PELUANG MARJINAL DAN TEOREMA BAYES

Pebruari 11th, 2020

Pada tulisan ini akan dibahas dua teorema yang berkaitan dengan peluang bersyarat, yaitu Teorema Peluang Total dan Teorema Bayes. Dalam membahas kedua teorema tersebut, kita akan menggunakan contoh kasus yang sama, yaitu mengenai obligasi daerah yang diterbitkan tahun lalu di suatu negara.

 

Contoh 1

Suatu obligasi daerah (municipal bond) memiliki tiga macam peringkat, yaitu A, B, atau C. Selain itu, setiap obligasi daerah dapat digolongkan menurut daerah asal penerbitannya, yaitu dari kota, pinggir kota, atau pedesaan. Misalkan dari keseluruhan obligasi daerah yang diterbitkan tahun lalu, 35% di antaranya berperingkat A dan diterbitkan oleh kota, 28% berperingkat A dan diterbitkan oleh pinggir kota, 7% berperingkat A dan diterbitkan pedesaan. Selanjutnya, 12% berperingkat B dan diterbitkan oleh kota, 4% berperingkat B dan diterbitkan oleh pinggir kota, 4% berperingkat B dan diterbitkan pedesaan, 9% berperingkat C dan diterbitkan oleh kota, 0,5% berperingkat C dan diterbitkan oleh pinggir kota, 0,5% berperingkat C dan diterbitkan pedesaan. Secara singkat data tersebut dapat disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut.

 

Pertanyaan:

  1. Jika sebuah obligasi daerah diambil secara acak, berapa peluang didapatkannya obligasi daerah dengan peringkat A? Dengan kata lain, di antara keseluruhan obligasi daerah yang diterbitkan, berapa persen yang peringkatnya A?
  2. Jika sebuah obligasi daerah diambil secara acak, berapa peluang didapatkannya obligasi yang diterbitkan di pedesaan? Dengan kata lain, di antara semua obligasi daerah yang diterbitkan, berapa persen yang diterbitkan pedesaan?
  3. Jika sebuah obligasi daerah diambil secara acak dan ternyata penerbitnya adalah kota, berapa peluang obligasi tersebut berperingkat B?
  4. Jika sebuah obligasi daerah diambil secara acak dan ternyata peringkatnya adalah C, berapa peluang obligasi tersebut diterbitkan pinggir kota?

 

Pertanyaan a dan b berkenaan dengan konsep peluang marjinal dalam statistika (pemanfaatan Teorema Peluang Total) dan pertanyaan c hingga d dijawab dengan konsep peluang bersyarat. Tentang Teorema Bayes itu sendiri akan dibahas di Contoh 3.

 

Teorema Peluang Total (Total Probability Theorem) atau Aturan Eliminasi (Rule of Elimination)

Misalkan kejadian-kejadian B1, B2, B3, …, Bk membentuk suatu partisi dari ruang sampel S, dan masing-masing kejadian tersebut tidak mustahil. Maka untuk setiap kejadian A dengan ruang sampel S berlaku hal berikut:
P(A) = \sum_{i=1}^k P(B_i \cap A) = \sum_{i=1}^k P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)
P(A) pada rumus tersebut dinamakan juga peluang marjinal (marginal probability) kejadian A.

Pada contoh mengenai obligasi daerah tersebut, misalkan:
A = kejadian terpilihnya obligasi daerah dengan peringkat A
B = kejadian terpilihnya obligasi daerah dengan peringkat B
C = kejadian terpilihnya obligasi daerah dengan peringkat C
K = kejadian terpilihnya obligasi daerah yang diterbitkan kota
PK = kejadian terpilihnya obligasi daerah yang diterbitkan pinggir kota
D = kejadian terpilihnya obligasi daerah yang diterbitkan pedesaan

Secara matematis, angka-angka pada tabel di atas dapat dinyatakan sebagai berikut.

Setiap obligasi dapat digolongkan ke dalam salah satu peringkat (A, B, atau C) dan tidak mungkin suatu obligasi memiliki lebih dari satu peringkat. Karena itu, kejadian-kejadian A, B, C membentuk suatu partisi di ruang sampel S, yaitu himpunan semua obligasi yang diterbitkan tahun lalu di negara tersebut.

Selain itu, setiap obligasi pasti diterbitkan di salah satu daerah di antara kota, pinggir kota, atau pedesaan. Juga tidak mungkin suatu obligasi tertentu diterbitkan oleh kota sekaligus pinggir kota, atau oleh kota sekaligus pedesaan, atau oleh pinggir kota sekaligus pedesaan. Karena itu, K, PK, D juga membentuk suatu partisi di S.

Pertanyaan a di atas, secara matematis, mempertanyakan P(A), yaitu peluang didapatkannya obligasi daerah dengan peringkat A. Pertanyaan b mempertanyakan P(D), yaitu peluang didapatkannya obligasi yang diterbitkan di pedesaan.

Untuk menjawab pertanyaan a, kita dapat menggunakan Teorema Peluang Total. Karena K, PK, dan D membentuk partisi di S, P(A) dapat dinyatakan sebagai berikut:
P(A) = P(K \cap A) + P(PK \cap A) + P(D \cap A)
Karena sifat komutatif pada operasi irisan himpunan, P(A) dapat dinyatakan sebagai
P(A) = P(A \cap K) + P(A \cap PK) + P(A \cap D)
Dari data yang diketahui pada soal ini, P(A) dapat dihitung sebagai berikut:
P(A) = 0,350 + 0,280 + 0,070 = 0,700 = 70%

Pertanyaan b pun dijawab dengan Teorema Peluang Total, mengingat A, B, dan C membentuk partisi di S.
P(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D) + P(C \cap D) = 0,070+0,040+0,005=0,115=11,5 \%

Dari perhitungan P(A) dan P(D) tersebut dapat disimpulkan bahwa peluang didapatkannya obligasi daerah dengan peringkat A yang diterbitkan tahun lalu adalah 70% dan peluang didapatkannya obligasi yang diterbitkan di pedesaan tahun lalu adalah 11,5%. Dengan kata lain, 70% dari keseluruhan obligasi daerah yang diterbitkan tahun lalu berperingkat A dan 11,5% dari keseluruhan obligasi daerah yang diterbitkan tahun lalu diterbitkan pedesaan.

Pada tabel di atas, angka-angka yang ditulis dalam sel-sel oranye merupakan peluang marjinal. Tentu masih ada empat peluang marjinal lainnya, yaitu P(B), P(C), P(K), dan P(PK). Apabila peluang-peluang marjinal tersebut dihitung dengan menerapkan Teorema Peluang Total seperti telah dicontohkan, akan diperoleh hasil berikut.

 

Untuk menjawab pertanyaan c, kita gunakan rumus peluang bersyarat. Soal c ini mempertanyakan P(B \mid K). Dari yang diketahui pada contoh ini, P(B \cap K) = 0,120 dan dari perhitungan peluang-peluang marjinal diperoleh P(K) = 0,560, sehingga P(B \mid K) = \frac{P(B \cap K)}{P(K)} = \frac{0,120}{0,560} \approx 0,214.

Pertanyaan d serupa dengan c, yaitu tentang peluang bersyarat. Yang ditanyakan di sini adalah P(PK \mid C). Dari yang diketahui pada contoh ini, P(C \cap PK) = 0,005. Karena operasi irisan himpunan bersifat komutatif, P(PK \cap C)=P(C \cap PK)=0,005. Selanjutnya, perhitungan peluang-peluang marjinal menghasilkan P(C) = 0,100, sehingga P(PK \mid C) = \frac{P(PK \cap C)}{P(C)} = \frac{0,005}{0,100} = 0,050.

 

Contoh 2

Obligasi daerah memiliki tiga kategori peringkat (A, B, dan C). Misalkan dalam satu tahun terakhir, dari seluruh obligasi daerah yang diterbitkan di suatu negara, 70% diberi peringkat A, 20% diberi peringkat B, dan 10% diberi peringkat C. Dari seluruh obligasi daerah yang berperingkat A, 50% diterbitkan oleh kota, 40% oleh pinggir kota, dan 10% oleh daerah pedesaan. Dari seluruh obligasi daerah yang berperingkat B, 60% dikeluarkan oleh kota, 20% oleh pinggir kota, dan 20% oleh daerah pedesaan. Dari seluruh obligasi daerah yang berperingkat C, 90% dikeluarkan oleh kota, 5% oleh pinggiran kota, dan 5% oleh daerah pedesaan.

Pertanyaan: Jika sebuah obligasi daerah diambil secara acak, berapa peluang didapatkannya obligasi daerah yang diterbitkan oleh pedesaan?

Seperti soal pada Contoh 1, soal ini pun mempertanyakan peluang marjinal, khususnya P(D). Dengan Teorema Peluang Total, P(D) dapat ditentukan dengan menghitung:
P(D) = P(A) \cdot P(D \mid A) + P(B) \cdot P(D \mid B) + P(C) \cdot P(D \mid C) ………………..…… (*)
Pada Contoh 2, yang diketahui data sebagai berikut: P(A) = 0,70, P(B) = 0,20, P(C) = 0,10, P(D \mid A) = 0,10, P(D \mid B) = 0,20, dan P(D \mid C) = 0,05. Selanjutnya, (*) menghasilkan:
P(D) = 0,70 . 0,10 + 0,20 . 0,20 + 0,10 . 0,05 = 0,07 + 0,04 + 0,005 = 0,115 (bandingkan dengan tabel terakhir pada Contoh 1).

Jadi, jika sebuah obligasi daerah diambil secara acak, peluang didapatkannya obligasi daerah yang diterbitkan oleh pedesaan adalah 0,115. Dengan kata lain, 11,5% di antara semua obligasi daerah yang beredar tahun lalu diterbitkan pedesaan.

 

Contoh 3

Pada Contoh 2, berapa peluang suatu obligasi berperingkat A jika diketahui bahwa obligasi tersebut diterbitkan kota?

 

Untuk menjawab pertanyaan ini, Teorema Bayes dapat digunakan.

 

Teorema Bayes

Misalkan kejadian-kejadian B1, B2, B3, …, Bk membentuk suatu partisi dari ruang sampel S, dan masing-masing kejadian tersebut tidak mustahil. Maka untuk setiap kejadian A di S dengan P(A) \neq 0 berlaku:
P(B_r \mid A) = \frac{P(B_r \cap A)}{\sum_{i=1}^k P(B_i \cap A}
P(B_r \mid A) = \frac{P(B_r) \cdot P(A \mid B_r)}{\sum_{i=1}^k P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)}
untuk r = 1, 2, 3, …, k

Seperti telah diuraikan sebelumnya, pemeringkatan obligasi daerah tersebut membentuk suatu partisi di S sehingga Teorema Bayes boleh dipergunakan. Dalam Contoh 3 ini, yang dipertanyakan adalah P(A \mid K). Dari data yang terdapat pada contoh ini, diperoleh P(K \mid A) = 0,50, P(K \mid B) = 0,60, P(K \mid C) = 0,90, P(A) = 0,70, P(B) = 0,20, dan P(C) 0,10. Dengan menggunakan Teorema Bayes, diperoleh:

P(A \mid K) = \frac{P(A) \cdot P(K \mid A)}{P(A) \cdot P(K \mid A)+ P(B) \cdot P(K \mid B + P(C) \cdot P(K \mid C))}
P(A \mid K) = \frac{0,70 \cdot 0,50}{0,70 \cdot 0,50 + 0,20 \cdot 0,60 + 0,10 \cdot 0,90}
P(A \mid K) = \frac{0,35}{0,56} = 0,625

Jadi, peluang suatu obligasi berperingkat A jika diketahui bahwa obligasi tersebut diterbitkan kota adalah 0,625.

Tagging: , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *