PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI

Januari 10th, 2017

Pada post saya sebelumnya telah dibahas persamaan trigonometri sederhana. Kali ini akan diuraikan pertidaksamaan trigonometri sederhana, seperti:

  1. sin x > ½√2 untuk -3600 < x < 3600
  2. 2 cos (150 – 3y) + 1 ≤ 0 untuk -1800 < y < 1800
  3. tan 2w < 1 untuk -1800 ≤ w ≤ 2700

 

Pertidaksamaan trigonometri sederhana yang dimaksudkan di sini adalah pertidaksamaan trigonometri dengan salah satu bentuk umum berikut:

  1. f(x) > a, f(x) < a, f(x) ≥ a, atau f(x) ≤ a dengan a konstanta, f(x) merupakan salah satu dari sin x, cos x, atau tan x. Contoh: sin x > ½√2 untuk -3600 < x < 3600
  2. f(g(x)) > a, f(g(x)) < a, f(g(x)) ≥ a, atau f(g(x)) ≤ a dengan a konstanta, f(x) merupakan salah satu dari sin x, cos x, atau tan x, dan g(x) = mx + c untuk suatu m ≠ 0, c konstanta. Contoh: 2 cos (150 – 3x) + 1 ≤ 0 untuk -1800 < x < 1800

 

Sebelum ke cara umum penyelesaian pertidaksamaan trigonometri, mari kita lihat dulu grafik y = sin x untuk -3600 < x < 3600, atau dalam radian: -2π < x < 2π.

Gambar 1

 

Pada Gambar 1, kurva berwarna hitam adalah grafik dari y = sin x untuk -2π < x < 2π. Garis horizontal berwarna ungu merupakan garis dengan persamaan y = ½√2. Terlihat pada gambar tersebut bahwa sebagian kurva berada di atas garis ungu, sebagian di bawah. Kurva berada di atas garis ungu untuk -7π/4 < x < -5π/4 atau π/4 < x < 3π/4. Ini berarti bahwa pada selang-selang tersebut, sin x > ½√2. (Lihat bagian berwarna biru pada Gambar 2.) Pada selang lainnya dalam kisaran -2π < x < 2π, sin x ≤ ½√2. Jadi, pada selang-selang -2π < x ≤ -7π/4, -5π/4 ≤ x ≤ π/4, 3π/4 ≤ x < 2π, nilai sin x ≤ ½√2. (Lihat bagian berwarna merah pada Gambar 2.)

Gambar 2

 

Perhatikan bahwa ‘peralihan warna’ terjadi pada nilai-nilai x yang memenuhi persamaan sin x = ½√2. Dengan kata lain, ‘peralihan warna’ terjadi pada akar-akar persamaan sin x = ½√2. Contoh ini memberikan suatu ilustrasi bagaimana teknik menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri secara umum:

 

Langkah 1

Tentukan akar-akar persamaan trigonometri yang bersesuaian dengan pertidaksamaan trigonometri yang dipersoalkan. Secara teknis, persamaan trigonometri ini diperoleh dengan cara menggantikan tanda >, <, ≤, atau ≥ pada pertidaksamaan itu dengan tanda =.

 

Langkah 2

Tempatkan akar-akar persamaan tersebut pada suatu ruas garis yang merepresentasikan constraint (batas-batas, kendala) bagi nilai variabel pertidaksamaan yang diberikan. Apabila terdapat J buah akar, maka ruas garis tersebut akan terbagi menjadi (J+1) buah selang. [Pada contoh di atas, terdapat 4 buah akar, sehingga ruas garis yang dimaksud terbagi menjadi 5 buah selang. Pada Gambar 2, 5 buah selang tersebut diwarnai merah dan biru.] Khusus untuk pertidaksamaan trigonometri yang melibatkan fungsi tangen: nilai-nilai di mana garis asimtot terletak ditempatkan juga pada ruas garis tersebut. Seperti halnya akar-akar persamaan, nilai-nilai ini pun bersama akar-akar membentuk selang-selang

 

Langkah 3

Pilih salah satu selang pada Langkah 2 untuk dilakukan pengujian apakah selang tersebut mewakili jawaban yang diminta. Caranya: Ambillah suatu titik sembarang pada selang tersebut, substitusikan ke dalam pertidaksamaan yang diketahui. Apabila ternyata dihasilkan pernyataan yang benar, berarti selang tersebut mewakili sebagian dari jawaban yang diminta, yaitu jawaban bagi pertidaksamaan yang diberikan. [Pada Gambar 2, selang berwarna biru mewakili jawaban bagi pertidaksamaan yang diberikan. Selang berwarna merah mewakili yang bukan jawaban.] Dengan mengacu pada hasil pengujian ini, ‘warna’ selang yang lain dapat ditentukan dengan mudah. Pada ruas garis tersebut, titik-titik yang mewakili akar atau letak asimtot selalu memisahkan “dua warna” tersebut.

 

Langkah 4

Berdasarkan hasil pengujian pada Langkah 3, tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan.

 

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari tan 2w < 1 untuk -π < w < 3π/2.

 

Jawab:

Langkah 1

Persamaan trigonometri yang berseseuaian dengan pertidaksamaan yang diberikan adalah:

tan 2w = 1 untuk -π < w < 3π/2

Dengan menggunakan rumus (3) pada post saya sebelumnya, diperoleh bahwa akar-akar persamaan ini adalah -7π/8, -3π/8, π/8, 5π/8, dan 9π/8.

 

Langkah 2

Karena pertidaksamaan ini melibatkan fungsi tangen, kita perlu mencari terlebih dahulu di mana asimtot terdapat. Jika y = tan 2w, asimtot terjadi apabila

2w = π/2 + k.π dengan k ∊ ℤ

w = π/4 + k.π/2 dengan k ∊ ℤ

Karena -π < w < 3π/2, hanya terdapat 5 buah asimtot garis asimtot, yaitu dengan persamaan w = -3π/4, w = -π/4, w = π/4, w = 3π/4, dan w = 5π/4.

Sekarang, akar-akar persamaan pada Langkah 1 dan letak-letak asimtot kita tempatkan dalam ruas garis bilangan sebagai berikut.

Gambar 3

 

Seperti terlihat pada Gambar 3, letak-letak asimtot (ditandai dengan garis putus-putus vertikal) dan akar-akar persamaan bersama-sama membentuk 11 selang.

 

Langkah 3

Untuk melakukan pengujian selang, kita pilih salah satu selang, misalnya selang –π/4 < w < π/8. Pilih salah satu titik pada selang tersebut, misalnya w = 0. Substitusikan nilai ini ke dalam pertidaksamaan tan 2w < 1, ternyata memberikan pernyataan yang benar. Tandai selang ini sebagai salah satu bagian dari himpunan penyelesaian. (Pada Gambar 4, daerah ini ditandai dengan warna biru.)

Gambar 4

Dengan telah diketahuinya ‘warna’ salah satu selang, ‘warna’ selang lainnya dapat dengan mudah ditentukan, karena ‘warna’ yang berbeda harus saling ‘bersebelahan’. Jadi, ‘warna’ masing-masing selang itu adalah sebagaimana dapat dilihat pada Gambar 5 di bawah ini.

Gambar 5

 

Langkah 4

Berdasarkan hasil pada Langkah 3, himpunan penyelesaian pertidaksamaan ini adalah:

HP = {w ∊ ℝ| -π <w< -7π/8 ⊻ -3π/4 <w< -3π/8 ⊻ -π/4 <w< π/8 ⊻ π/4 <w< 5π/8 ⊻ 3π/4 <w< 9π/8 ⊻ 5π/4 <w< 3π/2}

 

 

Tagging:

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *