TURUNAN FUNGSI DI SUATU TITIK

Oktober 31st, 2016

laju_perubahan

Pepatah mengatakan tidak ada hal yang tidak berubah, kecuali perubahan itu sendiri. Sekarang kita akan belajar mengenai laju perubahan. Banyaknya penduduk suatu daerah berubah, suhu ruangan berubah, berat badan berubah. Walau di dua buah negara jumlah penduduknya sama-sama bertumbuh, tetapi kecepatan pertumbuhannya belum tentu sama. Mungkin di negara yang satu jumlah penduduknya tumbuh lebih cepat.

Laju bertumbuhnya jumlah penduduk di satu negara pun belum tentu sama dari waktu ke waktu. Laju bertumbuhnya penduduk pada selang waktu 2 tahun dalam kurun waktu tahun 1990 – 1992 belum tentu sama dengan laju bertumbuhnya penduduk pada selang waktu 2 tahun dalam kurun waktu tahun 2014 – 2016. Anggaplah banyaknya penduduk di suatu daerah di tahun ke-x adalah f(x) = (x2 + 1) juta orang, x ≥ 0. Anggaplah tahun ke-0 adalah tahun sekarang, yaitu tahun 2016. Jadi pada saat ini (tahun 2016) terdapat f(0) = 1 juta penduduk di daerah tersebut. Dua tahun lagi (tahun 2018), yaitu di tahun ke-2, banyaknya penduduk daerah tersebut adalah f(2) = (22 + 1) juta orang = 5 juta orang. Di tahun ke-4 (tahun 2020), banyaknya penduduk daerah tersebut adalah f(2) = (42 + 1) juta orang = 17 juta orang. Demikian selanjutnya. Hubungan antara x dan f(x) dapat dilihat pada tabel berikut.

turunan_tabel_1

Laju (rata-rata) pertumbuhan penduduk di daerah tersebut antara tahun ke-0 dan tahun ke-2 adalah {5 ~-~ 1}/{2 ~-~ 0} ~=~ 2 juta penduduk per tahun, sedangkan antara tahun ke-2 dan tahun ke-4 adalah {17 ~-~ 5}/{4 ~-~ 2} ~=~ 6 juta penduduk per tahun. Berdasarkan perhitungan ini, kita simpulkan bahwa laju (rata-rata) pertumbuhan penduduk antara tahun ke-2 dan tahun ke-4 lebih tinggi daripada antara tahun ke-0 dan tahun ke-2. Dengan penyampaian yang lebih sederhana, dapat dikatakan bahwa jumlah penduduk bertambah “lebih cepat” antara tahun ke-2 dan ke-4 daripada antara tahun ke-0 dan tahun ke-2.

Turunan/derivatif fungsi di suatu titik menyatakan seberapa cepat nilai fungsi berubah di suatu titik atau saat tertentu. Apa perbedaannya dengan laju pertumbuhan penduduk pada ilustrasi di atas? Perhitungan laju pertumbuhan pada ilustrasi tersebut tidak sama dengan perhitungan laju perubahan nilai fungsi yang dihitung dengan konsep turunan. Pada perhitungan di atas, yang dihitung adalah laju rata-rata perubahan jumlah penduduk. Pada perhitungan ini, diperlukan dua buah “titik waktu”. Untuk menghitung laju perubahan jumlah penduduk antara tahun sekarang (2016) dan tahun 2018, digunakan dua titik waktu, yaitu x = 0 dan x = 2; untuk menghitung laju perubahan jumlah penduduk antara tahun 2018 dan tahun 2020, digunakan dua titik waktu lagi, yaitu x = 2 dan x = 4. Sedangkan perhitungan laju perubahan jumlah penduduk menggunakan turunan tidak memerlukan dua buah “titik waktu”, namun hanya satu buah titik waktu. Nama lainnya dari laju perubahan semacam ini adalah laju perubahan sesaat. Sesaat di sini mengandung makna bahwa dua titik waktu (yang dipergunakan dalam menghitung laju perubahan rata-rata) mendekati nol. Pada ilustrasi jumlah penduduk ini, laju perubahan jumlah penduduk pada tahun ke-2 adalah lim{Delta x right 0}{{f(2 + Delta x) ~-~ f(2)}/{Delta x}}. Perhatikan bahwa pada perhitungan dengan limit ini, digunakan dua titik waktu x = 2 dan x = (2 + Δx), namun nilai Δx menuju/mendekati nol. Hasil perhitungan limit tersebut merupakan nilai turunan fungsi f di x = 2.

 

Definisi Turunan Fungsi di Suatu Titik

Misalkan fungsi f terdefinisi pada suatu selang terbuka (a,b) dan misalkan c ∊ (a,b). Turunan f di titik c, dilambangkan dengan f ‘(c), didefinisikan sebagai:

f prime (c) ~=~ lim{Delta x right 0}{{f(c + Delta x) ~-~ f(c)}/{Delta x}}

apabila limit tersebut ada. Jika limit tersebut ada, kita katakan bahwa f mempunyai turunan di c atau f terdiferensialkan di c.

 

Definisi yang ekivalen dengan definisi di atas:

Misalkan fungsi f terdefinisi pada suatu selang terbuka (a,b) dan misalkan c ∊ (a,b). Turunan f di titik c, dilambangkan dengan f ‘(c), didefinisikan sebagai:

f prime (c) ~=~ lim{Delta x right c}{{f(x) ~-~ f(c)}/{x ~-~ c}}

apabila limit tersebut ada. Jika limit tersebut ada, kita katakan bahwa f mempunyai turunan di c atau f terdiferensialkan di c.

 

Pada contoh kasus mengenai pertumbuhan penduduk ini, berapakah laju pertumbuhan penduduk di tahun ke-2? Untuk menjawab ini, kita gunakan rumus pada definisi di atas.

f(x) = x2 + 1

f(2) = 22 + 1 = 5

f(2 + Δx) = (2 + Δx)2 + 1 = (Δx)2 + 4 Δx + 5

f(2 + Δx) – f(2) = [(Δx)2 + 4 Δx + 5] – 5 = (Δx)2 + 4 Δx

f prime (2) ~=~ lim{Delta x right 0}{(Delta x)^2 ~+~ 4 Delta x}/{Delta x}}

f prime (2) ~=~ lim{Delta x right 0}{(Delta x ~+~ 4)} ~=~ 4

Jadi, di tahun ke-2, laju perubahan jumlah penduduk di daerah itu adalah 4 juta penduduk per tahun.

 

Rumus pada definisi yang kedua pun memberikan hasil yang sama.

f(x) = x2 + 1

f(2) = 22 + 1 = 5

f(x) – f(2) = (x2 + 1) – 5 = x2 – 4

f prime (2) ~=~ lim{Delta x right 2}{{x^2 ~-~ 4}/{x ~-~ 2}}

f prime (2) ~=~ lim{Delta x right 2}{{(x ~+~ 2)(x ~-~ 2)}/{x ~-~ 2}}

f prime (2) ~=~ lim{Delta x right 2}{{(x ~+~ 2)(x ~-~ 2)}/{x ~-~ 2}}

f prime (2) ~=~ lim{Delta x right 2}{(x ~+~ 2)} ~=~ 4

 

Bagaimana rumus umum bagi f ‘(x) pada kasus ini?

Kita gunakan rumus pada definisi pertama.

f(x) = x2 + 1

f(x + Δx) = (x + Δx)2 + 1 = (Δx)2 + 2x.Δx + x2 + 1

f(x + Δx) – f(x) = [(Δx)2 + 2x.Δx + x2 + 1] – (x2 + 1) = (Δx)2 + 2x.Δx

f prime (x) ~=~ lim{Delta x right 0}{(Delta x)^2 ~+~ 2x Delta x}/{Delta x}}

f prime (x) ~=~ lim{Delta x right 0}{(Delta x ~+~ 2x)} ~=~ 2x

Jadi, f ‘(x) = 2x.

 

Dengan rumus umum f ‘(x) = 2x, kita dapat menghitung laju pertumbuhan penduduk di tahun ke-x untuk setiap x > 0. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa seiring dengan bertambahnya tahun (seiring dengan bertambahnya x), laju pertumbuhan penduduk semakin tinggi; banyaknya penduduk di daerah itu bertumbuh semakin pesat.

 

Bagaimana dengan f ‘(0)? Karena f pada kasus ini didefinisikan untuk x ≥ 0, tidak ada suatu selang terbuka yang memuat 0 sehingga definisi-definisi di atas gagal untuk menjawab pertanyaan ini. Tetapi ini tidak berarti bahwa f ‘(0) tidak dapat ditentukan. Ini dijawab dengan konsep turunan sepihak. Seperti halnya konsep limit kiri dan limit kanan fungsi, dalam topik mengenai turunan pun ada konsep turunan kiri dan turunan kanan.

 

Lihat juga:

Rumus-rumus Turunan

Tagging: , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *