2}, di mana F_{{\alpha}/2} adalah nilai kritis distribusi F untuk taraf nyata {\alpha}/2, derajat kebebasan pembilang {df}_1=n_1 - 1 dan derajat kebebasan penyebut {df}_2 = n_2 - 1, dengan n1 adalah ukuran sampel yang diambil dari populasi pertama dan n2 adalah ukuran sampel yang diambil dari populasi kedua.

 

Contoh 1
Seorang direktur suatu perusahaan ingin mengetahui apakah terdapat perbedaan dalam variansi lamanya pelanggan mengantri untuk mulai mendapat pelayanan di antara dua kantor cabang (KC), yaitu KC Kabupaten Bandung dan KC Kabupaten Garut. Untuk itu ia menunjuk seorang ahli statistika. Ahli tersebut mengambil 12 sampel acak lama mengantri pelanggan di KC Kab. Bandung dan 16 sampel lama mengantri pelanggan di KC Kab. Garut. Dari KC Kab. Bandung, ia mendapatkan simpangan baku lama mengantri 5 menit dan dari KC Kab. Garut ia mendapatkan simpangan baku 10 menit. Apakah cukup bukti untuk menyimpulkan bahwa ada perbedaan signifikan dalam variansi lamanya mengantri para pelanggan di kedua kantor cabang tersebut? Gunakan taraf nyata 0,05. Anggaplah masing-masing populasi lamanya mengantri berdistribusi normal.

 

Jawab:

Misalkan:
Variansi lama mengantri pelanggan di KC Kab. Garut adalah {{\sigma}_1}^2.
Variansi lama mengantri pelanggan di KC Kab. Bandung adalah {{\sigma}_2}^2.

 

H0: {\sigma_1}^2 = {\sigma}^2
H1: {\sigma_1}^2 \neq {\sigma}^2

Taraf nyata: \alpha = 0,05
Statistik uji yang digunakan adalah F = \frac{{s_1}^2}{{s_2}^2}; {s_1}^2 > {s_2}^2

Untuk menentukan daerah kritis dalam uji ini, hitung dulu derajat kebebasan pembilang (df1) dan derajat kebebasan penyebut (df2). df1 = n1 – 1 = 16 – 1 = 15 dan df2 = 12 – 1 = 11. Dari tabel nilai kritis F untuk {\alpha}/2 = 0,025, \: {\nu}_1 = 15, \: {\nu}_2 = 11, diperoleh nilai kritis sebesar 3,33. Jadi, kriteria untuk menolak hipotesis nol adalah F > 3,33.

Langkah berikutnya adalah menghitung nilai F hasil sampling.
{s_1}^2 = 10^2 \: {menit}^2 = 100 \: {menit}^2
{s_2}^2 = 5^2 \: {menit}^2 = 25 \: {menit}^2
F = \frac{{s_1}^2}{{s_2}^2} = \frac{100}{25} = 4,00

Karena hasil sampling menunjukkan F = 4,00 > 3,33 (= nilai kritis), menurut kriteria penolakan hipotesis nol di atas, kita menolak H0. Jadi, terdapat perbedaan signifikan mengenai variansi lamanya waktu mengantri para pelanggan di kedua kantor cabang tersebut.

 

Pada Contoh 1, uji yang digunakan adalah uji dua sisi. Dimungkinkan pula penggunaan statistik uji yang sama untuk uji satu sisi. Yang berbeda adalah penentuan daerah kritisnya pada uji satu sisi, yaitu F > F_{\alpha}, dengan ketentuan derajat kebebasan pembilang dan penyebutnya sama dengan uji dua sisi.

 

Contoh 2
Terdapat dugaan bahwa variabilitas return saham PT XYZ lebih besar daripada variabilitas return saham PT PQR. Untuk memeriksa dugaan tersebut, diambillah 8 sampel acak return saham PT XYZ dan 5 sampel acak return saham PT PQR. Hasil sampling menunjukkan bahwa variansi return saham PT XYZ adalah 0,0025 dan variansi return saham PT PQR adalah 0,0015. Apakah cukup bukti untuk mendukung dugaan tersebut? Gunakakan taraf nyata 0,05. Anggaplah return masing-masing saham berdistribusi normal.

 

Jawab:

Misalkan:
Variansi return saham PT XYZ adalah {{\sigma}_1}^2.
Variansi return saham PT PQR adalah {{\sigma}_2}^2.

H0: {\sigma_1}^2 = {\sigma}^2
H1: {\sigma_1}^2 > {\sigma}^2

Taraf nyata: \alpha = 0,05
Statistik uji yang digunakan adalah F = \frac{{s_1}^2}{{s_2}^2}; {s_1}^2 > {s_2}^2

Untuk menentukan daerah kritis dalam uji ini, hitung dulu derajat kebebasan pembilang (df1) dan derajat kebebasan penyebut (df1). df1 = n1 – 1 = 8 – 1 = 7 dan df2 = 5 – 1 = 4. Dari tabel nilai kritis F untuk {\alpha}/2 = 0,05, \: {\nu}_1 = 7, \: {\nu}_2 = 4, diperoleh nilai kritis sebesar 6,09. Jadi, kriteria untuk menolak hipotesis nol adalah F > 6,09.

Langkah berikutnya adalah menghitung nilai F hasil sampling.
F = \frac{{s_1}^2}{{s_2}^2} = \frac{0,0025}{0,0015} \approx 1,67

Karena hasil sampling menunjukkan F = 1,67 ≤ 6,09 (= nilai kritis), kriteria penolakan hipotesis nol di atas tidak memungkinkan penolakan H0. Tidak cukup bukti untuk menyimpulkan bahwa variabilitas return saham PT XYZ lebih besar daripada variabilitas return saham PT PQR.

 

Tabel nilai kritis F dapat diunduh di (klik di sini)

Youtube Channel materi ini: klik di sini

File pdf materi di Youtube Channel di atas: (klik di sini)

Latihan Soal: (klik di sini)



Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *