MANFAAT KEKONTINUAN FUNGSI DALAM MENCARI AKAR PERSAMAAN
Oktober 20th, 2016
Pada post saya yang lalu, telah dijelaskan apa yang pengertian kekontinuan fungsi di suatu titik. Apabila dilihat sepintas lalu, konsep tersebut tampak tidak begitu penting. Tetapi akan kita lihat nanti, ternyata kekontinuan fungsi di suatu selang tertutup memberikan suatu keuntungan tersendiri. Dalam hal ini, kekontinuan fungsi di suatu selang tertutup memberikan salah satu cara untuk mencari akar suatu persamaan.
Kekontinuan Fungsi di Selang Tertutup
Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada suatu selang tertutup [a,b] jika f kontinu di setiap x ∊ (a,b), kontinu kanan di x = a, dan kontinu kiri di x = b.
Teorema Nilai Antara (Intermediate Value Theorem)
Misalkan f kontinu pada [a,b] dan f(a) < K < f(b) atau f(b) < K < f(a). Maka terdapat suatu c ∊ (a,b) sedemikian hingga f(c) = K.
Ilustrasi
Perhatikan fungsi riil f dengan daerah asal [0,2] dan f(x) = x2 – 2 untuk setiap x ∊ [0,2]. Perhatikan bahwa f kontinu di [0,2], f(0) = 02 – 2 = -2 dan f(2) = 22 – 2 = 2. Perhatikan juga bahwa f(0) < -1 < f(2). Menurut Teorema Nilai Antara, terdapat suatu c ∊ (0,2) sedemikian hingga f(c) = -1. Berapakah nilai c ini? c = 1 [Perhatikan bahwa 1 ∊ (0,2).] (Lihat gambar di bawah.) Inilah yang dimaksudkan Teorema Nilai Antara.
Bagaimana Teorema Nilai Antara dapat digunakan untuk mencari akar suatu persamaan?
Jika f kontinu pada [a,b] dan f(a).f(b) < 0 maka terdapat suatu c ∊ (a,b) sedemikian hingga f(c) = 0. Dengan kata lain, x = c merupakan suatu akar dari persamaan f(x) = 0.
Penjelasan
f(a).f(b) < 0 memberikan dua kemungkinan. Kemungkinan pertama: f(a) < 0 dan f(b) > 0; kemungkinan kedua: f(a) > 0 dan f(b) < 0. Dengan demikian, ada dua kemungkinan mengenai “letak” nol di antara f(a) dan f(b). Kemungkinan pertama: f(a) < 0 < f(b); kemungkinan kedua: f(b) < 0 < f(a). Kemungkinan yang mana pun mengenai “letak” nol tersebut, Teorema Nilai Antara menjamin adanya suatu c ∊ ℝ yang memenuhi a < c < b dan f(c) = 0.
Untuk menggunakan Teorema Nilai Antara dalam mencari akar persamaan, pertama-tama kita harus berhasil menemukan suatu selang tertutup [a,b] di mana f kontinu di selang tersebut, DAN BUKAN HANYA ITU … harus juga berlaku f(a).f(b) < 0 [f(a) dan f(b) mempunyai tanda aljabar yang berlawanan.] Setelah berhasil mendapatkan selang ini, kita “persempit” selang tersebut dengan cara mencari selang tertutup [a1,b1] ⊆ [a,b] sedemikian hingga f(a1) memiliki tanda aljabar yang sama dengan f(a) dan f(b1) memiliki tanda aljabar yang sama dengan f(b), demikian seterusnya proses ini diulang. Dengan demikian lebar selang tertutup tersebut akan semakin sempit, dan akar sebenarnya dari persamaan yang ditanyakan tetap “terkurung” dalam selang tertutup yang semakin sempit tersebut. Apabila kita mengakhiri perulangan tersebut hingga didapatkan selang [aN,bN], kita pilih sebagai suatu pendekatan bagi akar persamaan tersebut. Dengan mudah kita dapat memahami bahwa error atau selisih antara nilai pendekatan ini dengan akar sesungguhnya dapat dipastikan lebih kecil dari |aN – bN|.
Contoh Pencarian Akar Persamaan dengan Teorema Nilai Antara
Carilah nilai pendekatan akar persamaan x3 + x – 1 = 0. Hendaklah selisih nilai pendekatan tersebut dengan akar sebenarnya kurang dari 0,05.
Jawab:
Misalkan f(x) = x3 + x – 1. Tugas pertama kita adalah mencari suatu selang [a,b] sedemikian hingga f(a)f(b) < 0. Selang yang memenuhi ini misalnya [0,1]. Jadi a = 0 dan b = 1. (Perhatikan bahwa f(0) < 0 dan f(1) > 0, sehingga f(0).f(1) < 0.] Karena f kontinu di [0,1], Teorema Nilai Antara menjamin bahwa ada suatu c ∊ (0,1) sedemikian hingga f(c) = 0. Jadi, pasti ada suatu akar persamaan tersebut yang letaknya di antara 0 dan 1. Untuk “mendekati” akar tersebut, kita coba persempit selang sebelumya. Salah satu yang bisa dilakukan adalah dengan mencari titik tengah selang tersebut. Kita hitung titik tengah dari [0,1], yaitu . Hitunglah f(0,5), diperoleh f(0,5) = -0,375 < 0. Bentuklah selang tertutup yang baru (yang lebih sempit), yaitu [a1,b1] dengan a1 = 0,5 dan b1 = 1. [Perhatikan bahwa f(a1) memiliki tanda aljabar dengan f(a) dan f(b1) memiliki tanda aljabar yang sama dengan f(b).] Menurut Teorema Nilai Antara, akar persamaan tersebut ada pada selang (a1,b1). Untuk lebih mendekati akar sebenarnya, kita cari lagi titik tengah dari selang tertutup ini, yaitu: . Hitunglah f(0,75), diperoleh f(0,75) = -0,0156 < 0. Bentuklah selang tertutup yang baru (yang lebih sempit), yaitu [a2,b2] dengan a2 = 0,75 dan b1 = 1. [Perhatikan bahwa f(a2) memiliki tanda aljabar dengan f(a1) dan f(b2) memiliki tanda aljabar yang sama dengan f(b1).] Menurut Teorema Nilai Antara, akar persamaan tersebut ada pada selang (a2,b2). Untuk lebih mendekati akar sebenarnya, kita cari lagi titik tengah dari selang tertutup ini, yaitu: . Hitunglah f(0,875), diperoleh f(0,875) = 0,4355 > 0. Bentuklah selang tertutup yang baru (yang lebih sempit), yaitu [a3,b3] dengan a3 = 0,75 dan b3 = 0,875. [Perhatikan bahwa f(a3) memiliki tanda aljabar dengan f(a2) dan f(b3) memiliki tanda aljabar yang sama dengan f(b2).] Menurut Teorema Nilai Antara, akar persamaan tersebut ada pada selang (a3,b3). Untuk lebih mendekati akar sebenarnya, kita cari lagi titik tengah dari selang tertutup ini, yaitu: , demikian seterusnya. Rangkaian proses ini dapat diringkaskan pada tabel berikut.
Pada contoh ini, proses kita hentikan hingga bi – ai < 0,05. Dalam hal ini, b5 – a5 < 0,05. Karena M6 ∊ (a5,b5), selisih M6 dengan akar sebenarnya dapat dipastikan kurang dari 0,05. Jadi, pendekatan bagi akar persamaan x3 + x – 1 = 0 adalah x = 0,7656.
Catatan:
Teknik “bagi dua” sebagaimana dicontohkan di atas, dalam literatur-literatur metode numerik biasa dinamakan bisection method.
Lihat juga materi lain yang berhubungan dengan kekontinuan fungsi:
Terima kasih atas kunjungan Anda ke website ini. Untuk kepuasan Anda, Anda dapat mengajukan permintaan materi untuk dimuat di edscyclopedia.com. Kirim permintaan tersebut melalui e-mail ke sondakh.edu@google.com.
MANFAAT KEKONTINUAN FUNGSI DALAM MENCARI AKAR PERSAMAAN
Pada post saya yang lalu, telah dijelaskan apa yang pengertian kekontinuan fungsi di suatu titik. Apabila dilihat sepintas lalu, konsep tersebut tampak tidak begitu penting. Tetapi akan kita lihat nanti, ternyata kekontinuan fungsi di suatu selang tertutup memberikan suatu keuntungan tersendiri. Dalam hal ini, kekontinuan fungsi di suatu selang tertutup memberikan salah satu cara untuk mencari akar suatu persamaan.
Kekontinuan Fungsi di Selang Tertutup
Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada suatu selang tertutup [a,b] jika f kontinu di setiap x ∊ (a,b), kontinu kanan di x = a, dan kontinu kiri di x = b.
Teorema Nilai Antara (Intermediate Value Theorem)
Misalkan f kontinu pada [a,b] dan f(a) < K < f(b) atau f(b) < K < f(a). Maka terdapat suatu c ∊ (a,b) sedemikian hingga f(c) = K.
Ilustrasi
Perhatikan fungsi riil f dengan daerah asal [0,2] dan f(x) = x2 – 2 untuk setiap x ∊ [0,2]. Perhatikan bahwa f kontinu di [0,2], f(0) = 02 – 2 = -2 dan f(2) = 22 – 2 = 2. Perhatikan juga bahwa f(0) < -1 < f(2). Menurut Teorema Nilai Antara, terdapat suatu c ∊ (0,2) sedemikian hingga f(c) = -1. Berapakah nilai c ini? c = 1 [Perhatikan bahwa 1 ∊ (0,2).] (Lihat gambar di bawah.) Inilah yang dimaksudkan Teorema Nilai Antara.
Bagaimana Teorema Nilai Antara dapat digunakan untuk mencari akar suatu persamaan?
Jika f kontinu pada [a,b] dan f(a).f(b) < 0 maka terdapat suatu c ∊ (a,b) sedemikian hingga f(c) = 0. Dengan kata lain, x = c merupakan suatu akar dari persamaan f(x) = 0.
Penjelasan
f(a).f(b) < 0 memberikan dua kemungkinan. Kemungkinan pertama: f(a) < 0 dan f(b) > 0; kemungkinan kedua: f(a) > 0 dan f(b) < 0. Dengan demikian, ada dua kemungkinan mengenai “letak” nol di antara f(a) dan f(b). Kemungkinan pertama: f(a) < 0 < f(b); kemungkinan kedua: f(b) < 0 < f(a). Kemungkinan yang mana pun mengenai “letak” nol tersebut, Teorema Nilai Antara menjamin adanya suatu c ∊ ℝ yang memenuhi a < c < b dan f(c) = 0.
Untuk menggunakan Teorema Nilai Antara dalam mencari akar persamaan, pertama-tama kita harus berhasil menemukan suatu selang tertutup [a,b] di mana f kontinu di selang tersebut, DAN BUKAN HANYA ITU … harus juga berlaku f(a).f(b) < 0 [f(a) dan f(b) mempunyai tanda aljabar yang berlawanan.] Setelah berhasil mendapatkan selang ini, kita “persempit” selang tersebut dengan cara mencari selang tertutup [a1,b1] ⊆ [a,b] sedemikian hingga f(a1) memiliki tanda aljabar yang sama dengan f(a) dan f(b1) memiliki tanda aljabar yang sama dengan f(b), demikian seterusnya proses ini diulang. Dengan demikian lebar selang tertutup tersebut akan semakin sempit, dan akar sebenarnya dari persamaan yang ditanyakan tetap “terkurung” dalam selang tertutup yang semakin sempit tersebut. Apabila kita mengakhiri perulangan tersebut hingga didapatkan selang [aN,bN], kita pilih
sebagai suatu pendekatan bagi akar persamaan tersebut. Dengan mudah kita dapat memahami bahwa error atau selisih antara nilai pendekatan ini dengan akar sesungguhnya dapat dipastikan lebih kecil dari |aN – bN|.
Contoh Pencarian Akar Persamaan dengan Teorema Nilai Antara
Carilah nilai pendekatan akar persamaan x3 + x – 1 = 0. Hendaklah selisih nilai pendekatan tersebut dengan akar sebenarnya kurang dari 0,05.
Jawab:
Misalkan f(x) = x3 + x – 1. Tugas pertama kita adalah mencari suatu selang [a,b] sedemikian hingga f(a)f(b) < 0. Selang yang memenuhi ini misalnya [0,1]. Jadi a = 0 dan b = 1. (Perhatikan bahwa f(0) < 0 dan f(1) > 0, sehingga f(0).f(1) < 0.] Karena f kontinu di [0,1], Teorema Nilai Antara menjamin bahwa ada suatu c ∊ (0,1) sedemikian hingga f(c) = 0. Jadi, pasti ada suatu akar persamaan tersebut yang letaknya di antara 0 dan 1. Untuk “mendekati” akar tersebut, kita coba persempit selang sebelumya. Salah satu yang bisa dilakukan adalah dengan mencari titik tengah selang tersebut. Kita hitung titik tengah dari [0,1], yaitu
. Hitunglah f(0,5), diperoleh f(0,5) = -0,375 < 0. Bentuklah selang tertutup yang baru (yang lebih sempit), yaitu [a1,b1] dengan a1 = 0,5 dan b1 = 1. [Perhatikan bahwa f(a1) memiliki tanda aljabar dengan f(a) dan f(b1) memiliki tanda aljabar yang sama dengan f(b).] Menurut Teorema Nilai Antara, akar persamaan tersebut ada pada selang (a1,b1). Untuk lebih mendekati akar sebenarnya, kita cari lagi titik tengah dari selang tertutup ini, yaitu: 
. Hitunglah f(0,75), diperoleh f(0,75) = -0,0156 < 0. Bentuklah selang tertutup yang baru (yang lebih sempit), yaitu [a2,b2] dengan a2 = 0,75 dan b1 = 1. [Perhatikan bahwa f(a2) memiliki tanda aljabar dengan f(a1) dan f(b2) memiliki tanda aljabar yang sama dengan f(b1).] Menurut Teorema Nilai Antara, akar persamaan tersebut ada pada selang (a2,b2). Untuk lebih mendekati akar sebenarnya, kita cari lagi titik tengah dari selang tertutup ini, yaitu: 
. Hitunglah f(0,875), diperoleh f(0,875) = 0,4355 > 0. Bentuklah selang tertutup yang baru (yang lebih sempit), yaitu [a3,b3] dengan a3 = 0,75 dan b3 = 0,875. [Perhatikan bahwa f(a3) memiliki tanda aljabar dengan f(a2) dan f(b3) memiliki tanda aljabar yang sama dengan f(b2).] Menurut Teorema Nilai Antara, akar persamaan tersebut ada pada selang (a3,b3). Untuk lebih mendekati akar sebenarnya, kita cari lagi titik tengah dari selang tertutup ini, yaitu: 
, demikian seterusnya. Rangkaian proses ini dapat diringkaskan pada tabel berikut.
Pada contoh ini, proses kita hentikan hingga bi – ai < 0,05. Dalam hal ini, b5 – a5 < 0,05. Karena M6 ∊ (a5,b5), selisih M6 dengan akar sebenarnya dapat dipastikan kurang dari 0,05. Jadi, pendekatan bagi akar persamaan x3 + x – 1 = 0 adalah x = 0,7656.
Catatan:
Teknik “bagi dua” sebagaimana dicontohkan di atas, dalam literatur-literatur metode numerik biasa dinamakan bisection method.
Lihat juga materi lain yang berhubungan dengan kekontinuan fungsi:
Kekontinuan fungsi dan keberadaan nilai ekstrim fungsi
Terima kasih atas kunjungan Anda ke website ini. Untuk kepuasan Anda, Anda dapat mengajukan permintaan materi untuk dimuat di edscyclopedia.com. Kirim permintaan tersebut melalui e-mail ke sondakh.edu@google.com.
Bagikan ini:
Most visitors also read :
BERKENALAN DENGAN NILAI DAN VEKTOR EIGEN
DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SINGULAR VALUE DECOMPOSITION)
MATRIKS AKAR KUADRAT
SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA