Sebagaimana dapat disimpulkan judul post ini, “Gerak Melingkar Beraturan” (selanjutnya disingkat GMB), lintasan yang dilalui pada gerakan ini berupa lingkaran dengan jari-jari tertentu. Kata “beraturan” di sini mengandung pengertian bahwa benda yang mengalami GMB ini memiliki laju (speed) yang tetap. Sebagai contoh, sebuah mobil yang menempuh lintasan berupa lingkaran berjari-jari 100 meter dengan laju tetap sebesar 18 km/jam, sedang mengalamai GMB. Perlu ditekankan di sini dua hal, yaitu:
Dalam GMB, yang tetap bukanlah kecepatannya, tetapi lajunya. Kecepatan sebuah benda yang ber-GMB senantiasa berubah karena di setiap saat geraknya ia mengalami perubahan arah
Hal yang mengakibatkan kecepatannya senantiasa berubah adalah adanya percepatan yang setiap saat dialaminya. Percepatan tersebut senantiasa mengarah ke pusat lingkaran, dan dinamakan percepatan sentripetal. Besarnya percepatan ini tetap.
Persamaan Posisi
dengan θ = ωt + θ0
θ = posisi sudut, angular position (rad, radian)
ω = kecepatan sudut (rad/s)
θ0 = posisi sudut awal (rad)
R = jari-jari lingkaran
Kecepatan
dengan θ = ωt + θ0
θ = posisi sudut (rad, radian)
ω = kecepatan sudut (rad/s)
θ0 = posisi sudut awal (rad)
R = jari-jari lingkaran
Laju
[pmath]delim{|}{vec{v}}{|} ~=~ v ~=~ omega R[/pmath]
Periode (T) adalah banyaknya waktu yang diperlukan untuk melakukan 1 putaran penuh. Ketika Δθ = ω.Δt = 3600 maka dalam selang waktu Δt tersebut benda melakukan 1 putaran penuh.
dengan θ1 = posisi sudut benda pada saat t1 dan θ2 = posisi sudut benda pada saat t2; t2 > t1.
Hubungan-hubungan penting
[pmath]f ~=~ 1/T[/pmath]
[pmath]omega ~=~ 2 pi f ~=~ {2 pi}/T[/pmath]
v = ωR
1800 = π radian
Contoh 1
Sebuah partikel melakukan gerak melingkar beraturan. Pada saat t = 3 detik, posisi sudutnya 600 dan pada saat t = 7 detik, posisi sudutnya 1800. Tentukan a) kecepatan sudut partikel tersebut, b) frekuensi dalam satuan rpm, dan c) periodenya dalam satuan detik.
Jawab:
Gambar 1
Pada saat t = 3 s, partikel berada di P1 (sudut posisi = θ1 = 600) dan pada saat t = 7 s partikel berada di P2 (sudut posisi = θ2 = 1800). [Lihat Gambar 1.]
Sebuah benda melakukan gerak melingkar beraturan dengan periode 0,5 detik dan jari-jari lingkaran 2 meter. Di awal geraknya, posisi sudut benda tersebut adalah 300. a) Tentukan persamaan posisi sudut, b) laju benda, c) koordinat benda pada saat t = 0,125 detik, c) kecepatan benda pada saat t = 0,125 detik, d) besarnya percepatan sentripetal, e) percepatan sentripetal
Jawab:
Diketahui T = 0,5 detik, R = 2 m, θ0 = 300 = π/6 rad.
Jadi, persamaan posisi sudutnya adalah θ = 4πt + π/6
Laju benda = v = ωR = 4π.2 m/s = 8π m/s.
Untuk menentukan koordinat benda pada saat t = 0,125 detik, substitusikan t = 0,125 detik ke dalam persamaan posisi sudut, diperoleh θ = (4π(0,125) + π/6) rad = ⅔π rad.
Selanjutnya, x(t) = R cos θ sehingga x(0,125 s) = 2 cos ⅔π meter = – 1 meter.
y(t) = R sin θ sehingga y(0,125 s) = 2 sin ⅔π meter = √3 meter.
Jadi, koordinat benda pada saat t = 0,125 detik adalah (-1 m,√3 m).
Untuk menentukan kecepatan benda pada saat t = 0,125 detik, gunakan rumus kecepatan:
vx(0,125 s) = – (4π.2.sin ⅔π) m/s = – 4π√3 m/s
vy(0,125 s) = 4π.2.cos ⅔π m/s = – 4π m/s
Jadi, kecepatan benda pada saat t = 0,125 detik adalah (-4π√3 i – 4π j) m/s. [i = vektor satuan searah sumbu x positif, j = vektor satuan searah sumbu y positif.]
