Di post saya yang lalu mengenai garis polar telah diuraikan rumus persamaan garis polar untuk lingkaran dengan persamaan (x – α)2 + (y – β)2 = R2 dan titik polar (x1,y1), yaitu:
(x1 – α)(x – α) + (y1 – β)(y – β) = R2
Berikut akan diuraikan contoh penerapan rumus tersebut.
Contoh 1
Suatu lingkaran berpusat di (-1,3) dan berjari-jari 2. Tentukan persamaan garis polar apabila titik polarnya berkoordinat (-4,4).
Jawab:
Persamaan lingkaran yang berpusat di (-1,3) dan berjari-jari 2 adalah:
(x + 1)2 + (y – 3)2 = 22
⇔ (x + 1)2 + (y – 3)2 = 4
Dalam contoh ini diperoleh: α = -1, β = 3, x1 = -4, dan y1 = 4.
Penerapan rumus persamaan garis polar di atas menghasilkan:
(-4 – (-1))(x – (-1)) + (4 – 3)(y – 3) = 22
-3(x + 1) + (y – 3) = 4
-3x + y = 10
y = 3x + 10 [Inilah persamaan garis polar yang ditanyakan.]
(Lihat Gambar 1)
Gambar 1
Sekarang bagaimana apabila persamaan lingkaran tersebut dalam bentuk x2 + y2 + Ax + By + C = 0 dan titik polarnya berkoordinat (x1,y1)? Bagaimana persamaan garis polarnya?
Contoh 2
Diketahui lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + 2x – 6y + 6 = 0. Tentukan persamaan garis polar apabila titik polarnya berkoordinat (-4,4).
Jawab:
Pada contoh ini, A = 2, B = -6, C = 6, x1 = -4, dan y1 = 4.
Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus (*) , diperoleh:
Dengan menyederhanakan persamaan tersebut, diperoleh y = 3x + 10. [Bandingkan dengan hasil pada Contoh 1.]
Bagaimana apabila kita menggunakan (*) sedangkan (x1,y1) merupakan koordinat suatu titik yang terletak pada lingkaran? Hasil substitusi x1 dan y1 ke dalam (*) dalam kasus ini akan menghasilkan persamaan garis singgung di titik tersebut.
Contoh 3
Diketahui lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 4x – 6y + 8 = 0. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut yang melalui titik yang berkoordinat (3,5).
Jawab:
Dengan mensubstitusikan x = 3 dan y = 5 ke dalam persamaan lingkaran tersebut, dapat disimpulkan bahwa titik berkoordinat (3,5) terletak pada lingkaran, sehingga kita boleh menggunakan (*) untuk menentukan persamaan garis singgung di titik tersebut. Substitusika x1 = 3, y1 = 5, A = -4, B = -6, dan C = 8 ke dalam (*), diperoleh:
Dengan menyederhanakan hasil tersebut, diperoleh persamaan garis singgung x + 2y = 13. (Lihat Gambar 2.)
Gambar 2
Contoh 4
Diketahui lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = 36. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut, yang dapat ditarik melalui titik K(8,0).
Jawab:
[Karena post ini mengenai garis polar, penyelesaian soal ini menggunakan garis polar. Sebenarnya ini bisa diselesaikan tanpa menggunakan garis polar.]
Persamaan lingkaran tersebut dapat dinyatakan sebagai x2 + y2 – 36 = 0
Pada contoh ini, A = B = 0, C = – 36, x1 = 8, y1 = 0. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam (*), diperoleh persamaan garis polar: 8x – 36 = 0 ⇔ x = 4½. Pada Gambar 3, garis polar ini diberi warna merah. Untuk memperoleh titik-titik singgung garis pada lingkaran, substitusikan x = 4½ ke dalam persamaan lingkaran, akan diperoleh nilai y = ± 1½√7. Jadi, koordinat titik-titik singgung pada lingkaran tersebut yang melalui K adalah (4½,1½√7) dan (4½,-1½√7).
Gambar 3
Dengan menggunakan rumus yang telah diuraikan pada post saya yang lain, yaitu rumus:
dapat diperoleh persamaan garis-garis singgung (g1 dan g2 pada Gambar 3) yang ditanyakan, yaitu:
GARIS POLAR PADA LINGKARAN (2)
Di post saya yang lalu mengenai garis polar telah diuraikan rumus persamaan garis polar untuk lingkaran dengan persamaan (x – α)2 + (y – β)2 = R2 dan titik polar (x1,y1), yaitu:
(x1 – α)(x – α) + (y1 – β)(y – β) = R2
Berikut akan diuraikan contoh penerapan rumus tersebut.
Contoh 1
Suatu lingkaran berpusat di (-1,3) dan berjari-jari 2. Tentukan persamaan garis polar apabila titik polarnya berkoordinat (-4,4).
Jawab:
Persamaan lingkaran yang berpusat di (-1,3) dan berjari-jari 2 adalah:
(x + 1)2 + (y – 3)2 = 22
⇔ (x + 1)2 + (y – 3)2 = 4
Dalam contoh ini diperoleh: α = -1, β = 3, x1 = -4, dan y1 = 4.
Penerapan rumus persamaan garis polar di atas menghasilkan:
(-4 – (-1))(x – (-1)) + (4 – 3)(y – 3) = 22
-3(x + 1) + (y – 3) = 4
-3x + y = 10
y = 3x + 10 [Inilah persamaan garis polar yang ditanyakan.]
(Lihat Gambar 1)
Gambar 1
Sekarang bagaimana apabila persamaan lingkaran tersebut dalam bentuk x2 + y2 + Ax + By + C = 0 dan titik polarnya berkoordinat (x1,y1)? Bagaimana persamaan garis polarnya?
Contoh 2
Diketahui lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + 2x – 6y + 6 = 0. Tentukan persamaan garis polar apabila titik polarnya berkoordinat (-4,4).
Jawab:
Pada contoh ini, A = 2, B = -6, C = 6, x1 = -4, dan y1 = 4.
Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus (*) , diperoleh:
Dengan menyederhanakan persamaan tersebut, diperoleh y = 3x + 10. [Bandingkan dengan hasil pada Contoh 1.]
Bagaimana apabila kita menggunakan (*) sedangkan (x1,y1) merupakan koordinat suatu titik yang terletak pada lingkaran? Hasil substitusi x1 dan y1 ke dalam (*) dalam kasus ini akan menghasilkan persamaan garis singgung di titik tersebut.
Contoh 3
Diketahui lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 4x – 6y + 8 = 0. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut yang melalui titik yang berkoordinat (3,5).
Jawab:
Dengan mensubstitusikan x = 3 dan y = 5 ke dalam persamaan lingkaran tersebut, dapat disimpulkan bahwa titik berkoordinat (3,5) terletak pada lingkaran, sehingga kita boleh menggunakan (*) untuk menentukan persamaan garis singgung di titik tersebut. Substitusika x1 = 3, y1 = 5, A = -4, B = -6, dan C = 8 ke dalam (*), diperoleh:
Dengan menyederhanakan hasil tersebut, diperoleh persamaan garis singgung x + 2y = 13. (Lihat Gambar 2.)
Gambar 2
Contoh 4
Diketahui lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = 36. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut, yang dapat ditarik melalui titik K(8,0).
Jawab:
[Karena post ini mengenai garis polar, penyelesaian soal ini menggunakan garis polar. Sebenarnya ini bisa diselesaikan tanpa menggunakan garis polar.]
Persamaan lingkaran tersebut dapat dinyatakan sebagai x2 + y2 – 36 = 0
Pada contoh ini, A = B = 0, C = – 36, x1 = 8, y1 = 0. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam (*), diperoleh persamaan garis polar: 8x – 36 = 0 ⇔ x = 4½. Pada Gambar 3, garis polar ini diberi warna merah. Untuk memperoleh titik-titik singgung garis pada lingkaran, substitusikan x = 4½ ke dalam persamaan lingkaran, akan diperoleh nilai y = ± 1½√7. Jadi, koordinat titik-titik singgung pada lingkaran tersebut yang melalui K adalah (4½,1½√7) dan (4½,-1½√7).
Gambar 3
Dengan menggunakan rumus yang telah diuraikan pada post saya yang lain, yaitu rumus:
dapat diperoleh persamaan garis-garis singgung (g1 dan g2 pada Gambar 3) yang ditanyakan, yaitu:
Bagikan ini:
Most visitors also read :
BERKENALAN DENGAN NILAI DAN VEKTOR EIGEN
DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SINGULAR VALUE DECOMPOSITION)
MATRIKS AKAR KUADRAT
SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA