BERKENALAN DENGAN INTEGRAL RIEMANN

Juni 17th, 2016

 riemann

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) adalah seorang bangsa Jerman adalah salah seorang jenius matematika lain yang, walaupun usia hidupnya tergolong singkat, banyak memberikan kontribusi di bidang kalkulus, teori bilangan, dan geometri diferensial. Kali ini saya akan memperkenalkan salah satu karta Riemann di bidang kalkulus, yaitu integral Riemann.

 

Sewaktu di Sekolah Dasar, kita diajari oleh guru kita bahwa luas lingkaran adalah L = πr2 dengan r adalah jari-jari lingkaran tersebut dan π adalah suatu tetapan yang apabila dibulatkan sampai dua tempat desimal bernilai 3,14. Luas tersebut merupakan luas suatu bidang datar yang dibatasi oleh suatu lengkungan. Sekarang, bagaimana caranya menghitung bidang datar lain yang dibatasi lengkungan juga?

 

Perhatikan contoh berikut. Diketahui suatu kurva dengan persamaan y = 4 – x2. Berapakah luas daerah yang terletak di bawah kurva tersebut, di atas sumbu x, dan dibatasi sumbu y dan garis x = 4? Luas daerah yang dimaksud adalah area berwarna biru pada Gambar 1 di bawah ini.

 

Parabola

Gambar 1

Salah satu pendekatan yang mungkin dibuat adalah dengan membuat sayatan-sayatan persegi panjang di dalam bidang yang akan dihitung luasnya, digambarkan sebagai berikut.

Parabola_5

Gambar 2

Misalkan bidang berwarna biru tadi digambarkan di selembar kertas. Kemudian, dengan menggunakan kertas berwarna merah, kita buat 4 buah persegi panjang yang lebarnya masing-masing adalah 0,4 satuan dan tinggi setiap persegi panjang tersebut dibuat sedemikian hingga sudut kanan atas persegi panjang terletak pada kurva y = 4 – x2 seperti pada Gambar 2 di atas. Panjang masing-masing persegi panjang tersebut dapat dihitung dan disajikan pada tabel berikut.

 

Tabel 1

x y = 4 – x2

(panjang)

 Lebar Luas
0,4 3,84 0,4 1,536
0,8 3,36 0,4 1,344
1,2 2,56 0,4 1,024
1,6 1,44 0,4 0,576
2,0 0,00 0,4 0,000 *)
Jumlah 4,480

 

*) tidak menghasilkan suatu persegi panjang, namun ditampilkan dalam hubungannya dengan pembahasan selanjutnya mengenai partisi

 

Tabel 1 menyajikan panjang, lebar, dan luas masing-masing persegi panjang. Apabila keempat persegi panjang itu kita tempatkan/pasangkan/tempelkan di daerah biru seperti pada Gambar 2, maka akan terlihat bahwa keempat persegi panjang merah menyisakan daerah biru yang tidak tertutupi. Ini menandakan bahwa sebenarnya luas total semua persegi panjang, yaitu 4,480 (lihat Tabel 1), sebenarnya kurang dari luas daerah biru, yaitu luas yang dipersoalkan.

 

Bagaimana caranya agar, dengan metode serupa ini, semakin sedikit daerah biru yang tidak tertutupi? Ini dapat dilakukan dengan membuat irisan persegi panjang yang lebih tipis-tipis lagi. Sekarang kita buat 9 buah persegi panjang kuning yang lebarnya masing-masing adalah 0,2 satuan. Panjangnya masing-masing dapat dilihat pada Tabel 2.

 

Tabel 2

x y = 4 – x2

(panjang)

 Lebar Luas
0,2 3,96 0,2 0,792
0,4 3,84 0,2 0,768
0,6 3,64 0,2 0,728
0,8 3,36 0,2 0,672
1,0 3,00 0,2 0,600
1,2 2,56 0,2 0,512
1,4 2,04 0,2 0,408
1,6 1,44 0,2 0,288
1,8 0,76 0,2 0,152
2,0 0,00 0,2 0,000 *)
Jumlah 4,920

 

*) tidak menghasilkan suatu persegi panjang, namun ditampilkan dalam hubungannya dengan pembahasan selanjutnya mengenai partisi

 

Kesembilan persegi panjang kuning tersebut kemudian dipasangkan/ditempelkan pada daerah berwarna biru dengan cara seperti yang dapat dilihat pada Gambar 3 berikut ini.

Parabola_10

Gambar 3

Tampak bahwa dengan sembilan persegi panjang kuning ini, semakin sedikit daerah biru yang tersisa. Ini menandakan total luas daerah kuning, yaitu 4,920 (lihat Tabel 2), semakin mendekati lagi luas daerah yang ditanyakan.

 

Untuk mempersedikit lagi sisa daerah berwarna biru, tentunya kita dapat melakukan proses serupa, yaitu dengan memperkecil lebar persegi panjang (membuat irisan-irisan yang lebih tipis) atau dengan memperbanyak persegi panjang.

 

Pada percobaan pertama, kita membagi selang tutup [0,2] menjadi 5 selang yang lebarnya sama, yaitu 2/5 = 0,4 satuan, yang merupakan lebar masing-masing persegi panjang merah. Di percobaan kedua kita membagi selang tersebut menjadi 10 selang yang lebarnya sama, yaitu 2/10 = 0,2 satuan, yang merupakan lebar masing-masing persegi panjang kuning. Sekarang, misalkan [0,2] dibagi menjadi n buah selang yang lebarnya sama, yaitu 2/n. Akibatnya, panjang persegi panjang ke-i adalah 4-(\frac{2i}{n})^2 dan luas masing-masing persegi panjang adalah L_i=\frac{2}{n} [ 4 - (\frac{2i}{n})^2 ] = \frac{8}{n} - \frac{8i^2}{n^3} dan total luas (n – 1) buah persegi panjang tersebut adalah:

S_n=\sum_{i=1}^{n} L_i = 8 - \frac{8}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2

Karena \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(2n+1)(n+1)}{6}, Sn dapat dinyatakan sebagai berikut:

S_n=8 - \frac{4(2n+1)(n+1)}{3n^2}

Apabila n semakin besar (irisan persegi panjang semakin tipis), total luas semua persegi panjang tersebut adalah:

Sn_JR

Nilai L inilah yang merupakan luas daerah yang ditanyakan.

 

Pada pembahasan di atas, Sn merupakan suatu jumlah Riemann (Riemann sum). Apabila \lim_{n \to \infty}S_n konvergen ke suatu nilai L ∊ ℝ, L tersebut dinamakan integral Riemann, yang biasa dinyatakan dengan lambang integral (∫). Pada contoh ini, limit tersebut konvergen ke 16/3, dan dapat kita tulis \int_{0}^{2} (4-x^2) \: dx = \frac{16}{3}.

 

Definisi jumlah Riemann:

Def_JR

 

Pada contoh yang disajikan ini (dengan 9 buah persegi panjang), selang yang yang dimaksud adalah [0,2] dan partisinya adalah P = {x0, x1, x2, …, x10}, dengan x0 = 0, x1 = 0,2, x2 = 0,4, x3 = 0,6, … x10 = 2. Himpunan titik sampelnya adalah {x1, x2, x3, …, x10}, dan jumlah Riemann yang dihasilkan dari partisi dan titik-titik sampel ini adalah RP = 4,920.

 

Definisi Integral Riemann

Def_IR

 

Catatan:

‖P‖ adalah norma partisi P, yaitu lebar selang yang terbesar yang dibentuk partisi P. (Pada contoh dengan 4 persegi panjang, normanya adalah 0,4 sedangkan pada contoh dengan 9 persegi panjang, normanya adalah 0,2.) Apabila dengan semakin mengecilnya norma ternyata jumlah Riemann konvergen/menuju ke suatu nilai tertentu, dikatakanlah fungsi tersebut terintegralkan secara Riemann dan nilai yang dituju tersebut dilambangkan dengan \int_{a}^{b} f(x) \: dx . Nilai tersebut dinamakan integral Riemann atau integral tentu fungsi f dari a ke b. Dalam contoh ini, f terintegralkan secara Riemann di [0,2] dan limit jumlah Riemann-nya konvergen ke \int_{0}^{2}(4-x^2) \: dx = \frac{16}{3}.

 

Apabila Anda ingin mendalami mengenai integral Riemann dan hal-hal lainnya yang berkaitan dengan integral Riemann, Anda dapat merujuk pada tautan-tautan berikut ini:

(tautan belum tersedia)

 

Tagging: , , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan.