Di post saya yang lalu telah diuraikan bagaimana hubungan antara: 1) rata-rata populasi dengan rata-rata dari distribusi sampel rata-rata, dan 2) variansi populasi dengan variansi dari distribusi sampel rata-rata. Hubungan-hubungan tersebut adalah sebagai berikut.
[pmath]mu_{overline{X}} ~=~ mu[/pmath]
[pmath]{sigma_{overline{X}}}^2 ~=~ {{sigma}^2}/n[/pmath] (apabila sampling dengan pengembalian)
[pmath]{sigma_{overline{X}}}^2 ~=~ {N ~-~ n}/{n(N ~-~ 1)} {sigma}^2[/pmath] (apabila sampling tanpa pengembalian)
Pada ilustrasi yang diberikan (di post saya tersebut), untuk menghitung berapakah peluangnya Andi mendapakan nilai lebih dari 165 cm sebagai rata-rata sampel, kita menelusuri semua kemungkinan yang bisa terjadi apabila sampel berukuran 2 diambil secara acak (tanpa pengembalian) dari anggota populasi, sebagaimana disajikan pada Tabel 1. Pada ilustrasi tersebut ada 15 kemungkinan yang dapat terjadi. Seandainya anggota populasi ada sebanyak 2000 dan ukuran sampel 40, banyaknya kemungkinan yang dapat terjadi adalah 2000C40 ≈ 9,1.1083 buah, suatu jumlah yang sangat banyak. Apakah untuk menjawab pertanyaan serupa (seperti halnya Andi pada contoh tersebut), apakah perlu kita buat tabel seperti Tabel 1? Untungnya tidak! Ada suatu dalil yang dapat membantu kita, yaitu Dalil Limit Pusat (Central Limit Theorem) sebagai berikut.
Central Limit Theorem
Jika [pmath]overline{X}[/pmath] adalah rata-rata suatu sampel acak berukuran n yang diambil dari suatu populasi dengan rata-rata μ dan variansi berhingga σ2, maka distribusi yang dituju [pmath]Z ~=~ {overline{X} ~-~ mu}/{{sigma}/{sqrt{n}}}[/pmath] apabila n → ∞ adalah distribusi normal baku.
Catatan:
Aproksimasi/pendekatan tersebut pada umumnya baik untuk n ≥ 30, tidak tergantung dari distribusi peluang populasinya. Jika n < 30 aproksimasi tersebut baik hanya apabila populasi tersebut tidak terlalu berbeda dengan distribusi normal. Jika populasi berdistribusi normal, distribusi sampel rata-rata akan berdistribusi normal, tidaktergantung dari ukuran sampel.
Contoh 1
Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) mahasiswa di suatu perguruan tinggi berdistribusi normal dengan rata-rata 2,76 dan simpangan baku 0,4. Jika suatu sampel acak berukuran 16 diambil dari populasi tersebut, berapa peluangnya sampel tersebut memiliki rata-rata IPK lebih dari 3,00?
Contoh 2
Lamanya pemirsa radio mendengarkan suatu acara radio memiliki rata-rata 100 menit dengan simpangan baku 20 menit. Berapa peluangnya sampel acak sebanyak 30 orang yang diambil dari populasi pendengar acara itu memiliki rata-rata lamanya mendengarkan acara tersebut kurang dari 110 menit?
Untuk mengetahui jawaban kedua contoh di atas, klik: Jawaban
MENGENAL SAMPLING DISTRIBUTION (2)
Di post saya yang lalu telah diuraikan bagaimana hubungan antara: 1) rata-rata populasi dengan rata-rata dari distribusi sampel rata-rata, dan 2) variansi populasi dengan variansi dari distribusi sampel rata-rata. Hubungan-hubungan tersebut adalah sebagai berikut.
[pmath]mu_{overline{X}} ~=~ mu[/pmath]
[pmath]{sigma_{overline{X}}}^2 ~=~ {{sigma}^2}/n[/pmath] (apabila sampling dengan pengembalian)
[pmath]{sigma_{overline{X}}}^2 ~=~ {N ~-~ n}/{n(N ~-~ 1)} {sigma}^2[/pmath] (apabila sampling tanpa pengembalian)
Pada ilustrasi yang diberikan (di post saya tersebut), untuk menghitung berapakah peluangnya Andi mendapakan nilai lebih dari 165 cm sebagai rata-rata sampel, kita menelusuri semua kemungkinan yang bisa terjadi apabila sampel berukuran 2 diambil secara acak (tanpa pengembalian) dari anggota populasi, sebagaimana disajikan pada Tabel 1. Pada ilustrasi tersebut ada 15 kemungkinan yang dapat terjadi. Seandainya anggota populasi ada sebanyak 2000 dan ukuran sampel 40, banyaknya kemungkinan yang dapat terjadi adalah 2000C40 ≈ 9,1.1083 buah, suatu jumlah yang sangat banyak. Apakah untuk menjawab pertanyaan serupa (seperti halnya Andi pada contoh tersebut), apakah perlu kita buat tabel seperti Tabel 1? Untungnya tidak! Ada suatu dalil yang dapat membantu kita, yaitu Dalil Limit Pusat (Central Limit Theorem) sebagai berikut.
Central Limit Theorem
Jika [pmath]overline{X}[/pmath] adalah rata-rata suatu sampel acak berukuran n yang diambil dari suatu populasi dengan rata-rata μ dan variansi berhingga σ2, maka distribusi yang dituju [pmath]Z ~=~ {overline{X} ~-~ mu}/{{sigma}/{sqrt{n}}}[/pmath] apabila n → ∞ adalah distribusi normal baku.
Catatan:
Aproksimasi/pendekatan tersebut pada umumnya baik untuk n ≥ 30, tidak tergantung dari distribusi peluang populasinya. Jika n < 30 aproksimasi tersebut baik hanya apabila populasi tersebut tidak terlalu berbeda dengan distribusi normal. Jika populasi berdistribusi normal, distribusi sampel rata-rata akan berdistribusi normal, tidak tergantung dari ukuran sampel.
Contoh 1
Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) mahasiswa di suatu perguruan tinggi berdistribusi normal dengan rata-rata 2,76 dan simpangan baku 0,4. Jika suatu sampel acak berukuran 16 diambil dari populasi tersebut, berapa peluangnya sampel tersebut memiliki rata-rata IPK lebih dari 3,00?
Contoh 2
Lamanya pemirsa radio mendengarkan suatu acara radio memiliki rata-rata 100 menit dengan simpangan baku 20 menit. Berapa peluangnya sampel acak sebanyak 30 orang yang diambil dari populasi pendengar acara itu memiliki rata-rata lamanya mendengarkan acara tersebut kurang dari 110 menit?
Untuk mengetahui jawaban kedua contoh di atas, klik: Jawaban
LAMPIRAN
Penggunaan Tabel Luas Daerah di Bawah Kurva Normal Baku
Tabel Luas Daerah di Bawah Kurva Normal Baku
LATIHAN SOAL
Latihan Soal Pengenalan Sampling Distribution Rata-rata
TUGAS 2: (klik di sini)
Bagikan ini:
Most visitors also read :
DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SINGULAR VALUE DECOMPOSITION)
MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATOR
JARAK STATISTIKAL
SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA