PENERAPAN TEOREMA NILAI RATA-RATA DALAM PENAKSIRAN
Oktober 18th, 2016
Teorema Nilai Rata-Rata merupakan salah satu teorema penting dalam kalkulus. Namun, di samping kegunaannya dalam perkembangan kalkulus itu sendiri, teorema nilai rata-rata mempunyai penerapan yang dapat bermanfaat dalam situasi-situasi tertentu. Post saya kali ini memberikan beberapa ilustrasi penerapannya.
Teorema Nilai Rata-Rata
Jika f suatu fungsi yang kontinu pada selang tertutup [a,b] dan memiliki turunan di selang terbuka (a,b) maka terdapat suatu titik ξ ∊ (a,b) sedemikian hingga:
Contoh 1
Berikan suatu penaksiran mengenai selisih antara dengan .
Jawab:
Kita tahu bahwa . Dengan teorema nilai rata-rata kita dapat menghitung range nilai selisih antara dengan , yaitu selisih antara dengan . Karena itu kita misalkan f(x) = arc sin x dengan membatasi daerah definisi f menjadi . Perhatikan bahwa f kontinu pada dan f memiliki turunan pada . Khususnya, untuk setiap . Dengan demikian f memenuhi semua asumsi keberlakuan teorema nilai rata-rata. Pilih suatu yang memenuhi . (Eksistensi ξ tersebut dijamin teorema nilai rata-rata.) Dari sini diperoleh . Karena , dapat ditunjukkan bahwa sehingga . Jadi, sebagai jawaban soal ini:
Contoh 2
Jika a > 0 buktikan bahwa
Jawab:
Diketahui a > 0. Perhatikan fungsi f yang didefinisikan pada selang tertutup [0,a] dengan f(x) = ln (1+x) untuk setiap x ∊ [0,a]. Dapat dibuktikan bahwa f kontinu pada [0,a] dan f memiliki turunan di (0,a). Khususnya, untuk setiap x ∊ (0,a). Dengan demikian f memenuhi semua asumsi keberlakuan teorema nilai rata-rata. Pilih suatu ξ ∊ (0,a) sedemikian hingga . Selanjutnya, diperoleh:
………………………………………………………. (*)
Karena 0 < ξ < a, berlakulah 1 < 1 + ξ < 1 + a dan selanjutnya:
…………………………………………………….. (**)
Substitusikan (*) ke dalam (**), diperoleh:
(terbukti)
Contoh 3
Buktikan bahwa jika n > N2 maka dengan n dan N masing-masing bilangan asli)
Jawab:
Misalkan n > N2. Definisikan fungsi f yang daerah definisinya selang tertutup [n,n+1] dengan untuk setiap x ∊ [n,n+1]. Perhatikan bahwa f kontinu di [n,n+1] dan f mempunyai turunan di (n,n+1). Khususnya, . Jadi f memenuhi semua syarat keberlakuan teorema nilai rata-rata. Pilih ξ ∊ (n,n+1) sedemikian hingga . Jadi, . Karena n < ξ < n+1, . Dari pemisalan n > N2 dapat ditunjukkan bahwa , sehingga (terbukti)
PENERAPAN TEOREMA NILAI RATA-RATA DALAM PENAKSIRAN
Teorema Nilai Rata-Rata merupakan salah satu teorema penting dalam kalkulus. Namun, di samping kegunaannya dalam perkembangan kalkulus itu sendiri, teorema nilai rata-rata mempunyai penerapan yang dapat bermanfaat dalam situasi-situasi tertentu. Post saya kali ini memberikan beberapa ilustrasi penerapannya.
Teorema Nilai Rata-Rata
Jika f suatu fungsi yang kontinu pada selang tertutup [a,b] dan memiliki turunan di selang terbuka (a,b) maka terdapat suatu titik ξ ∊ (a,b) sedemikian hingga:
Contoh 1
Berikan suatu penaksiran mengenai selisih antara
dengan
.
Jawab:
Kita tahu bahwa
. Dengan teorema nilai rata-rata kita dapat menghitung range nilai selisih antara
dengan
, yaitu selisih antara
dengan
. Karena itu kita misalkan f(x) = arc sin x dengan membatasi daerah definisi f menjadi
. Perhatikan bahwa f kontinu pada
dan f memiliki turunan pada
. Khususnya,
untuk setiap
. Dengan demikian f memenuhi semua asumsi keberlakuan teorema nilai rata-rata. Pilih suatu
yang memenuhi
. (Eksistensi ξ tersebut dijamin teorema nilai rata-rata.) Dari sini diperoleh
. Karena
, dapat ditunjukkan bahwa
sehingga
. Jadi, sebagai jawaban soal ini:
Contoh 2
Jika a > 0 buktikan bahwa
Jawab:
Diketahui a > 0. Perhatikan fungsi f yang didefinisikan pada selang tertutup [0,a] dengan f(x) = ln (1+x) untuk setiap x ∊ [0,a]. Dapat dibuktikan bahwa f kontinu pada [0,a] dan f memiliki turunan di (0,a). Khususnya,
untuk setiap x ∊ (0,a). Dengan demikian f memenuhi semua asumsi keberlakuan teorema nilai rata-rata. Pilih suatu ξ ∊ (0,a) sedemikian hingga
. Selanjutnya, diperoleh:
Karena 0 < ξ < a, berlakulah 1 < 1 + ξ < 1 + a dan selanjutnya:
Substitusikan (*) ke dalam (**), diperoleh:
Contoh 3
Buktikan bahwa jika n > N2 maka
dengan n dan N masing-masing bilangan asli)
Jawab:
Misalkan n > N2. Definisikan fungsi f yang daerah definisinya selang tertutup [n,n+1] dengan
untuk setiap x ∊ [n,n+1]. Perhatikan bahwa f kontinu di [n,n+1] dan f mempunyai turunan di (n,n+1). Khususnya,
. Jadi f memenuhi semua syarat keberlakuan teorema nilai rata-rata. Pilih ξ ∊ (n,n+1) sedemikian hingga
. Jadi,
. Karena n < ξ < n+1,
. Dari pemisalan n > N2 dapat ditunjukkan bahwa
, sehingga
(terbukti)
Bagikan ini:
Most visitors also read :
BERKENALAN DENGAN NILAI DAN VEKTOR EIGEN
DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SINGULAR VALUE DECOMPOSITION)
MATRIKS AKAR KUADRAT
SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA