Jika kita melepaskan sebuah benda dari suatu ketinggian (misalnya 20 meter di atas tanah), maka benda tersebut akan mengalami jatuh bebas dan ketinggian benda itu semakin berkurang. Ketinggian benda tersebut setiap 0,2 detik sejak dilepaskan dapat dlihat pada tabel berikut.
Pada tabel tersebut, t merupakan selang waktu (dalam satuan detik) sejak benda dilepaskan dari ketinggian 20 meter. Benda dilepaskan pada saat t = 0 detik dan pada saat itu ketinggiannya 20 meter. h(t), dalam satuan meter, menyatakan ketinggian benda pada saat t detik setelah benda dilepaskan. Perhatikan bahwa pada saat t = 2,0 detik ketinggian benda adalah 0,0 meter; ini berarti bahwa pada saat 2,0 detik sejak benda dilepaskan, benda tiba di tanah.
Grafik ketinggian (h) terhadap waktu (t) dapat dilihat pada gambar berikut.
Gambar 1
Kurva pada Gambar 1 merupakan suatu parabola. Secara umum, parabola memiliki persamaan:
y = ax2 + bx + c
dengan a ≠ 0.
Misalkan f suatu fungsi dari ℝ ke ℝ. Jika f memetakan setiap x ∊ ℝ ke f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, c merupakan konstanta dan a ≠ 0 maka f dinamakan fungsi kuadrat. Grafik dari suatu fungsi kuadrat merupakan suatu parabola.
Parabola dengan persamaan y = ax2 + bx + c ; a ≠ 0 memiliki ciri-ciri sebagai berikut.
[Sifat 1] Jika a > 0 maka parabola membuka ke atas (cekung ke atas) dan jika a < 0 maka parabola membuka ke bawah.
Gambar 2
[Sifat 2] Parabola memotong sumbu y di (0,c).
Gambar 3
[Sifat 3]Dalam hal titik potong dengan sumbu x, terdapat tiga kemungkinan, tergantung dari nilai diskriminan (D). D = b2 – 4ac.
D < 0 ⇔ parabola tidak memotong sumbu x
Gambar 4
D = 0 ⇔ parabola menyinggung sumbu x (= memotong sumbu x di satu titik)
Gambar 5
D > 0 ⇔ parabola memotong sumbu x di dua titik yang berlainan
Gambar 6
Untuk mencari koordinat titik potong parabola dengan sumbu x, carilah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0.Akar-akar tersebut merupakan absis dari koordinat titik potong parabola dengan sumbu x. Jika D = 0 persamaan itu memiliki hanya sebuah akar sehingga hanya ada satu buah titik potong dengan sumbu x. Jika D > 0 persamaan itu memiliki dua akar berlainan sehingga terdapat dua buah titik potong dengan sumbu x. Jika D < 0 maka persamaan itu tidak memiliki akar sehingga parabola tidak memotong sumbu x.
[Sifat 4]Parabola memiliki sumbu simetri dengan persamaan [pmath]x ~=~ – ~ b/{2a}[/pmath].
Gambar 7
[Sifat 5] Parabola memiliki sebuah titik balik. Ada dua jenis titik balik. Jika a > 0 titik balik tersebut merupakan titik balik minimum dan jika a < 0 titik balik tersebut merupakan titik balik maksimum. Titik ini disebut juga titik ekstrim. Pada Gambar 8, titik P(xE,yE) merupakan titik ekstrim.
Selanjutnya, yE dinamakan nilai ekstrim dari f. Terdapat dua jenis nilai ekstrim, yaitu nilai minimumdan nilai maksimum. Jika a > 0 maka yE merupakan nilai sekecil-kecilnya yang dapat diraih f(x), yaitu nilai minimum f(x). Jika a < 0 maka yE merupakan nilai sebesar-besarnya yang dapat diraih f(x), yaitu nilai maksimum f(x).
Gambar 8
Contoh
Misalkan f suatu fungsi kuadrat dengan f(x) = ½x2 – x – 4. Tentukan koordinat titik potong grafik f dengan kedua sumbu. Tentukan koordinat titik balik dan jenis titik balik tersebut. Berapakah nilai ekstrim fungsi tersebut? Tentukan jenis nilai ekstrim tersebut.
Jawab
Pada kasus ini, a = ½, b = -1, dan c = -4. Karena c = -4, koordinat titik potong dengan sumbu y adalah (0,-4) [Sifat 2]. Untuk menentukan koordinat titik potong dengan sumbu x, kita selesaikan persamaan kuadrat ½x2 – x – 4 = 0. Kalikan kedua ruas persamaan itu dengan 2, diperoleh:
x2 – 2x – 8 = 0
⇔ (x + 2)(x – 4) = 0
⇔ x = -2 atau x = 4
Persamaan tersebut memberikan dua buah akar, yaitu x1 = -2 dan x2 = 4. Jadi, koordinat titik potong parabola dengan sumbu x adalah (-2,0) dan (4,0). Untuk mencari koordinat titik balik, kita dapat menggunakan rumus-rumus pada [Sifat 5] di atas.
Jadi, koordinat titik balik parabola itu adalah (1,-4½). Karena a > 0 (parabola membuka ke atas) titik balik tersebut merupakan titik balik minimum. Nilai ekstrim fungsi itu adalah -4½. Karena a > 0, nilai ekstrim ini merupakan nilai minimum. Grafik f pada contoh ini digambarkan sebagai berikut.
Gambar 9
Mengenai bagaimana cara menggambar parabola, dapat dipelajari pada tautan berikut: Teknik Menggambar Parabola
FUNGSI KUADRAT
Jika kita melepaskan sebuah benda dari suatu ketinggian (misalnya 20 meter di atas tanah), maka benda tersebut akan mengalami jatuh bebas dan ketinggian benda itu semakin berkurang. Ketinggian benda tersebut setiap 0,2 detik sejak dilepaskan dapat dlihat pada tabel berikut.
Pada tabel tersebut, t merupakan selang waktu (dalam satuan detik) sejak benda dilepaskan dari ketinggian 20 meter. Benda dilepaskan pada saat t = 0 detik dan pada saat itu ketinggiannya 20 meter. h(t), dalam satuan meter, menyatakan ketinggian benda pada saat t detik setelah benda dilepaskan. Perhatikan bahwa pada saat t = 2,0 detik ketinggian benda adalah 0,0 meter; ini berarti bahwa pada saat 2,0 detik sejak benda dilepaskan, benda tiba di tanah.
Grafik ketinggian (h) terhadap waktu (t) dapat dilihat pada gambar berikut.
Gambar 1
Kurva pada Gambar 1 merupakan suatu parabola. Secara umum, parabola memiliki persamaan:
y = ax2 + bx + c
dengan a ≠ 0.
Misalkan f suatu fungsi dari ℝ ke ℝ. Jika f memetakan setiap x ∊ ℝ ke f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, c merupakan konstanta dan a ≠ 0 maka f dinamakan fungsi kuadrat. Grafik dari suatu fungsi kuadrat merupakan suatu parabola.
Parabola dengan persamaan y = ax2 + bx + c ; a ≠ 0 memiliki ciri-ciri sebagai berikut.
Gambar 2
Gambar 3
D < 0 ⇔ parabola tidak memotong sumbu x
Gambar 4
D = 0 ⇔ parabola menyinggung sumbu x (= memotong sumbu x di satu titik)
Gambar 5
D > 0 ⇔ parabola memotong sumbu x di dua titik yang berlainan
Gambar 6
Untuk mencari koordinat titik potong parabola dengan sumbu x, carilah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Akar-akar tersebut merupakan absis dari koordinat titik potong parabola dengan sumbu x. Jika D = 0 persamaan itu memiliki hanya sebuah akar sehingga hanya ada satu buah titik potong dengan sumbu x. Jika D > 0 persamaan itu memiliki dua akar berlainan sehingga terdapat dua buah titik potong dengan sumbu x. Jika D < 0 maka persamaan itu tidak memiliki akar sehingga parabola tidak memotong sumbu x.
Gambar 7
Selanjutnya, yE dinamakan nilai ekstrim dari f. Terdapat dua jenis nilai ekstrim, yaitu nilai minimum dan nilai maksimum. Jika a > 0 maka yE merupakan nilai sekecil-kecilnya yang dapat diraih f(x), yaitu nilai minimum f(x). Jika a < 0 maka yE merupakan nilai sebesar-besarnya yang dapat diraih f(x), yaitu nilai maksimum f(x).
Gambar 8
Contoh
Misalkan f suatu fungsi kuadrat dengan f(x) = ½x2 – x – 4. Tentukan koordinat titik potong grafik f dengan kedua sumbu. Tentukan koordinat titik balik dan jenis titik balik tersebut. Berapakah nilai ekstrim fungsi tersebut? Tentukan jenis nilai ekstrim tersebut.
Jawab
Pada kasus ini, a = ½, b = -1, dan c = -4. Karena c = -4, koordinat titik potong dengan sumbu y adalah (0,-4) [Sifat 2]. Untuk menentukan koordinat titik potong dengan sumbu x, kita selesaikan persamaan kuadrat ½x2 – x – 4 = 0. Kalikan kedua ruas persamaan itu dengan 2, diperoleh:
x2 – 2x – 8 = 0
⇔ (x + 2)(x – 4) = 0
⇔ x = -2 atau x = 4
Persamaan tersebut memberikan dua buah akar, yaitu x1 = -2 dan x2 = 4. Jadi, koordinat titik potong parabola dengan sumbu x adalah (-2,0) dan (4,0). Untuk mencari koordinat titik balik, kita dapat menggunakan rumus-rumus pada [Sifat 5] di atas.
Jadi, koordinat titik balik parabola itu adalah (1,-4½). Karena a > 0 (parabola membuka ke atas) titik balik tersebut merupakan titik balik minimum. Nilai ekstrim fungsi itu adalah -4½. Karena a > 0, nilai ekstrim ini merupakan nilai minimum. Grafik f pada contoh ini digambarkan sebagai berikut.
Gambar 9
Mengenai bagaimana cara menggambar parabola, dapat dipelajari pada tautan berikut: Teknik Menggambar Parabola
LATIHAN SOAL:
Menentukan Nilai Ekstrim Fungsi Kuadrat
Bagikan ini:
Most visitors also read :
BERKENALAN DENGAN NILAI DAN VEKTOR EIGEN
DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SINGULAR VALUE DECOMPOSITION)
MATRIKS AKAR KUADRAT
SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA