PERJUMPAAN AWAL DENGAN TOPOLOGI

Oktober 9th, 2016

Minggu ini dunia digemparkan oleh tiga orang jenius yaitu Thouless, Haldane, dan Kosterlitz. Ketiga orang tersebut meraih Nobel Fisika 2016. Mereka berhasil menguak sifat-sifat fisika pada materi yang sangat tipis. Dengan menggunakan salah satu cabang dalam matematika yang dinamakan topologi, Thouless berhasil memberikan penjelasan terhadap salah satu teka-teki yang belum terjawab dalam quantum Hall effect. Khususnya, topologi ini digunakan untuk menjelaskan konduktansi listrik yang diperoleh dalam quantum Hall effect, di mana konduktansi listrik tersebut hanya berubah dalam tahap-tahap yang merupakan kelipatan bilangan bulat. Quantum Hall effect itu sendiri ditemukan oleh Klaus von Klitzing pada tahun 1980. Namun saat itu Klitzing tidak berhasil menemukan jawaban mengapa perubahan konduktansi listrik tersebut terjadi secara bertahap menurut kelipatan bilangan bulat; pada awalnya konduktansi tersebut dua kali semula, berikutnya menjadi tiga kalinya, berikutnya menjadi empat kalinya, dan seterusnya. Keanehan inilah yang kemudian dijawab Thouless dengan menggunakan topologi.

 

Apakah topologi itu?

Merriam-Webster’s Vocabulary Builder menjelaskan top berasal dari topos, suatu kata dalam bahasa Yunani yang berarti β€œtempat”. Hollands, dalam Kamus Matematika yang ditulisnya menerangkan topologi sebagai pelajaran tentang sifat-sifat dari gambar-gambar yang tinggal tidak berubah jika gambar-gambar itu diregangkan atau ditekuk, tetapi tidak dirobek. Topologi ini kadang-kadang disebut ilmu ukur lembar karet. Dalam topologi dipelajari bagaimana sifat-sifat tertentu dari objek tetap bertahan/tidak rusak apabila objek-objek tersebut diregangkan, diputar, atau di-deformasi.

topologi

Tanpa merobek, bentuk persegi pada Gambar 1 dapat diubah menjadi lingkaran pada Gambar 2 maupun menjadi bentuk pada Gambar 3. Titik P tetap tinggal di dalam ketiga bentuk itu. (Itulah sebabnya topologi disebut juga ilmu ukur lembar karet.)

 

Kalau begitu, dalam matematika apakah arti topologi itu?

 

Definisi

Suatu topologi pada himpunan X adalah suatu koleksi 𝕡 yang beranggotakan himpunan-himpunan bagian dari X, yang memenuhi ketiga syarat berikut.

  1. βˆ…, X ∊ 𝕡
  2. Gabungan (union) berapa banyaknya pun anggota-anggota 𝕡 merupakan anggota 𝕡
  3. Irisan (intersection) dari sejumlah berhingga anggota-anggota 𝕡 merupakan anggota 𝕡

Suatu himpunan X yang dilengkapi dengan topologi 𝕡 dinamakan ruang topologi. Ruang topologi ini dilambangkan dengan (X,𝕡)

 

Contoh 1 (topologi)

Misalkan X = {1, 2, 3} dan 𝕡 = {βˆ…, X, {1, 2}, {2}, {2, 3}}.

Dengan pendefinisikan 𝕡 seperti itu, 𝕡 merupakan suatu topologi pada X dan (X,𝕡) merupakan ruang topologi. 𝕡 pada contoh ini memenuhi ketiga syarat topologi sebagaimana diuraikan pada definisi di atas.

 

Contoh 2 (bukan topologi)

Misalkan Y = {1, 2, 3} dan 𝕢 = {βˆ…, Y, {1, 2}, {2, 3}}.

Pada contoh ini 𝕢 bukanlah suatu topologi pada Y. Walaupun 𝕢 memenuhi syarat (1) dan (2), tetapi 𝕢 tidak memenuhi syarat (3). Sebagai bukti, perhatikan bahwa {1, 2} ∊ 𝕢 dan {2, 3} ∊ 𝕢. Tetapi {1, 2} ∩ {2, 3} = {2} βˆ‰ 𝕢.

 

Contoh 3 (topologi)

Misalkan A adalah suatu himpunan dan 2A adalah koleksi yang beranggotakan semua himpunan bagian dari A (yaitu himpunan kuasa dari A). (A,2A) merupakan suatu ruang topologi yang dinamakan ruang topologi diskrit (discrete topology).

 

Contoh 4 (topologi)

Misalkan A suatu himpunan dan 𝕷 = {A, βˆ…}. 𝕷 hanya beranggotakan dua buah anggota yaitu himpunan kosong dan himpunan A itu sendiri. 𝕷 merupakan suatu topologi pada A dan dinamakan indiscrete topology atau trivial topology.

Tagging: , , , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *