TEOREMA PELUANG TOTAL DAN TEOREMA BAYES

Mei 10th, 2017

Di suatu pabrik, terdapat tiga buah mesin (yaitu M1, M2, dan M3) yang mengerjakan fungsi serupa. M1 menghasilkan 20% dari seluruh produk, M2 menghasilkan 30% dari seluruh produk, dan M3 menghasilkan 50% dari seluruh produk. Dari pengalaman diketahui bahwa M1 menghasilkan 4% produk cacat, M2 menghasilkan 3% produk cacat, dan M3 menghasilkan 5% produk cacat. a) Sebuah produk yang dihasilkan pabrik itu diambil secara acak. Berapakah peluangnya produk tersebut cacat? b) Sebuah produk yang dihasilkan pabrik itu diambil secara acak dan ternyata cacat. Berapakah peluangnya produk cacat tersebut dihasilkan mesin M2?

 

Pertanyaan bagian a) dari contoh kasus di atas merupakan suatu pertanyaan yang dapat dijawab dengan teorema peluang total (nama lain: aturan eliminasi). Pertanyaan bagian b) dapat dijawab dengan Teorema Bayes. Post saya kali ini akan membahas kedua teorema tersebut.

 

Untuk memahami pembahasan saya berikutnya, perlu diketahui terlebih dahulu apakah yang dimaksud dengan partisi dari suatu himpunan.

 

Definisi [Partisi Suatu Himpunan]

Misalkan S suatu himpunan dan K1, K2, K3, …, Kn masing-masing merupakan himpunan bagian dari S. K1, K2, K3, …, Kn dikatakan membentuk partisi dari S apabila dipenuhi dua syarat berikut. 1) K1 ∪ K2 ∪ K3 ∪ … ∪ Kn = S dan 2) Ki∩Kj = ∅ untuk setiap i ≠ j.

 

Contoh 1

Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A= {1, 2, 5}, B = {3, 7, 8}, dan C = {4, 6}. Pada contoh ini A, B, dan C membentuk partisi dari S karena dipenuhi syarat pertama: A∪B∪C = S, dan dipenuhi syarat kedua: A∩B = ∅, A∩C = ∅, dan B∩C = ∅.

 

Contoh 2

Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A= {1, 2}, B = {3, 7, 8}, dan C = {4, 6}. Pada contoh ini A, B, dan C tidak membentuk partisi dari S karena syarat pertama dilanggar. A ∪ B ∪ C ≠ S.

 

Contoh 3

Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A= {1, 2, 5}, B = {3, 7, 8}, dan C = {1, 4, 6}. Pada contoh ini A, B, dan C tidak membentuk partisi dari S karena syarat kedua dilanggar. A ∩ C ≠ ∅.

 

Teorema Peluang Total (Aturan Eliminasi)

Misalkan K1, K2, …, Kn membentuk partisi dari ruang sampel S dan P(Kj) ≠ 0 untuk j = 1, 2, …, n. Jika A suatu kejadian dalam ruang sampel S maka:

Pada contoh kasus di atas, kita misalkan A = kejadian terambilnya produk cacat. Kj = kejadian terambilnya produk yang dihasilkan mesin Mj. Ruang sampelnya adalah S, yaitu semua produk yang dihasilkan oleh ketiga mesin itu. Selanjutnya, P(K1) = 0,2, P(K2) = 0,3, P(K3) = 0,5, P(A|K1) = 0,04, P(A|K2) = 0,03, dan P(A|K3) = 0,05. Untuk menggunakan teori peluang total tersebut, harus kita periksa dulu K1, K2, dan K3 membentuk partisi dari ruang sampel S. Pertama, perhatikan bahwa setiap produk yang dihasilkan pabrik itu pasti dihasilkan dari mesin-mesin tersebut. Jadi, syarat 1) yaitu K1 ∪ K2 ∪ K3 ∪ … ∪ Kn = S dipenuhi. Kedua, masing-masing produk pabrik tersebut dihasilkan oleh satu mesin saja (satu di antara tiga yang tersedia); jadi tidak mungkin suatu produk tertentu dihasilkan dari M1 dan M3 atau dari M2 dan M3. Jadi, syarat 2) dipenuhi, yaitu Ki∩Kj = ∅ untuk setiap i ≠ j. Selanjutnya, P(K1) ≠ 0, P(K2) ≠ 0, dan P(K3) ≠ 0.

P(A) =  P(K1).P(A|K1) + P(K2).P(A|K2) + P(K3).P(A|K3)

P(A) = 0,2.0,04 + 0,3.0,03 + 0,5.0,05 = 0,008 + 0,009 + 0,025 = 0,042.

Jadi, peluang terambilnya produk cacat adalah 0,042.  Ini adalah jawaban pertanyaan a) pada contoh kasus di atas.

 

Teorema Bayes

Misalkan K1, K2, …, Kn membentuk partisi dari ruang sampel S dan P(Kj) ≠ 0 untuk j = 1, 2, …, n. Jika A suatu kejadian dalam ruang sampel S maka:

untuk t = 1, 2, …, n

 

Catatan:

Penyebut P(Kt|A) di atas, yaitu sum{j=1}{n}{P(K_{j} inter A)}, tidak lain adalah P(A), sebagaimana telah diuraikan pada Teorema Peluang Total.

 

Sekarang, akan kita gunakan Teorema Bayes untuk menjawab pertanyaan b) pada contoh kasus di atas. Pada bagian b), yang ditanyakan adalah P(K2|A).

Perhatikan bahwa P(K2).P(A|K2) = 0,3.0,03 = 0,009.

Selanjutnya, P(K_{2} delim{|}{A}{ }) ~=~ {0,009}/{0,042} ~ approx ~ 0,2143

Jadi, peluang produk cacat tersebut dihasilkan mesin M2 adalah 0,2143.

 

 

Tagging: ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *