Jika diketahui matriks persegi [pmath]A ~=~ delim{[}{matrix{4}{4}{2 1 3 1 3 0 {-6} 0 5 {-1} 0 {-1} {-3} 4 1 4}}{]}[/pmath], berapakah |A| (yaitu determinan dari A)? Bagi Anda yang tidak mengenal sifat-sifat matriks, tentu membutuhkan waktu lama untuk menjawab pertanyaan ini. Perhatikanlah bahwa kolom ke-2 dan ke-4 matriks tersebut memiliki elemen-elemen yang sama. Tentunya determinan matriks ini adalah nol, |A| = 0. Inilah salah satu manfaatnya apabila kita mengenal sifat-sifat determinan matriks. Mari kita lihat satu demi satu sifat-sifat determinan matriks.
Sifat 1
Jika setiap elemen suatu baris (atau kolom) dari suatu matriks persegi A bernilai nol maka |A| = 0.
Ilustrasi:
Misalkan [pmath]A ~=~ delim{[}{matrix{3}{3}{2 1 3 0 0 0 {-6} 0 5}}{]}[/pmath]. Perhatikan bahwa baris kedua matriks ini memiliki semua elemennya nol. Menurut Sifat 1 ini, |A| = 0. Sifat ini tetap berlaku apabila suatu baris pada matriks tersebut memiliki semua elemennya bernilai nol.
Sifat 2
Determinan suatu matriks persegi sama dengan determinan matriks transposnya. (Berdasarkan sifat ini, setiap dalil mengenai determinan yang berkenaan dengan baris berlaku juga untuk kolom, demikian juga sebaliknya.
Karena itu [pmath]A^T ~=~ delim{[}{matrix{3}{3}{2 0 {-6} 1 7 0 3 0 5}}{]}[/pmath].
Dapat ditunjukkan bahwa |A| = 1260. Karena AT adalah matriks transpos dari A, maka (menurut sifat ini) |AT| = 1260.
Sifat 3a
Jika setiap elemen suatu baris (atau kolom) suatu matriks persegi A dikalikan dengan suatu skalar k, maka determinan matriks yang baru ini adalah sebesar k.|A|.
Ilustrasi:
Misalkan [pmath]A ~=~ delim{[}{matrix{3}{3}{2 1 3 5 7 1 {-6} 0 5}}{]}[/pmath] dan [pmath]B ~=~ delim{[}{matrix{3}{3}{2 1 {-6} 5 7 {-2} {-6} 0 {-10}}}{]}[/pmath]. Dapat ditunjukkan bahwa |A| = 165. Perhatikan bahwa matriks B diperoleh dengan cara mengalikan kolom ke-3 matriks A dengan suatu suatu skalar k = -2. Menurut sifat ini, |B| = -2|A| = -2.165 = -330.
Sifat 3b
Jika setiap elemen suatu baris (atau kolom) dari suatu matriks A yang determinannya |A| memiliki k sebagai suatu faktor persekutuan maka k dapat difaktorkan dari |A|.
Sifat ini berguna agar dalam situasi-situasi tertentu, penghitungan determinan melibatkan bilangan-bilangan yang lebih kecil nilainya.
Ilustrasi:
Untuk menghitung [pmath]delim{|}{matrix{3}{3}{2 1 3 {85} {119} {17} {-6} 0 5}}{|}[/pmath], agar terhindar dari pengolahan bilangan-bilangan yang besar nilainya, kita dapat melakukannya sebagai berikut.
Jika matriks persegi B diperoleh dari matriks A dengan cara menukar sembarang dua baris (atau kolom) yang bersebelahan maka |B| = -|A|.
Ilustrasi:
Misalkan [pmath]A ~=~ delim{[}{matrix{3}{3}{2 1 3 5 7 1 {-6} 0 5}}{]}[/pmath] dan [pmath]B ~=~ delim{[}{matrix{3}{3}{5 7 1 2 1 3 {-6} 0 5}}{]}[/pmath]. Dapat ditunjukkan bahwa |A| = 165. Karena matriks B diperoleh dengan cara menukarkan baris pertama dan kedua dari matriks A (yaitu dua baris yang bersebelahan), maka menurut sifat ini |B| = -165.
