KEKONTINUAN FUNGSI
(English version of this article is available at edsmathscholar.com, click here.)
Salah satu topik yang berkaitan dengan konsep limit fungsi adalah kekontinuan fungsi atau kontinuitas fungsi. Suatu fungsi dapat kontinu atau tidak kontinu di suatu titik.
Definisi
Misalkan f adalah suatu fungsi riil. f dikatakan kontinu di x = c apabila:
Catatan:
Fungsi riil adalah fungsi dengan daerah asal maupun daerah nilainya merupakan himpunan bagian dari ℝ.
Persyaratan
pada definisi di atas, teknis pembuktiannya mencakup tiga hal, yaitu
Pertama, limit tersebut ada. Artinya:
Kedua, f(c) terdefinisi
Ketiga,
Apabila ada di antara ketiga hal ini yang tidak dipenuhi, maka kita simpulkan f tidak kontinu (=diskontinu) di x = c.
Contoh 1
Misalkan f suatu fungsi dari ℝ ke ℝ dengan aturan fungsi sebagai berikut.
Apakah f kontinu di x = 3?
Jawab:
Langkah 1: Memeriksa eksistensi limit fungsi di x = 3
Limit kiri:
Limit kanan:
Ternyata nilai limit kirinya sama dengan limit kanannya, yaitu 4.
Kita simpulkan
dan
Langkah 2: Memeriksa apakah f terdefinisi di x = 3
Dari pendefinisian f, f(3) terdefinisi, yaitu f(3) = 2
Langkah 3: Memeriksa kesamaan nilai limit fungsi dengan nilai fungsinya
Dari langkah-langkah sebelumnya diperoleh bahwa
Kesimpulan: f tidak kontinu (atau diskontinu) di x = 3. Situasi pada contoh ini dapat dilihat pada Gambar 1.
Gambar 1
Catatan:
Diskontinuitas di x = 3 pada Contoh 1 dinamakan ketidakkontinuan yang dapat dihapuskan. Dengan mendefinisikan kembali nilai f di x = 3, fungsi tersebut menjadi kontinu. Jadi, agar f kontinu di x = 3, kita definisikan f(3) = 4.
Contoh 2
Misalkan g suatu fungsi dari ℝ ke ℝ dengan aturan fungsi sebagai berikut.
Apakah g kontinu di x = 0?
Jawab:
Langkah 1: Memeriksa eksistensi limit fungsi di x = 0
Limit kiri:
Limit kanan:
Ternyata nilai limit kirinya tidak sama dengan limit kanannya, sehingga kita simpulkan:
tidak ada. Pada langkah ini juga, langsung simpulkan g tidak kontinu di x = 0. Situasi pada contoh ini dapat dilihat pada Gambar 2.
Gambar 2
Catatan:
Diskontinuitas di x = 0 pada Contoh 2 dinamakan ketidakkontinuan yang dapat tak terhapuskan. Kita tidak dapat mendefinisikan kembali nilai g di x = 0 untuk membuat g kontinu di sana.
Contoh 3
Misalkan h suatu fungsi dari ℝ ke ℝ dengan aturan fungsi sebagai berikut.
Apakah h kontinu di x = 0?
Jawab:
Salah satu syarat agar h kontinu di x = 0 adalah h terdefinisi di x = 0. Namun pada contoh ini h(0) tidak terdefinisi. Jadi h tidak kontinu di x = 0. Situasi pada contoh ini dapat dilihat pada Gambar 3.
Gambar 3
Contoh 4
Misalkan k suatu fungsi dari ℝ ke ℝ dengan aturan fungsi sebagai berikut.
Apakah k kontinu di x = -1?
Jawab:
Langkah 1: Memeriksa eksistensi limit fungsi di x = -1
Limit kiri:
Limit kanan:
Karena limit kiri sama dengan limit kanan, kita simpulkan:
dan
Langkah 2: Memeriksa apakah k terdefinisi di x = -1
Jadi, k terdefinisi di x = -1.
Langkah 3: Memeriksa kesamaan nilai limit fungsi dengan nilai fungsinya
Dari kedua langkah sebelumnya, diperoleh bahwa:
Dengan melakukan tiga langkah tadi, ternyata ketiga syarat kontinuitas fungsi di suatu titik dipenuhi. Jadi, kita simpulkan k kontinu di x = -1. Situasi pada contoh ini dapat dilihat pada Gambar 4.
Gambar 4
Pada Gambar 4, tampak bahwa pada grafik fungsi kontinu tidak terdapat “lompatan” seperti grafik g (Gambar 2) atau grafik f (Gambar 1), tidak terdapat bagian yang “terputus” seperti grafik f (Gambar 1) atau grafik h (Gambar 3). Grafik fungsi k tampak “bersambung/berkesinambungan” tanpa ada celah atau lompatan. Definisi yang diberikan di bagian awal post ini merupakan perumusan formal matematis untuk menerangkan pengertian kesinambungan ini.
Lihat juga materi yang ada kaitannya dengan kekontinuan berikut ini:
Penerapan Teorema Nilai Rata-Rata dalam Penaksiran
Mencari akar persamaan menggunakan kekontinuan fungsi
Kekontinuan fungsi dan keberadaan nilai ekstrim fungsi
Tagging: diskontinuitas, fungsi kontinu, kekontinuan fungsi, kontinuitas fungsi
Terimaksaih atas ilmunya, izin print 😀