RUMUS-RUMUS TURUNAN

Desember 19th, 2016

Di post saya yang lalu telah diuraikan konsep turunan fungsi di suatu titik. Berikut ini adalah rumus-rumus turunan yang sering diperlukan para siswa SMA atau para mahasiswa dan contoh penggunaannya.

 

Rumus 1 (R1)

{d(x^n)}/{dx} ~=~ nx^{n ~-~ 1}

Contoh 1: {d(x^7)}/{dx} ~=~ 7x^{7 ~-~ 1} ~=~ 7x^6

 

Rumus 2 (R2)

{d(c)}/{dx} ~=~ 0; c suatu konstanta

Contoh 2: {d(15)}/{dx} ~=~ 0

 

Rumus 3 (R3)

{d(e^{cx})}/{dx} ~=~ ce^{cx}; c suatu konstanta

Contoh 3: {d(e^{5x})}/{dx} ~=~ 5 e^{5x}

 

Rumus 4 (R4)

{d(a^x)}/{dx} ~=~ a^x ln a; a > 0

Contoh 4: {d(3^x)}/{dx} ~=~ 3^x ln 3

 

Rumus 5 (R5)

{d(sin x)}/{dx} ~=~ cos x

 

Rumus 6 (R6)

{d(cos x)}/{dx} ~=~ - ~ sin x

 

Rumus 7 (R7)

{d(tan x)}/{dx} ~=~ sec^2 x

 

Rumus 8 (R8)

{d(cosec x)}/{dx} ~=~ - ~ cosec x ~.~ cot x

 

Rumus 9 (R9)

{d(sec x)}/{dx} ~=~ sec x ~.~ tan x

 

Rumus 10 (R10)

{d(cot x)}/{dx} ~=~ - ~ cosec^2 x

 

Rumus 11 (R11)

{d(ln x)}/{dx} ~=~ 1/x

 

Turunan dari kombinasi linier fungsi-fungsi (R12)

Misalkan u1, u2, u3, …, uk masing-masing fungsi yang diferensiabel di suatu titik dan c1, c2, …, ck konstanta. Maka fungsi c1u1 + c2u2 + … + ckuk diferensiabel di titik tersebut dan berlaku:

(c1u1 + c2u2 + … + ckuk)’ = c1u1’ + c2u2’ + … + ckuk

 

Contoh 5

Diketahui y = 2 sin x + 5 cos x – 2e3x. Hitunglah y’.

 

Jawab:

Pada contoh ini, u1 = sin x, u2 = cos x, dan u3 = e3x, c1 = 2, c2 = 5, c3 = -2

Dari R5, R6, R3, secara berturutan, diperoleh u1’ = cos x, u2’ = – sin x, u3’ = 3ex.

Penerapan R12 memberikan hasil:

y’ = 2 cos x + 5 (-sin x) + (-2).3 e3x

y’ = 2 cos x – 5 sin x – 6 e3x

 

Contoh 6

Diketahui y = -15 x3 + ln x + 8.10x – 11 tan x + 23. Hitunglah y’.

 

Jawab:

y dapat dinyatakan sebagai y = c1u1 + c2u2 + c3u3 + c4u4 + c5u5

dengan u1 = x3, u2 = ln x, u3 = 10x, u4 = tan x, u5 = 23

dan c1 = -15, c2 = 1, c3 = 8, c4 = -11, c5 = 23

Dari R1, R11, R4, R7 dan R2, diperoleh u1’ = 3x2, u2’ = 1/x, u3’ = 10x ln 10, u4’ = sec2 x, u5’ = 0.

Penerapan R12 memberikan hasil:

y’ = -15.(3x2) + 1.(1/x) + 8(10x ln 10) + (-11) sec2 x + 23.0

y’ = -45 x2 + 1/x + (8 ln 10).10x – 11 sec2 x

 

Turunan dari perkalian fungsi (R13)

Jika u, v masing-masing fungsi yang diferensiabel di suatu titik maka uv diferensiabel di titik itu. Selanjutnya, di titik tersebut berlaku (uv)’ = u’v + uv’

 

Contoh 7

Diketahui y = x3 sin x. Tentukan y’.

 

Jawab:

Misalkan u = x3 dan v = sin x.

Dari R1 dan R5 diperoleh u’ = 3x2 dan v’ = cos x.

Penerapan R13 memberikan hasil:

y’ = (3x2)(sin x) + (x3)(cos x)

y’ = 3x2 sin x + x3 cos x

 

Turunan dari pembagian fungsi (R14)

Misalkan u, v adalah fungsi-fungsi yang diferensiabel di suatu titik dan di titik tersebut v ≠ 0. Maka u/v diferensiabel di titik tersebut dan berlaku:

(u/v) prime ~=~ {u prime v ~-~ u v prime}/{v^2}

 

Contoh 8

Diketahui y ~=~ {sqrt{x}}/{ln x}; x > 1

Tentukanlah y’.

 

Jawab:

Misalkan u = √x dan v = ln x

Dengan menggunakan n = ½ pada R1, diperoleh bahwa u’ = (½)x½ atau u prime ~=~ 1/{2 sqrt{x}}.

Dari R11 diperoleh v prime ~=~ 1/x

Penerapan R14 memberikan:

 

Aturan Rantai (R15)

Misalkan y = f(u) dan u = g(x). Jika g diferensiabel di suatu titik x dan f diferensiabel di u = g(x) maka (f ∘ g) diferensiabel di x dan berlaku:

y’ = (f ∘ g)’(x) = f’(g(x)).g’(x) …………………………………………………………….. (*)

Dengan notasi Leibniz, (*) dapat dinyatakan sebagai:

{dy}/{dx} ~=~ {dy}/{du} ~.~ {du}/{dx}

 

Contoh 9

Diketahui y = sin (x2 + 5x). Tentukan y’.

 

Jawab:

sin (x2 + 5x) merupakan peta dari x oleh fungsi komposisi (f ∘ g), di mana f(u) = sin u dan g(x) = x2 + 5x.

Perhatikan bahwa {dy}/{du} ~=~ cos u dan {du}/{dx} ~=~ 2x ~+~ 5.

Dengan Aturan Rantai (R15), diperoleh:

{dy}/{dx} ~=~ (cos u)(2x ~+~ 5)

Substitusikan u = x2 + 5 ke dalam hasil tersebut, diperoleh:

{dy}/{dx} ~=~ delim{[}{cos (x^2 ~+~ 5x)}{]} (2x ~+~ 5)

{dy}/{dx} ~=~ (2x ~+~ 5) cos (x^2 ~+~ 5x)

 

Contoh 10

Diketahui y ~=~ root{3}{x^5 ~+~ 1}.

Tentukanlah y’.

 

Jawab:

root{3}{x^5 ~+~ 1} merupakan peta dari x oleh fungsi komposisi (f ∘ g), dengan f(u) ~=~ root{3}{u} dan g(x) = x5 + 1.

Penggunaan R1 dengan n = ⅓ memberikan hasil {dy}/{du} ~=~ {1/3} u^{- ~ 2/3}. Selanjutnya, {du}/{dx} ~=~ 5x^4.

Dengan Aturan Rantai, diperoleh:

{dy}/{dx} ~=~ {1/3} u^{- ~ 2/3} ~.~ (5x^4)

Substitusikan u = x5 + 1 ke dalam hasil tersebut, diperoleh:

{dy}/{dx} ~=~ {1/3} (x^5 ~+~ 1)^{- ~ 2/3} ~.~ (5x^4)

y prime ~=~ {5x^4}/3 (x^5 ~+~ 1)^{- ~ 2/3}

 

Aturan Rantai pun dapat digunakan dalam kasus komposisi lebih dari dua fungsi, selama fungsi-fungsi tersebut diferensiabel di titik-titik tempat keterdiferensialannya diperlukan. Sebagai contoh, jika y = f(u), u = g(v), dan v = h(x) maka

y’ = (f ∘ g ∘ h)’(x) = f’((g ∘ h)(x)).g’(h(x)).h’(x)

atau dengan notasi Leibniz ini dapat ditulis sebagai:

{dy}/{dx} ~=~ {dy}/{du} ~.~ {du}/{dv} ~.~ {dv}/{dx}

Kesamaan tersebut berlaku dengan syarat: h memiliki turunan di x, g memiliki turunan di h(x), dan f memiliki turunan di (g ∘ h)(x).

 

Contoh 11

Diketahui y = sin3 (9 – x4). Tentukanlah y’.

 

Jawab:

y dapat dinyatakan sebagai y = u3 dengan u = sin v dan v = 9 – x4. [y merupakan komposisi tiga buah fungsi (f ∘ g ∘ h), dengan f(u) = u3, g(v) = sin v, dan h(x) = 9 – x4.]

Perhatikan bahwa

{dy}/{du} ~=~ 3u^2

{du}/{dv} ~=~ cos v

{dv}/{dx} ~=~ - ~ 4x^3

Dengan Aturan Rantai diperoleh:

{dy}/{dx} ~=~ 3u^2 ~.~ cos v ~.~ (- ~ 4)x^3

Substitusikan u = sin v dan v = 9 – x4 ke dalam hasil tersebut, diperoleh:

{dy}/{dx} ~=~ 3 {sin}^2 v ~.~ cos (9 ~-~ x^4) ~.~ (- ~ 4)x^3

Substitusikan v = 9 – x4, diperoleh:

{dy}/{dx} ~=~ 3 {sin}^2 (9 ~-~ x^4) ~.~ cos (9 ~-~ x^4) ~.~ (- ~ 4)x^3

y prime ~=~ - ~ 12x^3 {sin}^2 (9 ~-~ x^4) ~.~ cos (9 ~-~ x^4)



Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *