PERSAMAAN GARIS BAGI SUDUT ANTARA DUA GARIS
Pada posting kali ini saya akan menguraikan bagaimana cara menentukan persamaan garis-bagi sudut antara dua garis yang persamaannya diketahui. Sebagai contoh, misalkan diketahui garis h dengan persamaan [pmath]y=x/2[/pmath] dan garis g dengan persamaan [pmath]y={7x}/2[/pmath]. Pada Gambar 1, garis g berwarna hijau dan garis h berwarna hitam.
Gambar 1
Garis merah pada gambar di atas membagi dua sama besar sudut yang dibentuk oleh garis merah dan hijau. Inilah yang dimaksud dengan garis-bagi sudut antara dua garis. Bagaimana persamaan garis-bagi ini? Inilah yang akan dijawab pada posting kali ini.
Kita turunkan dulu rumusnya …..
Diketahui:
- garis g dengan persamaan A1x + B1y + C1 = 0,
- garis h dengan persamaan A2x + B2y + C2 = 0,
- garis k yang merupakan garis-bagi sudut antara g dan h
Ditanyakan: persamaan garis k
Jawab:
Misalkan P0(x0,y0) adalah sembarang titik yang terletak di k. Misalkan A terletak di garis g sedemikian hingga [pmath]overline{AP_{0}} ~ ortho ~ g[/pmath] dan B di garis h sedemikian hingga [pmath]overline{BP_{0}} ~ ortho ~ h[/pmath]. Dengan kata lain [pmath]delim{|}{overline{AP_{0}}}{|}[/pmath] = jarak antara P0 terhadap g dan [pmath]delim{|}{overline{BP_{0}}}{|}[/pmath] = jarak antara P0 terhadap h. (Lihat Gambar 2.)
Gambar 2
Pada Gambar 2, O merupakan titik potong antara g dan h. Perhatikan bahwa OP0 pada ΔOAP0 bersekutu dengan OP0 pada ΔOBP0 (sehingga sama panjang) dan ∠AOP0 = ∠BOP0 sehingga ΔOAP0 ≌ ΔOBP0. Karena itu [pmath]delim{|}{overline{AP_{0}}}{|}=delim{|}{overline{BP_{0}}}{|}[/pmath]. Dengan mempergunakan rumus jarak antara titik ke garis, diperoleh:
[pmath]{delim{|}{A_{1} x_{0}+B_{1} y_{0}+C_{1}}{|}}/{sqrt{{A_{1}}^2+{B_{1}}^2}}~=~{delim{|}{A_{2} x_{0}+B_{2} y_{0}+C_{2}}{|}}/{sqrt{{A_{2}}^2+{B_{2}}^2}}[/pmath]
[pmath]{A_{1} x_{0}+B_{1} y_{0}+C_{1}}/{sqrt{{A_{1}}^2+{B_{1}}^2}} ~ = ~ pm ~ {A_{2} x_{0}+B_{2} y_{0}+C_{2}}/{sqrt{{A_{2}}^2+{B_{2}}^2}}[/pmath]
Karena P0(x0,y0) adalah sembarang titik di k, kesamaan terakhir di atas berlaku untuk semua titik di k sehingga persamaan garis k dapat dinyatakan sebagai:
[pmath]{A_{1}x+B_{1}y+C_{1}}/{sqrt{{A_{1}}^2+{B_{1}}^2}} ~ = ~ pm ~ {A_{2}x+B_{2}y+C_{2}}/{sqrt{{A_{2}}^2+{B_{2}}^2}}[/pmath] …………………………………………………… (*)
Perhatikan bahwa dari (*) tampak bahwa sebenarnya terdapat dua buah garis-bagi yang mungkin.
Selalu terdapat dua buah garis-bagi untuk setiap pasang garis yang diminta persamaan garis-baginya.
Garis bagi lainnya tersebut pada Gambar 3 diwarnai kuning.
Gambar 3
Tadi dikatakan bahwa terdapat dua buah garis-bagi untuk setiap pasang garis yang diminta persamaan garis-baginya. Bagaimana hubungan di antara kedua garis-bagi tersebut? Dapat dibuktikan bahwa:
kedua garis-bagi tersebut saling tegaklurus satu sama lain.
Sekarang kita siap menyelesaikan soal yang ditanyakan di bagian awal posting ini.
Diketahui:
- garis g dengan persamaan [pmath]y={7x}/2[/pmath]
- garis h dengan persamaan [pmath]y=x/2[/pmath]
Ditanyakan: persamaan garis-bagi antara garis g dan h tersebut.
Jawab:
Perhatikan bahwa garis g dan h dapat dinyatakan dalam bentuk Ax + By + C = 0 sebagai berikut:
g ≡ 7x – 2y = 0
h ≡ x – 2y = 0
Substitusikan A1 = 7, B1 = -2, C1 = 0, A2 = 1, B2 = -2, dan C2 = 0 ke dalam rumus (*), diperoleh:
[pmath]{7x-2y}/{sqrt{7^2+(-2)^2}} ~ = ~ pm ~ {x-2y}/{sqrt{1^2+(-2)^2}}[/pmath]
Terdapat dua garis-bagi, yaitu sebagai berikut.
Garis-bagi pertama: (Lihat Gambar 4)
[pmath]{7x-2y}/{sqrt{7^2+(-2)^2}} ~ = ~ {x-2y}/{sqrt{1^2+(-2)^2}}[/pmath]
[pmath]doubleleftright ~ y={3-sqrt{265}}/{16} x[/pmath]
Gambar 4
Garis-bagi kedua: (Lihat Gambar 5)
[pmath]{7x-2y}/{sqrt{7^2+(-2)^2}} ~ = ~ – ~ {x-2y}/{sqrt{1^2+(-2)^2}}[/pmath]
[pmath]doubleleftright ~ y ~ = ~ {3+sqrt{265}}/{16} x[/pmath]
Gambar 5
Tagging: garis bagi
Terimakasih sngat membantu