UTUH SAMA BANYAK DENGAN SETENGAH UTUH?

Juni 11th, 2016

Di tulisan saya yang lalu, saya telah memperkenalkan himpunan seluruh bilangan asli, yaitu ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, …}. Sekarang, misalkan ada himpunan lain yang merupakan himpunan bagian dari ℕ, yaitu himpunan semua bilangan genap positif G = {2, 4, 6, 8, 10, 12, …}. Perhatikan bahwa G merupakan sebagian saja dari ℕ. Secara matematis dapat kita tulis: G ⊆ ℕ. Pertanyaannya sekarang adalah: “Mana yang anggotanya lebih banyak, G atau ℕ?” Secara sepintas, banyaknya anggota G lebih sedikit daripada anggota ℕ. Ini keliru. Banyaknya anggota G sama dengan banyaknya anggota ℕ. Bagaimana ini mungkin? Mengapa bisa ℕ yang “utuh” ini sama banyak anggotanya dengan G yang “setengah utuh”?

 

Dalam teori himpunan, pertanyaan seperti ini merupakan topik mengenai ekivalensi antara dua buah himpunan. Berikut ini adalah definisi ekivalensi dua himpunan:

“Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B, dilambangkan dengan A ~ B, jika terdapat suatu korespondensi satu-satu di antara A dan B”

[Dalam bahasa sederhana, “A ekivalen dengan B” mengandung pengertian bahwa A memiliki anggota yang sama banyak dengan B. Jadi, definisi di atas menerangkan kepada kita dalam situasi seperti apa banyaknya anggota A dikatakan sama banyak dengan anggota B.]

 

Sebagai ilustrasi, misalkan terdapat dua buah himpunan K = {1, 2, 3, 4, 5} dan L = {8, 9, 10, 11, 12}. Karena K dan L ini memiliki anggota yang berhingga banyaknya, dengan mudah kita dapat menentukan apakah K ∼ L atau tidak. Karena masing-masing himpunan mempunyai anggota yang sama banyak, yaitu 5, dengan mudah dapat kita simpulkan K ∼ L. Tetapi terdapat cara lain (bahkan cara ini lebih umum) untuk membuktikan K ∼ L. Caranya adalah dengan kita membangun atau mendefinisikan suatu fungsi bijektif (= koresponensi satu-satu) dari K ke L. Misalnya, dapat kita definisikan bijeksi f dari K ke L dengan f(x) = x + 7 untuk setiap x ∊ K. Jadi, f = {(1,8), (2,9), (3,10), (4,11), (5,12)}. Perhatikan gambar berikut.

bijeksi_KL

Perhatikan bahwa untuk setiap anggota K terdapat satu dan hanya satu pasangannya di L dan untuk setiap anggota L terdapat satu dan hanya satu pasangannya di K. [Inilah ciri bijeksi!] Secara umum, apabila dua buah himpunan memiliki anggota yang sama banyak, pastilah dapat dibangun suatu bijeksi di antara keduanya.

 

Sekarang tiba saatnya untuk membuktikan bahwa G dan ℕ memiliki anggota yang sama banyak, ℕ ∼ G. Definisikan suatu bijeksi h dari ℕ ke G dengan h(x) = 2x untuk setiap x ∊ ℕ. Jadi, h = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8), …}. Lihat gambar berikut.

bijeksi_NG

Dengan pendefinisian h tersebut, setiap anggota ℕ memiliki satu dan hanya satu pasangannya di G dan setiap anggota G memiliki satu dan hanya satu pasangannya di ℕ. Dengan mengacu pada definisi ekivalensi dua himpunan di atas, kita simpulkan bahwa G dan ℕ memiliki anggota yang sama banyak.

 

Berikut ini adalah tautan-tautan mengenai berbagai topik yang berkaitan dengan ekivalensi dua himpunan.

(link belum tersedia)

 

 

 



Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *