BANYAKNYA PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER (1)
April 30th, 2017
Sekilas tampaknya topik ini terlalu sepele untuk dibahas. Bisa ya, bisa juga tidak. Ini tergantung dari seberapa dalam kita ingin menggali pengetahuan tentang ini. Tapi sebagian pelajar atau mahasiswa sebenarnya masih “salah kaprah” atau “termakan mitos-mitos” apabila berhadapan dengan topik ini. Sebagai contoh, Andi sedang berusaha menyelesaikan suatu sistem persamaan linier sebagai berikut.
Karena merasa kesulitan, ia bertanya kepada Budi, “Bud, bagaimana penyelesaian untuk sistem persamaan ini?”. Setelah melihat soal yang dihadapi, Budi menjawab, “Oh … sistem persamaan itu tidak mungkin ada penyelesaiannya. ‘Kan variabelnya ada tiga tapi persamaannya cuma dua. Harusnya ada tiga persamaan tuh … baru ada penyelesaiannya.”
Sekarang, bagaimana jika kita substitusikan x = 5, y = -7, dan z = 1 ke dalam sistem persamaan itu. Bukankah jawaban tersebut memenuhi kedua persamaan itu? Jadi, x = 5, y = -7, dan z = 1 merupakan jawaban bagi sistem persamaan itu. Selain itu, bagaimana apabila x = 9, y = -11, dan z = 0? Ternyata x = 9, y = -11, dan z = 0 juga merupakan jawaban dari sistem persamaan itu. Budi salah! Ini menunjukkan Budi “gagal paham” mengenai sistem persamaan linier yang tampaknya sepele itu. Dengan post saya kali ini saya berharap kita memiliki pemahaman yang benar mengenai penyelesaian suatu persamaan linier.
Apakah persamaan linier itu?
Persamaan linier dengan n variabel x1, x2, x3, …, xn adalah persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk:
Apakah 2x – 8 = 10 merupakan persamaan linier? Ya. Dengan menambahkan 8 pada kedua ruas akan diperoleh 2x = 18. Ini merupakan persamaan linier dengan 1 variabel, yaitu variabel x.
Contoh 2
Apakah -7x + y = 10 – 6z merupakan persamaan linier? Ya. Dengan menambahkan 6z pada kedua ruas akan diperoleh -7x + y + 6z = 10. Dengan menganggap x = x1, y = x2, z = x3 persamaan tersebut ekivalen dengan -7x1 + x2 + 6x3 = 10, yang memiliki bentuk (*) dengan a1 = -7, a2 = 1, a3 = 6, dan b = 10.
Apakah penyelesaian persamaan linier itu?
Penyelesaian persamaan linier a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn = b adalah n buah bilangan s1, s2, s3, …, sn sedemikian hingga jika kita substitusikan x1 = s1, x2 = s2, x3 = s3, …, xn = sn ke dalam persamaan tersebut maka a1s1 + a2s2 + a3s3 + … + ansn = b merupakan pernyataan yang benar.
Contoh 3
x1 = 3, x2 = -1, dan x3 = 5 merupakan suatu penyelesaian persamaan x1 + 5x2 – 2x3 = -12 karena
3 + 5(-1) – 2.5 = -12 merupakan pernyataan yang benar. Selain itu, x1 = -10, x2 = 0, dan x3 = 1 juga merupakan penyelesaian persamaan tersebut, karena -10 + 5.0 – 2.1 = -12 merupakan pernyataan yang benar. Tetapi x1 = 5, x2 = -1, dan x3 = 7 bukan penyelesaian persamaan tersebut karena 5 + 5(-1) – 2.7 = -12 merupakan pernyataan yang salah.
Himpunan penyelesaian suatu persamaan linier adalah himpunan yang beranggotakan semua penyelesaian persamaan linier tersebut.
Contoh 4
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 4x1 – x2 = 8. Untuk mencari himpunan penyelesaian persamaan ini, kita berikan sembarang nilai ke salah satu di antara kedua variabel itu. Misalnya kita berikan nilai t untuk x2 (x2 = t). Substitusikan nilai ini ke dalam persamaan yang diketahui, diperoleh 4x1 – t = 8. Tambahkan t pada kedua ruas, diperoleh 4x1 = t + 8. Kalikan kedua ruas dengan ¼, diperoleh [pmath]x_{1} ~=~ t/4 ~+~ 2[/pmath]. Dengan demikian, anggota-anggota himpunan penyelesaian persamaan itu dapat dicirikan dengan:
[pmath]x_{1} ~=~ t/4 ~+~ 2[/pmath] dan x2 = t …………………………………………………………… (1)
Dengan mensubstitusikan sembarang t ∊ ℝ ke dalam (1) akan diperoleh penyelesaian-penyelesaian persamaan tersebut. Misalnya, jika t = 0 maka x1 = 2 dan x2 = 0. Dengan mensubstitusikan x1 = 2 dan x2 = 0 ke dalam persamaan yang diketahui, akan diperoleh pernyataan yang benar sehingga x1 = 2 dan x2 = 0 merupakan suatu penyelesaian dari persamaan tersebut. Jika t = 4 maka x1 = 3 dan x2 = 4. Dengan mensubstitusikan x1 = 3 dan x2 = 4 ke dalam persamaan yang diketahui, akan diperoleh pernyataan yang benar sehingga x1 = 3 dan x2 = 4 merupakan penyelesaian lain dari persamaan tersebut. Dapat dengan mudah dipahami bahwa ada tak berhingga banyaknya penyelesaian dari persamaan tersebut.
Sebagai alternatif, bisa juga kita misalkan x1 = t. Substitusikan nilai ini ke dalam persamaan yang diketahui, diperoleh 4t – x2 = 8. Tambahkan (x2 – 8) pada kedua ruas, diperoleh x2 = 4t – 8. Dengan demikian, anggota-anggota himpunan penyelesaian persamaan itu dapat dicirikan dengan:
x1= t dan x2 = 4t – 8 ……………………………………………………………. (2)
Dengan mensubstitusikan sembarang t ∊ ℝ ke dalam (2) akan diperoleh penyelesaian-penyelesaian persamaan tersebut. Misalnya, jika t = 1 maka x1 = 1 dan x2 = -4. Dengan mensubstitusikan x1 = 1 dan x2 = -4 ke dalam persamaan yang diketahui, akan diperoleh pernyataan yang benar sehingga x1 = 1 dan x2 = -4 merupakan suatu penyelesaian dari persamaan tersebut. Jika t = 2 maka x1 = 2 dan x2 = 0. Dengan mensubstitusikan x1 = 2 dan x2 = 0 ke dalam persamaan yang diketahui, akan diperoleh pernyataan yang benar sehingga x1 = 2 dan x2 = 0 merupakan penyelesaian lain dari persamaan tersebut. Demikian seterusnya. Persamaan ini memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian.
Contoh 5
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x1 – 5x2 + 2x3 = 1. Untuk mencari himpunan penyelesaian persamaan ini, kita berikan sembarang nilai ke dua di antara ketiga variabel itu. Misalkan saja, x2 = s dan x3 = t. Substitusikan kedua nilai ini ke dalam persamaan yang diketahui, diperoleh x1 – 5s + 2t = 1. Dari sini diperoleh x1 = 5s – 2t + 1. Dengan demikian, anggota-anggota himpunan penyelesaian persamaan itu dapat dicirikan dengan:
x1 = 5s – 2t + 1, x2 = s, dan x3 = t …………………………………………………… (3)
Dengan mensubstitusikan sembarang s, t ∊ ℝ ke dalam (3) akan diperoleh penyelesaian-penyelesaian persamaan tersebut. Misalnya, jika s = 0 dan t = 1 maka x1 = -1, x2 = 0, dan x3 = 1. Dengan mensubstitusikan x1 = -1, x2 = 0, dan x3 = 1 ke dalam persamaan yang diketahui, akan diperoleh pernyataan yang benar sehingga x1 = -1, x2 = 0, dan x3 = 1 merupakan suatu penyelesaian dari persamaan tersebut. Jika s = 2 dan t = 1 maka x1 = 9, x2 = 2, dan x3 = 1. Dengan mensubstitusikan x1 = 9, x2 = 2, dan x3 = 1 ke dalam persamaan yang diketahui, akan diperoleh pernyataan yang benar sehingga x1 = 9, x2 = 2, dan x3 = 1 merupakan suatu penyelesaian lainnya dari persamaan tersebut. Jelas persamaan ini pun memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian.
BANYAKNYA PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER (1)
Sekilas tampaknya topik ini terlalu sepele untuk dibahas. Bisa ya, bisa juga tidak. Ini tergantung dari seberapa dalam kita ingin menggali pengetahuan tentang ini. Tapi sebagian pelajar atau mahasiswa sebenarnya masih “salah kaprah” atau “termakan mitos-mitos” apabila berhadapan dengan topik ini. Sebagai contoh, Andi sedang berusaha menyelesaikan suatu sistem persamaan linier sebagai berikut.
[pmath]delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2x+y+4z=7} {x+y=-2}}}{ }[/pmath]
Karena merasa kesulitan, ia bertanya kepada Budi, “Bud, bagaimana penyelesaian untuk sistem persamaan ini?”. Setelah melihat soal yang dihadapi, Budi menjawab, “Oh … sistem persamaan itu tidak mungkin ada penyelesaiannya. ‘Kan variabelnya ada tiga tapi persamaannya cuma dua. Harusnya ada tiga persamaan tuh … baru ada penyelesaiannya.”
Sekarang, bagaimana jika kita substitusikan x = 5, y = -7, dan z = 1 ke dalam sistem persamaan itu. Bukankah jawaban tersebut memenuhi kedua persamaan itu? Jadi, x = 5, y = -7, dan z = 1 merupakan jawaban bagi sistem persamaan itu. Selain itu, bagaimana apabila x = 9, y = -11, dan z = 0? Ternyata x = 9, y = -11, dan z = 0 juga merupakan jawaban dari sistem persamaan itu. Budi salah! Ini menunjukkan Budi “gagal paham” mengenai sistem persamaan linier yang tampaknya sepele itu. Dengan post saya kali ini saya berharap kita memiliki pemahaman yang benar mengenai penyelesaian suatu persamaan linier.
Apakah persamaan linier itu?
Persamaan linier dengan n variabel x1, x2, x3, …, xn adalah persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn = b ………………………………………… (*)
dengan a1, a2, a3, …, an, b ∊ ℝ
Contoh 1
Apakah 2x – 8 = 10 merupakan persamaan linier? Ya. Dengan menambahkan 8 pada kedua ruas akan diperoleh 2x = 18. Ini merupakan persamaan linier dengan 1 variabel, yaitu variabel x.
Contoh 2
Apakah -7x + y = 10 – 6z merupakan persamaan linier? Ya. Dengan menambahkan 6z pada kedua ruas akan diperoleh -7x + y + 6z = 10. Dengan menganggap x = x1, y = x2, z = x3 persamaan tersebut ekivalen dengan -7x1 + x2 + 6x3 = 10, yang memiliki bentuk (*) dengan a1 = -7, a2 = 1, a3 = 6, dan b = 10.
Apakah penyelesaian persamaan linier itu?
Penyelesaian persamaan linier a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn = b adalah n buah bilangan s1, s2, s3, …, sn sedemikian hingga jika kita substitusikan x1 = s1, x2 = s2, x3 = s3, …, xn = sn ke dalam persamaan tersebut maka a1s1 + a2s2 + a3s3 + … + ansn = b merupakan pernyataan yang benar.
Contoh 3
x1 = 3, x2 = -1, dan x3 = 5 merupakan suatu penyelesaian persamaan x1 + 5x2 – 2x3 = -12 karena
3 + 5(-1) – 2.5 = -12 merupakan pernyataan yang benar. Selain itu, x1 = -10, x2 = 0, dan x3 = 1 juga merupakan penyelesaian persamaan tersebut, karena -10 + 5.0 – 2.1 = -12 merupakan pernyataan yang benar. Tetapi x1 = 5, x2 = -1, dan x3 = 7 bukan penyelesaian persamaan tersebut karena 5 + 5(-1) – 2.7 = -12 merupakan pernyataan yang salah.
Apakah himpunan penyelesaian persamaan linier itu?
Himpunan penyelesaian suatu persamaan linier adalah himpunan yang beranggotakan semua penyelesaian persamaan linier tersebut.
Contoh 4
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 4x1 – x2 = 8. Untuk mencari himpunan penyelesaian persamaan ini, kita berikan sembarang nilai ke salah satu di antara kedua variabel itu. Misalnya kita berikan nilai t untuk x2 (x2 = t). Substitusikan nilai ini ke dalam persamaan yang diketahui, diperoleh 4x1 – t = 8. Tambahkan t pada kedua ruas, diperoleh 4x1 = t + 8. Kalikan kedua ruas dengan ¼, diperoleh [pmath]x_{1} ~=~ t/4 ~+~ 2[/pmath]. Dengan demikian, anggota-anggota himpunan penyelesaian persamaan itu dapat dicirikan dengan:
[pmath]x_{1} ~=~ t/4 ~+~ 2[/pmath] dan x2 = t …………………………………………………………… (1)
Dengan mensubstitusikan sembarang t ∊ ℝ ke dalam (1) akan diperoleh penyelesaian-penyelesaian persamaan tersebut. Misalnya, jika t = 0 maka x1 = 2 dan x2 = 0. Dengan mensubstitusikan x1 = 2 dan x2 = 0 ke dalam persamaan yang diketahui, akan diperoleh pernyataan yang benar sehingga x1 = 2 dan x2 = 0 merupakan suatu penyelesaian dari persamaan tersebut. Jika t = 4 maka x1 = 3 dan x2 = 4. Dengan mensubstitusikan x1 = 3 dan x2 = 4 ke dalam persamaan yang diketahui, akan diperoleh pernyataan yang benar sehingga x1 = 3 dan x2 = 4 merupakan penyelesaian lain dari persamaan tersebut. Dapat dengan mudah dipahami bahwa ada tak berhingga banyaknya penyelesaian dari persamaan tersebut.
Sebagai alternatif, bisa juga kita misalkan x1 = t. Substitusikan nilai ini ke dalam persamaan yang diketahui, diperoleh 4t – x2 = 8. Tambahkan (x2 – 8) pada kedua ruas, diperoleh x2 = 4t – 8. Dengan demikian, anggota-anggota himpunan penyelesaian persamaan itu dapat dicirikan dengan:
x1= t dan x2 = 4t – 8 ……………………………………………………………. (2)
Dengan mensubstitusikan sembarang t ∊ ℝ ke dalam (2) akan diperoleh penyelesaian-penyelesaian persamaan tersebut. Misalnya, jika t = 1 maka x1 = 1 dan x2 = -4. Dengan mensubstitusikan x1 = 1 dan x2 = -4 ke dalam persamaan yang diketahui, akan diperoleh pernyataan yang benar sehingga x1 = 1 dan x2 = -4 merupakan suatu penyelesaian dari persamaan tersebut. Jika t = 2 maka x1 = 2 dan x2 = 0. Dengan mensubstitusikan x1 = 2 dan x2 = 0 ke dalam persamaan yang diketahui, akan diperoleh pernyataan yang benar sehingga x1 = 2 dan x2 = 0 merupakan penyelesaian lain dari persamaan tersebut. Demikian seterusnya. Persamaan ini memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian.
Contoh 5
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x1 – 5x2 + 2x3 = 1. Untuk mencari himpunan penyelesaian persamaan ini, kita berikan sembarang nilai ke dua di antara ketiga variabel itu. Misalkan saja, x2 = s dan x3 = t. Substitusikan kedua nilai ini ke dalam persamaan yang diketahui, diperoleh x1 – 5s + 2t = 1. Dari sini diperoleh x1 = 5s – 2t + 1. Dengan demikian, anggota-anggota himpunan penyelesaian persamaan itu dapat dicirikan dengan:
x1 = 5s – 2t + 1, x2 = s, dan x3 = t …………………………………………………… (3)
Dengan mensubstitusikan sembarang s, t ∊ ℝ ke dalam (3) akan diperoleh penyelesaian-penyelesaian persamaan tersebut. Misalnya, jika s = 0 dan t = 1 maka x1 = -1, x2 = 0, dan x3 = 1. Dengan mensubstitusikan x1 = -1, x2 = 0, dan x3 = 1 ke dalam persamaan yang diketahui, akan diperoleh pernyataan yang benar sehingga x1 = -1, x2 = 0, dan x3 = 1 merupakan suatu penyelesaian dari persamaan tersebut. Jika s = 2 dan t = 1 maka x1 = 9, x2 = 2, dan x3 = 1. Dengan mensubstitusikan x1 = 9, x2 = 2, dan x3 = 1 ke dalam persamaan yang diketahui, akan diperoleh pernyataan yang benar sehingga x1 = 9, x2 = 2, dan x3 = 1 merupakan suatu penyelesaian lainnya dari persamaan tersebut. Jelas persamaan ini pun memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian.
(bersambung)
Bagikan ini:
Most visitors also read :
BERKENALAN DENGAN NILAI DAN VEKTOR EIGEN
DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SINGULAR VALUE DECOMPOSITION)
MATRIKS AKAR KUADRAT
SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA