PENDAHULUAN LIMIT FUNGSI

Oktober 6th, 2016

Misalkan f adalah suatu fungsi dengan daerah asal ℝ dan daerah kawan ℝ dengan aturan fungsi f(x) = x + 5. Mari kita perhatikan nilai-nilai f(x) apabila nilai-nilai x di sekitar 2, namun x ≠ 2. (Lihat Tabel 1 di bawah.)

Tabel 1
Nilai-nilai f(x) di Sekitar x = 2

limit_01

Pada Tabel 1, perhatikan bahwa apabila x semakin mendekati 2, nilai f(x) semakin menuju nilai tertentu. Intuisi kita memperkirakan bahwa nilai yang dituju f(x) adalah 7. Dengan kata lain, jika x mendekati 2 maka f(x) mendekati 7. Secara matematis, hubungan antara mendekatnya x menuju 2 dan mendekatnya nilai f(x) menuju 7 dituliskan sebagai berikut.
$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 5) = 7$

Perhatikan bahwa f(2) = 2 + 5 = 7 dan $\lim_{x \to 2} f(x) = 7$ . Jika demikian, apa perbedaan makna di antara keduanya?

Apakah perbedaan antara misalnya, f(a) dengan $\lim_{x \to a} f(x)$ ? Pada contoh tadi, perbedaannya belum terlalu “kentara”. Perbedaan yang dimaksud akan lebih tampak pada contoh berikutnya, yaitu apabila kita meninjau $g(x) = \frac{2x^2 - 3x - 2}{x - 2}$ . Nilai-nilai g(x) di sekitar x = 2 (namun x ≠ 2) dapat dilihat pada Tabel 2.

Tabel 2
Nilai-nilai g(x) di Sekitar x = 2

limit_02

Pada Tabel 2, perhatikan bahwa apabila x semakin mendekati 2, nilai g(x) semakin menuju nilai tertentu. Intuisi kita memperkirakan bahwa nilai yang dituju g(x) adalah 5. Dengan kata lain, jika x mendekati 2 maka g(x) mendekati 5. Secara matematis, hubungan antara mendekatnya x menuju 2 dan mendekatnya nilai g(x) menuju 5 dituliskan sebagai berikut.
$\lim_{x \to 2} g(x) = \lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - 3x - 2}{x - 2} = 5$

Bagaimana dengan g(2)? Jika kita substitusikan x = 2 ke dalam g(x) akan diperoleh $g(2) = \frac{0}{0}$ yang nilainya tidak terdefinisi! Pada contoh inilah tampak lebih mencolok perbedaan antara $\lim_{x \to 2} g(x)$ dengan g(2). Secara umum, memang perbedaan antara $\lim_{x \to a} f(x)$ dengan f(a) tampak tipis, tidak berarti. Namun sesungguhnya perbedaan keduanya sangat ekstrim, mengingat f(a) merupakan hasil evaluasi nilai f(x) tepat di x = 2 sedangkan $\lim_{x \to a} f(x)$ mengevaluasi nilai f(x) dalam kondisi nilai x ≠ 2 walaupun nilai x “tidak jauh-jauh” dari 2.

Eksistensi Limit Fungsi

Pada contoh kedua, nilai g(2) tidak terdefinisi, g(2) tidak ada nilainya. Sekarang, apakah mungkin limit suatu fungsi tidak ada nilainya? Ini yang dimaksud eksistensi limit fungsi. Ini mungkin terjadi, perhatikan contoh ketiga berikut.

Misalkah h adalah suatu fungsi dari ℝ ke ℝ dengan aturan fungsi:

Nilai-nilai h(x) di sekitar x = 2 namun x ≠ 2 dapat dilihat pada Tabel 3.

Tabel 3
Nilai-nilai h(x) di Sekitar x = 2

limit_03

Pengamatan terhadap Tabel 3 memperlihatkan sebagai berikut. Apabila x mendekati 2 namun x < 2, nilai h(x) mendekati (atau di sekitar) 3. Apabila x mendekati 2 namun x > 2, nilai h(x) berada “di sekitar” -1. Jadi, nilai yang dituju oleh h(x) tidak sama apabila 2 tersebut didekati menurut arah yang berbeda. Dalam kasus seperti inilah kita katakan bahwa $\lim_{x \to 2} h(x)$ tidak ada. Selanjutnya, untuk situasi ini dapat kita tulis dua hal berikut.
$\lim_{x \to 2^{-}} h(x) = 3$ …………………. (1)
$\lim_{x \to 2^{+}} h(x) = -1$ ……………………. (2)
Bentuk-bentuk (1) dan (2) di atas dinamakan limit-limit sepihak (one-sided limits). Limit dalam (1) dinamakan limit kiri dan (2) dinamakan limit kanan.