PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN (1)

November 26th, 2016

Apabila suatu garis dan suatu lingkaran digambarkan pada bidang (datar) yang sama, terdapat tiga kemungkinan yang mungkin dalam hal banyaknya titik potong antara keduanya. Pertama, garis memotong lingkaran di dua titik berlainan. (Gambar 1)

grs_sgg_lingkaran_1

Gambar 1

Kedua, garis tersebut dapat menyinggung lingkaran, memiliki hanya satu buah titik persekutuan. (Gambar 2) Titik persekutuan tersebut dinamakan titik singgung garis pada lingkaran. Garis itu sendiri dinamakan garis singgung.

grs_sgg_lingkaran_2

Gambar 2

Ketiga, garis tersebut mungkin tidak memotong lingkaran. (Gambar 3)

grs_sgg_lingkaran_3

Gambar 3

Misalkan persamaan lingkaran tersebut diketahui, yaitu x² + y² = R². [Lingkaran ini berpusat di titik pangkat koordinat dan berjari-jari R.] Bagaimana cara menentukan persamaan dari garis singgung garis pada lingkaran?

Kasus 1: Gradien garis singgung tersebut diketahui, yaitu m.

Persamaan garis singgung ini adalah:

$y = mx \pm R \sqrt{1 + m^2}$ ………………………………………………………. (1)

Contoh 1

Diketahui lingkaran dengan persamaan x² + y²= 9. Tentukan persamaan garis bergradien 2 yang menyinggung lingkaran tersebut. Tentukan pula koordinat titik-titik singgungnya!

Jawab:

Persamaan lingkaran tersebut dapat dinyatakan kembali sebagai x² + y² = 3². Jadi, jari-jari lingkaran ini adalah R = 3. Untuk menentukan persamaan garis singgung yang bergradien 2, substitusikan m = 2 dan R = 3 pada (1), diperoleh:

$y = 2x \pm 3 \sqrt{1 + 2^2}$

$y = 2x \pm 3 \sqrt{5}$

Ada dua garis yang menyinggung lingkaran tersebut, yaitu g₁ dan g₂ dengan persamaan masing-masing:

g₁ ≡ y = 2x + 3√5

g₂ ≡ y = 2x – 3√5

grs_sgg_lingkaran_4

Gambar 4

Pada Gambar 4, P adalah titik singgung garis g₁ pada lingkaran dan Q titik singgung g₂ pada lingkaran. Untuk menentukan koordinat P, substitusikan y pada persamaan garis g₁: y = 2x + 3√5 ke dalam persamaan lingkaran x² + y² = 9, diperoleh:

x² + (2x + 3√5)² = 9

⇔ 5x² + 12x√5 + 36 = 0

Persamaan kuadrat ini memiliki akar kembar $x = - \frac{6}{5} \sqrt{5}$ . Untuk mendapat ordinat P, substitusikan nilai x ini ke dalam persamaan g₁, diperoleh:

$y = 2(- \frac{6}{5} \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5}$

$y = \frac{3}{5} \sqrt{5}$

Jadi, $P(- \frac{6}{5} \sqrt{5}, \frac{3}{5} \sqrt{5})$

Untuk menentukan koordinat Q, substitusikan y pada persamaan garis g₂: y = 2x – 3√5 ke dalam persamaan lingkaran x² + y² = 9, diperoleh:

x² + (2x – 3√5)² = 9

⇔ 5x² – 12x√5 + 36 = 0

Persamaan kuadrat ini memiliki akar kembar $x = \frac{6}{5} \sqrt{5}$ . Untuk mendapat ordinat Q, substitusikan nilai x ini ke dalam persamaan g₂, diperoleh:

$y = 2(\frac{6}{5} \sqrt{5}) - 3 \sqrt{5}$

$y = - \frac{3}{5} \sqrt{5}$

Jadi, $Q(\frac{6}{5} \sqrt{5}, - \frac{3}{5} \sqrt{5})$

Bagaimana apabila lingkaran tersebut berpusat di (α,β)? Bagaimana menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran ini yang bergradien m?

Persamaan garis singgung ini adalah:

$y - \beta = m(x - \alpha) \pm R \sqrt{1 + m^2}$ …………………………………. (2)

Contoh 2

Misalkan L adalah sebuah lingkaran yang berpusat di (-4,1) dan berjari-jari 3. g₁ dan g₂ adalah garis-garis singgung pada L, yang bergradien 2. Tentukanlah persamaan kedua garis tersebut.

Jawab:

Pada kasus ini, α = -4, β = 1, R = 3, dan m = 2. Substitusikan keempat nilai ini ke dalam (2), diperoleh:

$y - 1 = 2(x - (-4)) \pm 3 \sqrt{1 + 2^2}$

$y = 2x + (9 \pm 3 \sqrt{5})$

Jadi, persamaan-persamaan g₁ dan g₂ adalah:

g₁ ≡ y = 2x + (9 + 3√5)

g₂ ≡ y = 2x + (9 – 3√5)

grs_sgg_lingkaran_5

Gambar 5

(bersambung)

edscyclopedia.com

Untuk anak bangsa yang lebih cerdas

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN (1)