Di post saya sebelumnya, saya telah memperkenalkan barisan aritmetika (arithmetic sequence). Kali ini saya akan memperkenalkan deret aritmetika (arithmetic series).
Misalkan u1, u2, u3, …, un, … adalah suatu barisan. Dari barisan ini kita dapat membentuk barisan lain, s1, s2, s3, s4, …, sn, … dengan:
s1 = u1
s2 = u1 + u2
s3 = u1 + u2 + u3, dan seterusnya.
Jadi, sn = u1 + u2 + u3 + … + un.
Dengan kata lain, [pmath]s_{n} ~=~ sum{i=1}{n}{u_{i}}[/pmath].
sn merupakan jumlah n suku pertama dari barisan u1, u2, u3, …, un, …
Sebagai contoh, perhatikan barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14, … Pada barisan ini, u1 = 2, u2 = 5, u3 = 8, dan seterusnya. Secara umum, un = 2 + (n – 1).3 = 3n – 1. Dari barisan ini kita dapat membentuk barisan lain s1, s2, s3, …, sn, … dengan
sn yang didefinisikan dengan cara di atas dinamakan jumlah parsial sampai dengan suku ke-n.
Barisan s1, s2, s3, … , sn, … dinamakan deret.
Jika u1, u2, u3, …, un, … merupakan barisan aritemetika maka s1, s2, s3, … , sn, … dinamakan deret aritmetika. Jadi, deret merupan barisan jumlah parsial.
Contoh 1
Hitunglah jumlah 100 suku pertama dari barisan 2, 5, 8, 11, 14, …
Jawab:
Barisan tersebut merupakan barisan aritmetika dengan suku awal 2 dan beda 3. Jadi, a = 2 dan b = 3.
Yang ditanyakan soal ini adalah s100. Substitusikan a = 2, b = 3, dan n = 100 ke dalam (2), diperoleh:
Jadi, jumlah 100 suku pertama barisan tersebut adalah 15050.
Contoh tersebut dapat pula dikerjakan menggunakan (1). Hitung terlebih dahulu un = a + (n – 1).b (lihat post saya sebelumnya). Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus un tersebut, diperoleh: u100 = 2 + (100 – 1).3 = 299. Jadi, yang diminta dalam soal ini adalah:
Barisan 135, 131, 127, 123, … merupakan barisan aritmetika dengan suku awal a = 135 dan beda b = -4. Untuk mengetahui jumlah tersebut, kita perlu mengetahui terlebih dahulu suku keberapakah yang bernilai 75. Dengan kata lain, kita perlu mengetahui nilai n sedemikian hingga un = 75. Untuk menjawab ini, gunakan rumus un = a + (n – 1).b. Substitusikan a, b, dan un ke dalam rumus tersebut, diperoleh:
75 = 135 + (n – 1).(-4)
75 = 139 – 4n
Dari sini kita peroleh n = 16.
Jadi, yang ditanyakan soal ini adalah s16. Substitusikan a, u16, dan n ke dalam (1), diperoleh:
Jadi, 135 + 131 + 127 + 123 + … + 75 = 1680.
Latihan Soal Barisan dan Deret Aritmetika: Latihan 1
Terima kasih atas kunjungan Anda ke website ini. Untuk kepuasan Anda, Anda dapat mengajukan permintaan materi untuk dimuat di edscyclopedia.com. Kirim permintaan tersebut melalui e-mail ke sondakh.edu@google.com.
MENGENAL BARISAN ARITMETIKA (2)
Di post saya sebelumnya, saya telah memperkenalkan barisan aritmetika (arithmetic sequence). Kali ini saya akan memperkenalkan deret aritmetika (arithmetic series).
Misalkan u1, u2, u3, …, un, … adalah suatu barisan. Dari barisan ini kita dapat membentuk barisan lain, s1, s2, s3, s4, …, sn, … dengan:
s1 = u1
s2 = u1 + u2
s3 = u1 + u2 + u3, dan seterusnya.
Jadi, sn = u1 + u2 + u3 + … + un.
Dengan kata lain, [pmath]s_{n} ~=~ sum{i=1}{n}{u_{i}}[/pmath].
sn merupakan jumlah n suku pertama dari barisan u1, u2, u3, …, un, …
Sebagai contoh, perhatikan barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14, … Pada barisan ini, u1 = 2, u2 = 5, u3 = 8, dan seterusnya. Secara umum, un = 2 + (n – 1).3 = 3n – 1. Dari barisan ini kita dapat membentuk barisan lain s1, s2, s3, …, sn, … dengan
s1 = u1 = 2
s2 = u1 + u2 = 2 + 5 = 7
s3 = u1 + u2 + u3 = 2 + 5 + 8 = 15
s4 = u1 + u2 + u3 + u4 = 2 + 5 + 8 + 11 = 26, dan seterusnya
Jadi sekarang kita memiliki barisan baru: 2, 7, 15, 26, …, sn, …
Jika u1, u2, u3, …, un, … merupakan suatu barisan aritmetika maka berlaku:
[pmath]s_{n} ~=~ 1/2 n (a ~+~ u_{n})[/pmath] ………………………………………………………………. (1)
[pmath]s_{n} ~=~ {1/2} bn^2 ~+~ (a ~-~ 1/2 b)n[/pmath] …………………………………………… (2)
Catatan:
sn yang didefinisikan dengan cara di atas dinamakan jumlah parsial sampai dengan suku ke-n.
Barisan s1, s2, s3, … , sn, … dinamakan deret.
Jika u1, u2, u3, …, un, … merupakan barisan aritemetika maka s1, s2, s3, … , sn, … dinamakan deret aritmetika. Jadi, deret merupan barisan jumlah parsial.
Contoh 1
Hitunglah jumlah 100 suku pertama dari barisan 2, 5, 8, 11, 14, …
Jawab:
Barisan tersebut merupakan barisan aritmetika dengan suku awal 2 dan beda 3. Jadi, a = 2 dan b = 3.
Yang ditanyakan soal ini adalah s100. Substitusikan a = 2, b = 3, dan n = 100 ke dalam (2), diperoleh:
Jadi, jumlah 100 suku pertama barisan tersebut adalah 15050.
Contoh tersebut dapat pula dikerjakan menggunakan (1). Hitung terlebih dahulu un = a + (n – 1).b (lihat post saya sebelumnya). Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus un tersebut, diperoleh: u100 = 2 + (100 – 1).3 = 299. Jadi, yang diminta dalam soal ini adalah:
s100 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + … + 299.
Dengan menggunakan rumus (1), diperoleh:
Contoh 2
Hitunglah jumlah berikut: 135 + 131 + 127 + 123 + … + 75.
Jawab
Barisan 135, 131, 127, 123, … merupakan barisan aritmetika dengan suku awal a = 135 dan beda b = -4. Untuk mengetahui jumlah tersebut, kita perlu mengetahui terlebih dahulu suku keberapakah yang bernilai 75. Dengan kata lain, kita perlu mengetahui nilai n sedemikian hingga un = 75. Untuk menjawab ini, gunakan rumus un = a + (n – 1).b. Substitusikan a, b, dan un ke dalam rumus tersebut, diperoleh:
75 = 135 + (n – 1).(-4)
75 = 139 – 4n
Dari sini kita peroleh n = 16.
Jadi, yang ditanyakan soal ini adalah s16. Substitusikan a, u16, dan n ke dalam (1), diperoleh:
Jadi, 135 + 131 + 127 + 123 + … + 75 = 1680.
Latihan Soal Barisan dan Deret Aritmetika: Latihan 1
Materi lain yang berkenaan dengan barisan:
Barisan Geometri (Geometric Sequence)
Terima kasih atas kunjungan Anda ke website ini. Untuk kepuasan Anda, Anda dapat mengajukan permintaan materi untuk dimuat di edscyclopedia.com. Kirim permintaan tersebut melalui e-mail ke sondakh.edu@google.com.
Bagikan ini:
Most visitors also read :
BERKENALAN DENGAN NILAI DAN VEKTOR EIGEN
DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SINGULAR VALUE DECOMPOSITION)
MATRIKS AKAR KUADRAT
SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA