Penyelesaian suatu persamaan trigonometri seperti:
sin x = 0,5
2 cos x = √3
tan (2x – π/3) = 1
mungkin memiliki lebih dari satu jawab, mengingat fungsi-fungsi semacam itu bersifat periodik. Sebagai contoh: (lihat Gambar 1)
sin π/6 = 0,5 atau, dalam derajat: sin 300 = 0,5
sin 5π/6 = 0,5 atau, dalam derajat: sin 1500 = 0,5
sin (-11π/6) = 0,5 atau, dalam derajat: sin (-3300) = 0,5
sin (-7π/6) = 0,5 atau, dalam derajat: sin (-2100) = 0,5
sehingga persamaan trigonometri sin x = 0,5 memiliki lebih dari satu jawaban apabila tidak ada pembatasan bagi nilai x. Ini adalah contoh persamaan trigonometri yang tidak menggunakan pembatas (unrestricted). Lain halnya apabila persamaannya adalah sin x = 0,5 dengan 0 < x < 900. Di sini nilai x dibatasi pada kisaran tersebut, sehingga persamaan tersebut hanya memiliki satu jawab, yaitu x = 300. Ini merupakan contoh persamaan trigonometri yang menggunakan pembatas (restricted).
Jadi, secara umum, penyelesaian persamaan trigonometri yang menggunakan pembatas memerlukan dua tahap:
Mencari solusi umum persamaan trigonometri (ini menghasilkan tak berhingga banyaknya jawab)
‘Menyortir’ solusi umum pada langkah 1 agar supaya jawaban/solusi yang diberikan tidak melanggar batas yang diberikan.
Untuk mencari solusi umum (Langkah 1), gunakan rumus-rumus berikut.
sin x = sin α ⇔ x = α + k.2π atau x = (π – α) + k.2π ; k ∊ ℤ ……………………………………….. (1)
cos x = cos α ⇔ x = α + k.2π atau x = -α + k.2π ; k ∊ ℤ …………………………………………….. (2)
tan x = tan α ⇔ x = α + k.π; k ∊ ℤ …………………………………………. (3)
atau, apabila x dalam derajat (dan α pun dalam derajat), maka
sin x = sin α ⇔ x = α + k.3600 atau x = (1800 – α) + k.3600 ; k ∊ ℤ ………………………………… (4)
cos x = cos α ⇔ x = α + k.3600 atau x = -α + k.3600 ; k ∊ ℤ ……………………………………… (5)
tan x = tan α ⇔ x = α + k.1800 ; k ∊ ℤ ……………………………………………………………………… (6)
Catatan:
Pada rumus-rumus tersebut, ℤ = himpunan semua bilangan bulat (integers)
Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian bagi:
2 sin x = √2 untuk -3600 < x < 3600.
Jawab:
Kalikan kedua ruas 2 sin x = √2 dengan ½, diperoleh:
sin x = ½√2
Karena sin 450 = ½√2, persamaan di atas dapat dinyatakan kembali sebagai:
sin x = sin 450
Penggunaan rumus (4) menghasilkan
x = 450 + k.3600 ; k ∊ ℤ atau x = (1800 – 450) + k.3600; k ∊ ℤ
x = 450 + k.3600 ; k ∊ ℤ atau x = 1350 + k.3600; k ∊ ℤ [Inilah solusi umum.]
Untuk mencari solusi bagi persamaan yang dipersoalkan, kita perlu menyortir nilai-nilai x yang tidak melanggar batas yang diberikan. Untuk itu kita substitusikan beberapa nilai k (bilangan bulat) ke dalam solusi umum, untuk masing-masing kemungkinan jawab.
Untuk x = 450 + k.3600 ; k ∊ ℤ:
Untuk x = 1350 + k.3600 ; k ∊ ℤ:
Dari kedua tabel di atas, dapat disimpulkan himpunan penyelesaian bagi persamaan tersebut adalah HP = {-3150, 450, -2250, 1350}
Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian bagi:
cos (2y + 300) = -½ untuk -2700 < y < 2700
Jawab:
Karena cos 1200 = -½, persamaan tersebut dapat dinyatakan kembali sebagai
cos (2y + 300) = cos 1200
Penggunaan rumus (5) menghasilkan
2y + 300 = 1200 + k.3600 ; k ∊ ℤ atau 2y + 300 = -1200 + k.3600 ; k ∊ ℤ
2y = 900 + k.3600 ; k ∊ ℤ atau 2y = -1500 + k.3600 ; k ∊ ℤ
y = 450 + k.1800 ; k ∊ ℤ atau y = -750 + k.1800 ; k ∊ ℤ [Inilah solusi umum.]
Untuk mencari solusi bagi persamaan yang dipersoalkan, kita perlu menyortir nilai-nilai y yang tidak melanggar batas yang diberikan. Untuk itu kita substitusikan beberapa nilai k (bilangan bulat) ke dalam solusi umum, untuk masing-masing kemungkinan jawab.
Untuk y = 450 + k.1800 ; k ∊ ℤ:
Untuk y = -750 + k.1800 ; k ∊ ℤ:
Dari kedua tabel di atas, dapat disimpulkan himpunan penyelesaian bagi persamaan tersebut adalah HP = {-1350, 450, 2250, -2550, -750, 1050}
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Penyelesaian suatu persamaan trigonometri seperti:
sin x = 0,5
2 cos x = √3
tan (2x – π/3) = 1
mungkin memiliki lebih dari satu jawab, mengingat fungsi-fungsi semacam itu bersifat periodik. Sebagai contoh: (lihat Gambar 1)
sin π/6 = 0,5 atau, dalam derajat: sin 300 = 0,5
sin 5π/6 = 0,5 atau, dalam derajat: sin 1500 = 0,5
sin (-11π/6) = 0,5 atau, dalam derajat: sin (-3300) = 0,5
sin (-7π/6) = 0,5 atau, dalam derajat: sin (-2100) = 0,5
sehingga persamaan trigonometri sin x = 0,5 memiliki lebih dari satu jawaban apabila tidak ada pembatasan bagi nilai x. Ini adalah contoh persamaan trigonometri yang tidak menggunakan pembatas (unrestricted). Lain halnya apabila persamaannya adalah sin x = 0,5 dengan 0 < x < 900. Di sini nilai x dibatasi pada kisaran tersebut, sehingga persamaan tersebut hanya memiliki satu jawab, yaitu x = 300. Ini merupakan contoh persamaan trigonometri yang menggunakan pembatas (restricted).
Jadi, secara umum, penyelesaian persamaan trigonometri yang menggunakan pembatas memerlukan dua tahap:
Untuk mencari solusi umum (Langkah 1), gunakan rumus-rumus berikut.
sin x = sin α ⇔ x = α + k.2π atau x = (π – α) + k.2π ; k ∊ ℤ ……………………………………….. (1)
cos x = cos α ⇔ x = α + k.2π atau x = -α + k.2π ; k ∊ ℤ …………………………………………….. (2)
tan x = tan α ⇔ x = α + k.π; k ∊ ℤ …………………………………………. (3)
atau, apabila x dalam derajat (dan α pun dalam derajat), maka
sin x = sin α ⇔ x = α + k.3600 atau x = (1800 – α) + k.3600 ; k ∊ ℤ ………………………………… (4)
cos x = cos α ⇔ x = α + k.3600 atau x = -α + k.3600 ; k ∊ ℤ ……………………………………… (5)
tan x = tan α ⇔ x = α + k.1800 ; k ∊ ℤ ……………………………………………………………………… (6)
Catatan:
Pada rumus-rumus tersebut, ℤ = himpunan semua bilangan bulat (integers)
Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian bagi:
2 sin x = √2 untuk -3600 < x < 3600.
Jawab:
Kalikan kedua ruas 2 sin x = √2 dengan ½, diperoleh:
sin x = ½√2
Karena sin 450 = ½√2, persamaan di atas dapat dinyatakan kembali sebagai:
sin x = sin 450
Penggunaan rumus (4) menghasilkan
x = 450 + k.3600 ; k ∊ ℤ atau x = (1800 – 450) + k.3600; k ∊ ℤ
x = 450 + k.3600 ; k ∊ ℤ atau x = 1350 + k.3600; k ∊ ℤ [Inilah solusi umum.]
Untuk mencari solusi bagi persamaan yang dipersoalkan, kita perlu menyortir nilai-nilai x yang tidak melanggar batas yang diberikan. Untuk itu kita substitusikan beberapa nilai k (bilangan bulat) ke dalam solusi umum, untuk masing-masing kemungkinan jawab.
Untuk x = 450 + k.3600 ; k ∊ ℤ:
Untuk x = 1350 + k.3600 ; k ∊ ℤ:
Dari kedua tabel di atas, dapat disimpulkan himpunan penyelesaian bagi persamaan tersebut adalah HP = {-3150, 450, -2250, 1350}
Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian bagi:
cos (2y + 300) = -½ untuk -2700 < y < 2700
Jawab:
Karena cos 1200 = -½, persamaan tersebut dapat dinyatakan kembali sebagai
cos (2y + 300) = cos 1200
Penggunaan rumus (5) menghasilkan
2y + 300 = 1200 + k.3600 ; k ∊ ℤ atau 2y + 300 = -1200 + k.3600 ; k ∊ ℤ
2y = 900 + k.3600 ; k ∊ ℤ atau 2y = -1500 + k.3600 ; k ∊ ℤ
y = 450 + k.1800 ; k ∊ ℤ atau y = -750 + k.1800 ; k ∊ ℤ [Inilah solusi umum.]
Untuk mencari solusi bagi persamaan yang dipersoalkan, kita perlu menyortir nilai-nilai y yang tidak melanggar batas yang diberikan. Untuk itu kita substitusikan beberapa nilai k (bilangan bulat) ke dalam solusi umum, untuk masing-masing kemungkinan jawab.
Untuk y = 450 + k.1800 ; k ∊ ℤ:
Untuk y = -750 + k.1800 ; k ∊ ℤ:
Dari kedua tabel di atas, dapat disimpulkan himpunan penyelesaian bagi persamaan tersebut adalah HP = {-1350, 450, 2250, -2550, -750, 1050}
Bagikan ini:
Most visitors also read :
BERKENALAN DENGAN NILAI DAN VEKTOR EIGEN
DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SINGULAR VALUE DECOMPOSITION)
MATRIKS AKAR KUADRAT
SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA