PELUANG BERSYARAT DAN KEJADIAN SALING BEBAS (1)

April 15th, 2017

Dalam teori peluang, dua buah kejadian (atau lebih) dapat saling bebas, dapat pula tidak saling bebas. Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh-contoh kejadian yang saling bebas

Jika dua buah dadu dilemparkan sekaligus, sisi yang muncul pada dadu yang satu tidak ada hubungannya dengan sisi yang muncul pada dadu kedua. Dengan kata lain, dengan diketahuinya sisi mana yang muncul pada dadu yang satu kita tidak dapat menyimpulkan apa pun mengenai sisi apa yang muncul pada dadu kedua.
Jika kita melemparkan tiga buah uang logam bersamaan/sekaligus, sisi mana yang muncul pada uang logam yang satu tidak ada hubungannya dengan sisi mana yang muncul pada kedua uang logam lainnya. Dengan diketahuinya sisi mana yang muncul pada uang logam yang satu, kita tidak dapat menyimpulkan apa pun mengenai sisi mana yang muncul pada uang logam yang lain.
Jika kita mengambil sebuah kartu secara acak dari 1 set kartu bridge, terambilnya kartu berbuah diamond tidak ada hubungannya dengan nomor kartu itu (apakah 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, atau As). Dengan diketahuinya bahwa kartu yang terambil adalah kartu berbuah diamond, kita tidak dapat menyimpulkan apa pun mengenai nomor kartu yang terambil.

Contoh-contoh kejadian yang tidak saling bebas

Pada pelemparan dua buah dadu, kejadian munculnya sisi dengan 6 buah mata dadu berpengaruh terhadap jumlah mata dadu yang muncul pada kedua dadu. Sebagai contoh, apabila salah satu dadu memunculkan sisi dengan 6 buah mata dadu, dapat disimpulkan bahwa jumlah mata dadu yang muncul pada kedua dadu pasti lebih dari 6. Jika salah sebuah dadu memunculkan sisi dengan 6 buah mata dadu maka dapat dipastikan jumlah mata dadu yang muncul pada kedua dadu adalah 7, 8, 9, 10, 11, atau 12.
Pada pelemparan tiga buah uang logam sekaligus, kejadian munculnya sisi Angka pada salah satu uang logam akan berpengaruh terhadap banyaknya sisi Gambar yang muncul pada semua uang logam tersebut. Jika salah satu uang logam memunculkan sisi Angka, maka tidak mungkin muncul tiga sisi Gambar di antara semua uang logam tersebut.
Pada pengambil sebuah kartu secara acak dari 1 set kartu bridge, kejadian terambilnya kartu bergambar wajah berpengaruh terhadap nomor kartu yang terambil. Jika terambil kartu bergambar wajah maka dapat dipastikan kartu tersebut adalah salah satu di antara J, Q, atau K.

Konsep saling bebas atau tidak saling bebas dapat dirumuskan secara matematis. Untuk memahami ini, perhatikan definisi berikut yang merupakan definisi peluang bersyarat.

Definisi [Peluang Bersyarat]

Peluang bersyarat B jika diketahui A terjadi, P(B|A), didefinisikan sebagai:

dengan P(A) > 0.

Contoh 1

Dua buah dadu dilemparkan sekaligus. Tentukan peluang jumlah mata dadu sebanyak lebih dari 9 jika dadu pertama memunculkan sisi dengan 6 buah mata dadu.

Jawab:

Misalkan A = kejadian dadu pertama memunculkan sisi dengan 6 buah mata dadu dan B = kejadian muncul jumlah mata dadu sebanyak lebih dari 9.

Pada eksperimen ini, terdapat 36 hasil yang mungkin, yaitu:

Untuk memudahkan penulisan, ruang sampel tersebut dituliskan sebagai: S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}.

Dengan demikian, A = {(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}, B = {(4,6), (5,5), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6)} dan A∩B = {(6,4), (6,5), (6,6)}. Karena |S| = 36, |A| = 6, dan |A∩B| = 3, P(A∩B) = 3/36 = 1/12 dan P(A) = 6/36 = 1/6. Dari definisi peluang bersyarat diperoleh:

Jadi, peluang jumlah mata dadu sebanyak lebih dari 9 jika dadu pertama memunculkan sisi dengan 6 buah mata dadu adalah 0,5.

Contoh 2

Tiga buah uang logam dilemparkan sekaligus. Tentukan peluang munculnya tepat 2 buah sisi Gambar jika uang logam pertama memunculkan sisi Angka.

Jawab:

Misalkan A = kejadian uang logam pertama memunculkan sisi Angka, B = kejadian muncul tepat 2 buah sisi Gambar. Ruang sampel dalam eksperimen ini adalah S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}. Selanjutnya, A = {AAA, AAG, AGA, AGG}, B = {AGG, GAG, GGA}, dan A∩B = {AGG}. Karena |S| = 8, |A| = 4, dan |A∩B| = 1, P(A∩B) = 1/8 dan P(A) = 4/8 = 1/2. Dari definisi peluang bersyarat diperoleh: