RUMUS-RUMUS TURUNAN

Desember 19th, 2016

Di post saya yang lalu telah diuraikan konsep turunan fungsi di suatu titik. Berikut ini adalah rumus-rumus turunan yang sering diperlukan para siswa SMA atau para mahasiswa dan contoh penggunaannya.

Rumus 1 (R1)

$\frac{d(x^n)}{dx} = nx^{n-1}$

Contoh 1: $\frac{d(x^7)}{dx} = 7x^{7 - 1} = 7x^6$

Rumus 2 (R2)

$\frac{d(c)}{dx} = 0$ ; c suatu konstanta

Contoh 2: $\frac{d(15)}{dx} = 0$

Rumus 3 (R3)

$\frac{d(e^{cx})}{dx} = ce^{cx}$ ; c suatu konstanta

Note: $e = \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n$

Contoh 3: $\frac{d(e^{5x})}{dx} = 5 e^{5x}$

Rumus 4 (R4)

$\frac{d(a^x)}{dx} = a^x (ln a)$ ; a > 0

Note: $\ln a = { }^e \log a$

Contoh 4: $\frac{d(3^x)}{dx} =3^x (ln 3)$

Rumus 5 (R5)

$\frac{d(\sin x)}{dx} = \cos x$

Rumus 6 (R6)

$\frac{d(\cos x)}{dx} = - \sin x$

Rumus 7 (R7)

$\frac{d(\tan x)}{dx} = {\sec}^2 x$

Rumus 8 (R8)

$\frac{d(\csc x)}{dx} = - \csc x \cdot \cot x$

Rumus 9 (R9)

$\frac{d(\sec x)}{dx} = \sec x \cdot \tan x$

Rumus 10 (R10)

$\frac{d(\cot x)}{dx} = - \csc^2 x$

Rumus 11 (R11)

$\frac{d(\ln x)}{dx} = \frac{1}{x}$

Turunan dari kombinasi linier fungsi-fungsi (R12)

Misalkan u₁, u₂, u₃, …, u_k masing-masing fungsi yang diferensiabel di suatu titik dan c₁, c₂, …, c_k konstanta. Maka fungsi c₁u₁ + c₂u₂ + … + c_ku_k diferensiabel di titik tersebut dan berlaku:

(c₁u₁ + c₂u₂ + … + c_ku_k)’ = c₁u₁’ + c₂u₂’ + … + c_ku_k’

Contoh 5

Diketahui y = 2 sin x + 5 cos x – 2e^3x. Hitunglah y’.

Jawab:

Pada contoh ini, u₁ = sin x, u₂ = cos x, dan u₃ = e^3x, c₁ = 2, c₂ = 5, c₃ = -2

Dari R5, R6, R3, secara berturutan, diperoleh u₁’ = cos x, u₂’ = – sin x, u₃’ = 3e^x.

Penerapan R12 memberikan hasil:

y’ = 2 cos x + 5 (-sin x) + (-2).3 e^3x

y’ = 2 cos x – 5 sin x – 6 e^3x

Contoh 6

Diketahui y = -15 x³ + ln x + 8.10^x – 11 tan x + 23. Hitunglah y’.

Jawab:

y dapat dinyatakan sebagai y = c₁u₁ + c₂u₂ + c₃u₃ + c₄u₄ + c₅u₅

dengan u₁ = x³, u₂ = ln x, u₃ = 10^x, u₄ = tan x, u₅ = 23

dan c₁ = -15, c₂ = 1, c₃ = 8, c₄ = -11, c₅ = 23

Dari R1, R11, R4, R7 dan R2, diperoleh u₁’ = 3x², u₂’ = 1/x, u₃’ = 10^x ln 10, u₄’ = sec² x, u₅’ = 0.

Penerapan R12 memberikan hasil:

y’ = -15.(3x²) + 1.(1/x) + 8(10^x ln 10) + (-11) sec² x + 23.0

y’ = -45 x² + 1/x + (8 ln 10).10^x – 11 sec² x

Turunan dari perkalian fungsi (R13)

Jika u, v masing-masing fungsi yang diferensiabel di suatu titik maka uv diferensiabel di titik itu. Selanjutnya, di titik tersebut berlaku (uv)’ = u’v + uv’

Contoh 7

Diketahui y = x³ sin x. Tentukan y’.

Jawab:

Misalkan u = x³ dan v = sin x.

Dari R1 dan R5 diperoleh u’ = 3x² dan v’ = cos x.

Penerapan R13 memberikan hasil:

y’ = (3x²)(sin x) + (x³)(cos x)

y’ = 3x² sin x + x³ cos x

Turunan dari pembagian fungsi (R14)

Misalkan u, v adalah fungsi-fungsi yang diferensiabel di suatu titik dan di titik tersebut v ≠ 0. Maka $(\frac{u}{v})'$ diferensiabel di titik tersebut dan berlaku:

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$

Contoh 8

Diketahui $y = \frac{\sqrt{x}}{\ln x}$ ; x > 0

Tentukanlah y’.

Jawab:

Misalkan u = √x dan v = ln x

Dengan menggunakan n = ½ pada R1, diperoleh bahwa u’ = (½)x^–^½ atau $u' = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

Dari R11 diperoleh $v' = \frac{1}{x}$

Penerapan R14 memberikan:

Aturan Rantai (R15)

Misalkan y = f(u) dan u = g(x). Jika g diferensiabel di suatu titik x dan f diferensiabel di u = g(x) maka (f ∘ g) diferensiabel di x dan berlaku:

y’ = (f ∘ g)’(x) = f’(g(x)).g’(x) …………………………………………………………….. (*)

Dengan notasi Leibniz, (*) dapat dinyatakan sebagai:

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

Contoh 9

Diketahui y = sin (x² + 5x). Tentukan y’.

Jawab:

sin (x² + 5x) merupakan peta dari x oleh fungsi komposisi (f ∘ g), di mana f(u) = sin u dan u = g(x) = x² + 5x.

Perhatikan bahwa $\frac{dy}{du}= \cos{u}$ dan $\frac{du}{dx} = 2x+ 5$ .

Dengan Aturan Rantai (R15), diperoleh:

$\frac{dy}{dx}= (\cos{u}) \cdot (2x + 5)$

Substitusikan u = x² + 5 ke dalam hasil tersebut, diperoleh:

$\frac{dy}{dx} = \left[ \cos{(x^2 + 5x)} \right] (2x+5)$

$\frac{dy}{dx} = (2x + 5) \cos{(x^2 +5x)}$

Contoh 10

Diketahui $y = \sqrt[3]{x^5 + 1}$ .

Tentukanlah y’.

Jawab:

$\sqrt[3]{x^5 + 1}$ merupakan peta dari x oleh fungsi komposisi (f ∘ g), dengan $f(u) =\sqrt[3]{u}$ dan $g(x) = x^5+1$

Penggunaan R1 dengan n = ⅓ memberikan hasil $\frac{dy}{du} = \frac{1}{3} u^{- \frac{2}{3}}$ . Selanjutnya, $\frac{du}{dx} = 5x^4$ .

Dengan Aturan Rantai, diperoleh:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} u^{- \frac{2}{3}} \cdot (5x^4)$

Substitusikan u = x⁵ + 1 ke dalam hasil tersebut, diperoleh:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}(x^5 +1)^{- \frac{2}{3}} \cdot (5x^4)$

$y'= \frac{5x^4 (x^5+1)^{-\frac{2}{3}}}{3})$

Aturan Rantai pun dapat digunakan dalam kasus komposisi lebih dari dua fungsi, selama fungsi-fungsi tersebut diferensiabel di titik-titik tempat keterdiferensialannya diperlukan. Sebagai contoh, jika y = f(u), u = g(v), dan v = h(x) maka

y’ = (f ∘ g ∘ h)’(x) = f’((g ∘ h)(x)).g’(h(x)).h’(x)

atau dengan notasi Leibniz ini dapat ditulis sebagai:

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

Kesamaan tersebut berlaku dengan syarat: h memiliki turunan di x, g memiliki turunan di h(x), dan f memiliki turunan di (g ∘ h)(x).

Contoh 11

Diketahui y = sin³ (9 – x⁴). Tentukanlah y’.

Jawab:

y dapat dinyatakan sebagai y = u³ dengan u = sin v dan v = 9 – x⁴. [y merupakan komposisi tiga buah fungsi (f ∘ g ∘ h), dengan f(u) = u³, g(v) = sin v, dan h(x) = 9 – x⁴.]

Perhatikan bahwa

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dv} = \cos{v}$

$\frac{dv}{dx} = - 4x^3$

Dengan Aturan Rantai diperoleh:

$\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot \cos{v} \cdot (- 4x^3)$

Substitusikan u = sin v dan v = 9 – x⁴ ke dalam hasil tersebut, diperoleh:

$\frac{dy}{dx} = 3 \: {\sin}^2 v \cdot \left[ \cos{(9 - x^4)} \right] \cdot (- 4x^3)$

Substitusikan v = 9 – x⁴, diperoleh:

$\frac{dy}{dx} = 3 \: {\sin}^2 (9 - x^4) \cdot \left[ \cos {(9 - x^4)} \right] \cdot (- 4x^3)$

$y' = - 12x^3 \cdot {\sin}^2 (9 - x^4) \cdot \cos {(9 - x^4)}$

Terapan Konsep Turunan dalam Bidang Ekonomi:

Elastisitas harga, biaya marjinal, penerimaan marjinal (file pdf): klik di sini

Elastisitas harga, biaya marjinal, penerimaan marjinal (youtube channel): klik di sini

Latihan soal: (klik di sini)

Materi Tambahan tentang Aturan Rantai

Youtube Channel: (klik di sini)

File pdf pada Youtube Channel di atas: (klik di sini)

Contoh-contoh lain penerapan aturan rantai: (klik di sini)

edscyclopedia.com

Untuk anak bangsa yang lebih cerdas

RUMUS-RUMUS TURUNAN

Rumus 1 (R1)

Rumus 2 (R2)

Rumus 3 (R3)

Rumus 4 (R4)

Rumus 5 (R5)

Rumus 6 (R6)

Rumus 7 (R7)

Rumus 8 (R8)

Rumus 9 (R9)

Rumus 10 (R10)

Rumus 11 (R11)

Turunan dari kombinasi linier fungsi-fungsi (R12)

(c₁u₁ + c₂u₂ + … + c_ku_k)’ = c₁u₁’ + c₂u₂’ + … + c_ku_k’

Turunan dari perkalian fungsi (R13)

Turunan dari pembagian fungsi (R14)

Aturan Rantai (R15)

Terapan Konsep Turunan dalam Bidang Ekonomi:

Materi Tambahan tentang Aturan Rantai

Most visitors also read :

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Arsip

Kategori

Follow Us!

edscyclopedia.com

Untuk anak bangsa yang lebih cerdas

RUMUS-RUMUS TURUNAN

Rumus 1 (R1)

Rumus 2 (R2)

Rumus 3 (R3)

Rumus 4 (R4)

Rumus 5 (R5)

Rumus 6 (R6)

Rumus 7 (R7)

Rumus 8 (R8)

Rumus 9 (R9)

Rumus 10 (R10)

Rumus 11 (R11)

Turunan dari kombinasi linier fungsi-fungsi (R12)

(c1u1 + c2u2 + … + ckuk)’ = c1u1’ + c2u2’ + … + ckuk’

Turunan dari perkalian fungsi (R13)

Turunan dari pembagian fungsi (R14)

Aturan Rantai (R15)

Terapan Konsep Turunan dalam Bidang Ekonomi:

Materi Tambahan tentang Aturan Rantai

Bagikan ini:

Most visitors also read :

BERKENALAN DENGAN NILAI DAN VEKTOR EIGEN

DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SINGULAR VALUE DECOMPOSITION)

MATRIKS AKAR KUADRAT

SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Arsip

Kategori

Follow Us!

(c₁u₁ + c₂u₂ + … + c_ku_k)’ = c₁u₁’ + c₂u₂’ + … + c_ku_k’