Besarnya percepatan sentripetal adalah [pmath]a_{sp} ~=~ omega^2 R[/pmath] sehingga dalam contoh ini:
Jadi, percepatan sentripetal benda pada saat t = 0,125 detik adalah (16π2 i – 16π2√3 j) m/s2.
Soal
Sebuah benda mengalami gerak melingkar beraturan dengan jari-jari lingkaran 50 cm. Ia memerlukan waktu 2 detik untuk melakukan satu putaran penuh. Di awal geraknya, posisi sudut benda itu adalah 600. a) Tentukan persamaan posisi sudut, b) laju benda, c) koordinat benda pada saat t = 0,5 detik, c) kecepatan benda pada saat t = 0,5 detik, d) besarnya percepatan sentripetal, e) percepatan sentripetal
GERAK MELINGKAR BERATURAN (1)
Sebagaimana dapat disimpulkan judul post ini, “Gerak Melingkar Beraturan” (selanjutnya disingkat GMB), lintasan yang dilalui pada gerakan ini berupa lingkaran dengan jari-jari tertentu. Kata “beraturan” di sini mengandung pengertian bahwa benda yang mengalami GMB ini memiliki laju (speed) yang tetap. Sebagai contoh, sebuah mobil yang menempuh lintasan berupa lingkaran berjari-jari 100 meter dengan laju tetap sebesar 18 km/jam, sedang mengalamai GMB. Perlu ditekankan di sini dua hal, yaitu:
Persamaan Posisi
dengan θ = ωt + θ0
θ = posisi sudut, angular position (rad, radian)
ω = kecepatan sudut (rad/s)
θ0 = posisi sudut awal (rad)
R = jari-jari lingkaran
Kecepatan
dengan θ = ωt + θ0
θ = posisi sudut (rad, radian)
ω = kecepatan sudut (rad/s)
θ0 = posisi sudut awal (rad)
R = jari-jari lingkaran
Laju
[pmath]delim{|}{vec{v}}{|} ~=~ v ~=~ omega R[/pmath]
Note: Laju (v) konstan
Percepatan Sentripetal
dengan θ = ωt + θ0
θ = posisi sudut (rad, radian)
ω = kecepatan sudut (rad/s)
θ0 = posisi sudut awal (rad)
R = jari-jari lingkaran
Besarnya percepatan (sentripetal): [pmath]a_{sp} ~=~ omega^2 R[/pmath]
Karena v = ωR, [pmath]a_{sp} ~=~ {v^2}/R[/pmath]
Istilah-istilah Penting dalam Gerak Melingkar
Frekuensi (f) adalah banyaknya putaran yang dilakukan per satuan waktu.
Satuan-satuan frekuensi:
1 Hertz = 1 putaran/detik = 1 cps (cycles per second)
1 Hertz = 60 rpm (revolutions per minute)
Periode (T) adalah banyaknya waktu yang diperlukan untuk melakukan 1 putaran penuh. Ketika Δθ = ω.Δt = 3600 maka dalam selang waktu Δt tersebut benda melakukan 1 putaran penuh.
Perpindahan sudut (Δθ, angular displacement): Δθ = ω.Δt = ω(t2 – t1) dengan t2 ≥ t1
Kecepatan sudut (ω, angular velocity), adalah turunan pertama posisi sudut terhadap waktu:
[pmath]omega ~=~ {d theta}/{dt}[/pmath]
Namun, karena benda yang ber-GMB memiliki laju yang konstan,
[pmath]omega ~=~ {Delta theta}/{Delta t} ~=~ {theta_{2} ~-~ theta_{1}}/{t_{2} ~-~ t_{1}}[/pmath]
dengan θ1 = posisi sudut benda pada saat t1 dan θ2 = posisi sudut benda pada saat t2; t2 > t1.
Hubungan-hubungan penting
[pmath]f ~=~ 1/T[/pmath]
[pmath]omega ~=~ 2 pi f ~=~ {2 pi}/T[/pmath]
v = ωR
1800 = π radian
Contoh 1
Sebuah partikel melakukan gerak melingkar beraturan. Pada saat t = 3 detik, posisi sudutnya 600 dan pada saat t = 7 detik, posisi sudutnya 1800. Tentukan a) kecepatan sudut partikel tersebut, b) frekuensi dalam satuan rpm, dan c) periodenya dalam satuan detik.
Jawab:
Gambar 1
Pada saat t = 3 s, partikel berada di P1 (sudut posisi = θ1 = 600) dan pada saat t = 7 s partikel berada di P2 (sudut posisi = θ2 = 1800). [Lihat Gambar 1.]
Δθ = θ2 – θ1 = 1800 – 600 = 1200 = ⅔π rad.
Δt = 7 s – 3 s = 4 s
[pmath]omega ~=~ {Delta theta}/{Delta t} ~=~ {{2 pi}/3}/{4 ~ s} rad.s^{-1} ~=~ pi/6 rad.s^{-1}[/pmath]
Jadi, kecepatan sudutnya adalah π/6 rad/s.
Dari hubungan ω = 2πf, diperoleh [pmath]f ~=~ omega/{2 pi} ~=~ {pi/6}/{2 pi} Hz ~=~ 1/12 Hz[/pmath].
Karena 1 Hz = 60 rpm, [pmath]f ~=~ 1/12 ~.~ 60 ~ rpm ~=~ 5 ~ rpm[/pmath]
Jadi, frekuensinya adalah 5 rpm.
[pmath]T ~=~ 1/f ~=~ 1/5 menit ~=~ 12 ~ detik[/pmath]
Jadi, periodenya adalah 12 detik.
Contoh 2
Sebuah benda melakukan gerak melingkar beraturan dengan periode 0,5 detik dan jari-jari lingkaran 2 meter. Di awal geraknya, posisi sudut benda tersebut adalah 300. a) Tentukan persamaan posisi sudut, b) laju benda, c) koordinat benda pada saat t = 0,125 detik, c) kecepatan benda pada saat t = 0,125 detik, d) besarnya percepatan sentripetal, e) percepatan sentripetal
Jawab:
Diketahui T = 0,5 detik, R = 2 m, θ0 = 300 = π/6 rad.
[pmath]f ~=~ 1/T ~=~ 1/{0,5 detik} ~=~ 2 ~ Hz[/pmath]
ω = 2πf = 2π.2 rad/s = 4π rad/s.
Persamaan posisi sudut: θ = ωt + θ0
Jadi, persamaan posisi sudutnya adalah θ = 4πt + π/6
Laju benda = v = ωR = 4π.2 m/s = 8π m/s.
Untuk menentukan koordinat benda pada saat t = 0,125 detik, substitusikan t = 0,125 detik ke dalam persamaan posisi sudut, diperoleh θ = (4π(0,125) + π/6) rad = ⅔π rad.
Selanjutnya, x(t) = R cos θ sehingga x(0,125 s) = 2 cos ⅔π meter = – 1 meter.
y(t) = R sin θ sehingga y(0,125 s) = 2 sin ⅔π meter = √3 meter.
Jadi, koordinat benda pada saat t = 0,125 detik adalah (-1 m,√3 m).
Untuk menentukan kecepatan benda pada saat t = 0,125 detik, gunakan rumus kecepatan:
vx(0,125 s) = – (4π.2.sin ⅔π) m/s = – 4π√3 m/s
vy(0,125 s) = 4π.2.cos ⅔π m/s = – 4π m/s
Jadi, kecepatan benda pada saat t = 0,125 detik adalah (-4π√3 i – 4π j) m/s. [i = vektor satuan searah sumbu x positif, j = vektor satuan searah sumbu y positif.]
Besarnya percepatan sentripetal adalah [pmath]a_{sp} ~=~ omega^2 R[/pmath] sehingga dalam contoh ini:
[pmath]a_{sp} ~=~ (4 pi)^2 . 2 ~ m.s^{-2} ~=~ 32 {pi}^2 m.s^{-2}[/pmath]
Jadi, besarnya percepatan sentripetal adalah 32π2 m/s2.
Untuk menentukan percepatan sentripetal, gunakan rumus:
Dalam contoh ini,
ax(0,125 s) = – (4π)2.2.cos ⅔π m/s2 = 16π2 m/s2
ay(0,125 s) = – (4π)2.2.sin ⅔π m/s2 = -16π2√3 m/s2
Jadi, percepatan sentripetal benda pada saat t = 0,125 detik adalah (16π2 i – 16π2√3 j) m/s2.
Soal
Sebuah benda mengalami gerak melingkar beraturan dengan jari-jari lingkaran 50 cm. Ia memerlukan waktu 2 detik untuk melakukan satu putaran penuh. Di awal geraknya, posisi sudut benda itu adalah 600. a) Tentukan persamaan posisi sudut, b) laju benda, c) koordinat benda pada saat t = 0,5 detik, c) kecepatan benda pada saat t = 0,5 detik, d) besarnya percepatan sentripetal, e) percepatan sentripetal
Bagikan ini:
Most visitors also read :
GERAK LURUS BERATURAN
ENERGI POTENSIAL GRAVITASI, ENERGI KINETIK, DAN ENERGI MEKANIK
KERJA DAN PERUBAHAN ENERGI KINETIK (2)
KERJA DAN PERUBAHAN ENERGI KINETIK (1)