Sifat 5
Jika dua baris (atau kolom) suatu matriks persegi sama maka determinan matriks tersebut adalah nol.
Ilustrasi
Perhatikan matriks persegi [pmath]A ~=~ delim{[}{matrix{4}{4}{2 1 3 1 3 0 {-6} 0 5 {-1} 0 {-1} {-3} 4 1 4}}{]}[/pmath], yaitu matriks yang dipertanyakan determinannya di bagian awal post ini. Kolom kedua dan keempat matriks ini sama, sehingga determinannya pasti bernilai nol.
Sifat 6
Jika matriks persegi B diperoleh dari matriks A dengan cara menambahkan pada elemen-elemen pada baris (atau kolom) ke-i suatu baris (atau kolom) yang elemen-elemennya adalah kelipatanskalar dari baris (atau kolom) lainnya dari matriks A tersebut, maka |B| = |A|.
Ilustrasi:
Misalkan [pmath]A ~=~ delim{[}{matrix{3}{3}{{-2} 1 4 3 0 {-1} 0 2 3}}{]}[/pmath] dan [pmath]B ~=~ delim{[}{matrix{3}{3}{{-2} 5 {10} 3 0 {-1} 0 2 3}}{]}[/pmath]. Perhatikan bahwa baris pertama B, yaitu (-2 5 10) adalah penjumlahan baris ke-1 matriks A dengan 2 kali baris ke-3 matriks A:
(-2 5 10) = (-2 1 4) + 2.(0 2 3)
Anda dapat membuktikan sendiri bahwa |B| = |A| = 11.
SIFAT-SIFAT DETERMINAN MATRIKS
Jika diketahui matriks persegi [pmath]A ~=~ delim{[}{matrix{4}{4}{2 1 3 1 3 0 {-6} 0 5 {-1} 0 {-1} {-3} 4 1 4}}{]}[/pmath], berapakah |A| (yaitu determinan dari A)? Bagi Anda yang tidak mengenal sifat-sifat matriks, tentu membutuhkan waktu lama untuk menjawab pertanyaan ini. Perhatikanlah bahwa kolom ke-2 dan ke-4 matriks tersebut memiliki elemen-elemen yang sama. Tentunya determinan matriks ini adalah nol, |A| = 0. Inilah salah satu manfaatnya apabila kita mengenal sifat-sifat determinan matriks. Mari kita lihat satu demi satu sifat-sifat determinan matriks.
Sifat 1
Jika setiap elemen suatu baris (atau kolom) dari suatu matriks persegi A bernilai nol maka |A| = 0.
Ilustrasi:
Misalkan [pmath]A ~=~ delim{[}{matrix{3}{3}{2 1 3 0 0 0 {-6} 0 5}}{]}[/pmath]. Perhatikan bahwa baris kedua matriks ini memiliki semua elemennya nol. Menurut Sifat 1 ini, |A| = 0. Sifat ini tetap berlaku apabila suatu baris pada matriks tersebut memiliki semua elemennya bernilai nol.
Sifat 2
Determinan suatu matriks persegi sama dengan determinan matriks transposnya. (Berdasarkan sifat ini, setiap dalil mengenai determinan yang berkenaan dengan baris berlaku juga untuk kolom, demikian juga sebaliknya.
Ilustrasi:
Misalkan [pmath]A ~=~ delim{[}{matrix{3}{3}{2 1 3 0 7 0 {-6} 0 5}}{]}[/pmath].
Karena itu [pmath]A^T ~=~ delim{[}{matrix{3}{3}{2 0 {-6} 1 7 0 3 0 5}}{]}[/pmath].
Dapat ditunjukkan bahwa |A| = 1260. Karena AT adalah matriks transpos dari A, maka (menurut sifat ini) |AT| = 1260.
Sifat 3a
Jika setiap elemen suatu baris (atau kolom) suatu matriks persegi A dikalikan dengan suatu skalar k, maka determinan matriks yang baru ini adalah sebesar k.|A|.
Ilustrasi:
Misalkan [pmath]A ~=~ delim{[}{matrix{3}{3}{2 1 3 5 7 1 {-6} 0 5}}{]}[/pmath] dan [pmath]B ~=~ delim{[}{matrix{3}{3}{2 1 {-6} 5 7 {-2} {-6} 0 {-10}}}{]}[/pmath]. Dapat ditunjukkan bahwa |A| = 165. Perhatikan bahwa matriks B diperoleh dengan cara mengalikan kolom ke-3 matriks A dengan suatu suatu skalar k = -2. Menurut sifat ini, |B| = -2|A| = -2.165 = -330.
Sifat 3b
Jika setiap elemen suatu baris (atau kolom) dari suatu matriks A yang determinannya |A| memiliki k sebagai suatu faktor persekutuan maka k dapat difaktorkan dari |A|.
Sifat ini berguna agar dalam situasi-situasi tertentu, penghitungan determinan melibatkan bilangan-bilangan yang lebih kecil nilainya.
Ilustrasi:
Untuk menghitung [pmath]delim{|}{matrix{3}{3}{2 1 3 {85} {119} {17} {-6} 0 5}}{|}[/pmath], agar terhindar dari pengolahan bilangan-bilangan yang besar nilainya, kita dapat melakukannya sebagai berikut.
[pmath]delim{|}{matrix{3}{3}{2 1 3 {85} {119} {17} {-6} 0 5}}{|} ~=~ 17 delim{|}{matrix{3}{3}{2 1 3 5 7 1 {-6} 0 5}}{|} ~=~ 17.165 ~=~ 2805[/pmath]
Sifat 4
Jika matriks persegi B diperoleh dari matriks A dengan cara menukar sembarang dua baris (atau kolom) yang bersebelahan maka |B| = -|A|.
Ilustrasi:
Misalkan [pmath]A ~=~ delim{[}{matrix{3}{3}{2 1 3 5 7 1 {-6} 0 5}}{]}[/pmath] dan [pmath]B ~=~ delim{[}{matrix{3}{3}{5 7 1 2 1 3 {-6} 0 5}}{]}[/pmath]. Dapat ditunjukkan bahwa |A| = 165. Karena matriks B diperoleh dengan cara menukarkan baris pertama dan kedua dari matriks A (yaitu dua baris yang bersebelahan), maka menurut sifat ini |B| = -165.
Sifat 5
Jika dua baris (atau kolom) suatu matriks persegi sama maka determinan matriks tersebut adalah nol.
Ilustrasi
Perhatikan matriks persegi [pmath]A ~=~ delim{[}{matrix{4}{4}{2 1 3 1 3 0 {-6} 0 5 {-1} 0 {-1} {-3} 4 1 4}}{]}[/pmath], yaitu matriks yang dipertanyakan determinannya di bagian awal post ini. Kolom kedua dan keempat matriks ini sama, sehingga determinannya pasti bernilai nol.
Sifat 6
Jika matriks persegi B diperoleh dari matriks A dengan cara menambahkan pada elemen-elemen pada baris (atau kolom) ke-i suatu baris (atau kolom) yang elemen-elemennya adalah kelipatan skalar dari baris (atau kolom) lainnya dari matriks A tersebut, maka |B| = |A|.
Ilustrasi:
Misalkan [pmath]A ~=~ delim{[}{matrix{3}{3}{{-2} 1 4 3 0 {-1} 0 2 3}}{]}[/pmath] dan [pmath]B ~=~ delim{[}{matrix{3}{3}{{-2} 5 {10} 3 0 {-1} 0 2 3}}{]}[/pmath]. Perhatikan bahwa baris pertama B, yaitu (-2 5 10) adalah penjumlahan baris ke-1 matriks A dengan 2 kali baris ke-3 matriks A:
(-2 5 10) = (-2 1 4) + 2.(0 2 3)
Anda dapat membuktikan sendiri bahwa |B| = |A| = 11.
Bagikan ini:
Most visitors also read :
BERKENALAN DENGAN NILAI DAN VEKTOR EIGEN
DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SINGULAR VALUE DECOMPOSITION)
MATRIKS AKAR KUADRAT
SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA