SKEWNESS DAN KURTOSIS

September 25th, 2016

neg_skew

                 Di bagian lalu telah diuraikan bagaimana membuat histogram dan poligon frekuensi. Distirbusi-distribusi frekuensi yang dibuat menghasilkan aneka bentuk histogram dan poligon frekuensi. Sebagian histogram memiliki ekor yang lebih menjulur ke kiri, sebagian simetris (tidak mempunyai ekor yang lebih menjulur), dan sebagian lagi memiliki ekor yang lebih menjulur ke kanan. Dalam statistika, masalah kemenjuluran ekor distribusi ini dinamakan kemiringan (skewness). Jika ekor tersebut lebih menjulur ke kiri, dikatakan bahwa distribusi memiliki kemiringan yang negatif. Jika tidak ada ekor yang lebih menjulur, dikatakan bahwa kemiringannya nol, sedangkan apabila ekor tersebut lebih menjulur ke kanan dikatakan kemiringannya positif. Perhatikan gambar-gambar berikut.

neg_skew simetris  pos_skew

Gambar 1

Berbagai Macam Kemiringan

 

Pada Gambar 1, yang terkiri menggambarkan distribusi yang memiliki kemiringan negatif, yang tengah distribusi yang simetris, dan yang terkanan distribusi yang memiliki kemiringan positif.

 

Untuk mengukur kemiringan ini, seseorang yang bernama Karl Pearson (1857 – 1936) merumuskan suatu ukuran yang disebut koefisien kemiringan Pearson (J), yang didefinisikan sebagai berikut.

J ~=~ {3(overline{x} ~-~ Me)}/s

dengan overline{x} = rata-rata, Me = nilai tengah (median), dan s = simpangan baku.

 

Contoh 1:

Hasil sampling terhadap 7 orang pemirsa suatu stasiun radio mengenai lamanya mereka menikmati suatu acara radio memberikan hasil sebagai berikut (dalam satuan menit): 45, 30, 60, 90, 15, 30, 45. Berikan estimasi mengenai kemiringan distribusi lamanya menikmati acara tersebut, gunakan koefisien kemiringan Pearson.

 

Jawab:

Untuk menghitung J, perlu dihitung dulu rata-rata, nilai tengah, dan simpangan baku hasil sampling tersebut. Untuk menentukan nilai tengah, kita urutkan terlebih dahulu ketujuh data tersebut, yaitu: 15 30 30 45 45 60 90. Nilai tengah data ini adalah data ke-4, yaitu 45 menit. Rata-rata dihitung sebagai berikut: overline{x} ~=~ {13+30+30+45+45+60+90}/7 ~ menit ~=~ 45 menit. Selanjutnya, s^2 ~=~ {(13-45)^2+(30-45)^2+...+(90-45)^2}/{7-1} ~ {menit}^2 ~=~ 600 ~ {menit}^2 sehingga s ~=~ sqrt{600} ~ menit ~ approx ~ 24,5 ~ menit. Substitusikan hasil-hasil ini ke rumus J, diperoleh:

J ~=~ {3(45 ~-~ 45)}/{24,5} ~=~ 0

Berdasarkan nilai J = 0, kita dapat memperkirakan distribusi lamanya mendengar acara tersebut bersifat simetris.

 

Catatan

  1. J tidak memiliki satuan. Ini adalah karena satuan pembilang sama dengan satuan penyebut.
  2. Untuk Contoh 1 ini, sebenarnya tidak perlu menghitung s karena kebetulan nilai rata-rata sama dengan nilai tengah (akibatnya: pembilang bernilai nol) dan data ini beragam (akibatnya: s > 0) sehingga nilai pecahan ini pasti nol. Walau demikian pada contoh ini s tetap dihitung sebagai salah satu langkah “prosedur baku” menghitung J.

 

Di samping kemiringan, suatu distribusi pun memiliki apa yang dinamakan kurtosis, yaitu derajat kelancipan suatu distribusi. Ada distribusi yang lebih tumpul dari distribusi normal (platykurtic), ada yang normal (mesokurtic), dan ada yang lebih lancip dari distribusi normal (leptokurtic). Perhatikan gambar-gambar berikut.

kurtosis

Gambar 2

Berbagai Macam Kelancipan

 

Pada Gambar 2, kurva merah menggambarkan distribusi yang mesokurtic. Kurva biru menggambarkan distribusi yang platykurtic dan yang hijau leptokurtic.

 

Bagaimana mengukur kelancipan/kurtosis ini? Salah satu yang sering digunakan untuk menunjukkan besarnya kurtosis adalah ukuran kurtosis Fisher (Fisher’s measure of kurtosis), γ2 yang didefinisikan sebagai berikut.

gamma_{2} ~=~ {m_{4}}/{s^4} ~-~ 3

dengan m4 = momen sentral ke-4, yaitu m_{4} ~=~ 1/n sum{i=1}{n}{(x_{i} ~-~ overline{x})^4} dan s = simpangan baku.

 

Distribusi normal memiliki γ2 = 0. Distribusi yang lebih tumpul (platykurtic) dari distribusi normal memiliki γ2 < 0, dan yang lebih lancip dari distribusi normal (mesokurtic) memiliki γ2 > 0.

 

Contoh 2:

Perkirakan kelancipan dari distribusi lamanya mendengarkan acara radio pada Contoh 1. Apakah lebih lancip atau lebih tumpul dari distribusi normal?

 

Jawab:

Variansi sudah dihitung pada penyelesaian Contoh 1, yaitu s^2 ~=~ 600 ~ {menit}^2 sehingga s^4 ~=~ {600}^2 ~ {menit}^4 ~=~ 360000 ~ {menit}^4. Berikutnya adalah menentukan m4. Pada Contoh 1 telah dihitung rata-rata overline{x} ~=~ 45 ~menit.

m_{4} ~=~ {(15-45)^4 + (30-45)^4 + ... + (90-45)^4}/7 {menit}^4 approx 723214 {menit}^4. Substitusikan s4 dan m4 ini ke dalam rumus γ2, diperoleh:

gamma_{2} ~=~ {723214}/{360000} ~-~ 3 ~ approx ~ -0,99 ~<~ 0. Karena γ2 < 0, diperkirakan distribusi ini lebih tumpul dari distribusi normal.

 

Latihan Soal Materi Pertemuan ke-2 s.d. ke-6: Tugas 1

Tagging: , , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *