PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Januari 8th, 2017

Penyelesaian suatu persamaan trigonometri seperti:

sin x = 0,5

2 cos x = √3

tan (2x – π/3) = 1

mungkin memiliki lebih dari satu jawab, mengingat fungsi-fungsi semacam itu bersifat periodik. Sebagai contoh: (lihat Gambar 1)

sin π/6 = 0,5                       atau, dalam derajat: sin 300 = 0,5

sin 5π/6 = 0,5                     atau, dalam derajat: sin 1500 = 0,5

sin (-11π/6) = 0,5              atau, dalam derajat: sin (-3300) = 0,5

sin (-7π/6) = 0,5                atau, dalam derajat: sin (-2100) = 0,5

sehingga persamaan trigonometri sin x = 0,5 memiliki lebih dari satu jawaban apabila tidak ada pembatasan bagi nilai x. Ini adalah contoh persamaan trigonometri yang tidak menggunakan pembatas (unrestricted). Lain halnya apabila persamaannya adalah sin x = 0,5 dengan 0 < x < 900. Di sini nilai x dibatasi pada kisaran tersebut, sehingga persamaan tersebut hanya memiliki satu jawab, yaitu x = 300. Ini merupakan contoh persamaan trigonometri yang menggunakan pembatas (restricted).

 

Jadi, secara umum, penyelesaian persamaan trigonometri yang menggunakan pembatas memerlukan dua tahap:

  1. Mencari solusi umum persamaan trigonometri (ini menghasilkan tak berhingga banyaknya jawab)
  2. ‘Menyortir’ solusi umum pada langkah 1 agar supaya jawaban/solusi yang diberikan tidak melanggar batas yang diberikan.

 

Untuk mencari solusi umum (Langkah 1), gunakan rumus-rumus berikut.

sin x = sin α ⇔ x = α + k.2π atau x = (π – α) + k.2π ; k ∊ ℤ   ……………………………………….. (1)

cos x = cos α ⇔ x = α + k.2π atau x = -α + k.2π ; k ∊ ℤ       …………………………………………….. (2)

tan x = tan α ⇔ x = α + k.π; k ∊ ℤ                                             …………………………………………. (3)

atau, apabila x dalam derajat (dan α pun dalam derajat), maka

sin x = sin α ⇔ x = α + k.3600 atau x = (1800 – α) + k.3600 ; k ∊ ℤ   ………………………………… (4)

cos x = cos α ⇔ x = α + k.3600 atau x = -α + k.3600 ; k ∊ ℤ ……………………………………… (5)

tan x = tan α ⇔ x = α + k.1800 ; k ∊ ℤ   ……………………………………………………………………… (6)

Catatan:

Pada rumus-rumus tersebut, ℤ = himpunan semua bilangan bulat (integers)

 

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian bagi:

2 sin x = √2 untuk -3600 < x < 3600.

 

Jawab:

Kalikan kedua ruas 2 sin x = √2 dengan ½, diperoleh:

sin x = ½√2

Karena sin 450 = ½√2, persamaan di atas dapat dinyatakan kembali sebagai:

sin x = sin 450

Penggunaan rumus (4) menghasilkan

x = 450 + k.3600 ; k ∊ ℤ   atau x = (1800 – 450) + k.3600; k ∊ ℤ

x = 450 + k.3600 ; k ∊ ℤ   atau x = 1350 + k.3600; k ∊ ℤ [Inilah solusi umum.]

Untuk mencari solusi bagi persamaan yang dipersoalkan, kita perlu menyortir nilai-nilai x yang tidak melanggar batas yang diberikan. Untuk itu kita substitusikan beberapa nilai k (bilangan bulat) ke dalam solusi umum, untuk masing-masing kemungkinan jawab.

Untuk x = 450 + k.3600 ; k ∊ ℤ:

Untuk x = 1350 + k.3600 ; k ∊ ℤ:

Dari kedua tabel di atas, dapat disimpulkan himpunan penyelesaian bagi persamaan tersebut adalah HP = {-3150, 450, -2250, 1350}

 

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian bagi:

cos (2y + 300) = -½ untuk -2700 < y < 2700

 

Jawab:

Karena cos 1200 = -½, persamaan tersebut dapat dinyatakan kembali sebagai

cos (2y + 300) = cos 1200

Penggunaan rumus (5) menghasilkan

2y + 300 = 1200 + k.3600 ; k ∊ ℤ atau 2y + 300 = -1200 + k.3600 ; k ∊ ℤ

2y = 900 + k.3600 ; k ∊ ℤ atau 2y = -1500 + k.3600 ; k ∊ ℤ

y = 450 + k.1800 ; k ∊ ℤ atau y = -750 + k.1800 ; k ∊ ℤ [Inilah solusi umum.]

Untuk mencari solusi bagi persamaan yang dipersoalkan, kita perlu menyortir nilai-nilai y yang tidak melanggar batas yang diberikan. Untuk itu kita substitusikan beberapa nilai k (bilangan bulat) ke dalam solusi umum, untuk masing-masing kemungkinan jawab.

 

Untuk y = 450 + k.1800 ; k ∊ ℤ:

Untuk y = -750 + k.1800 ; k ∊ ℤ:

Dari kedua tabel di atas, dapat disimpulkan himpunan penyelesaian bagi persamaan tersebut adalah HP = {-1350, 450, 2250, -2550, -750, 1050}

 



Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *