Judul di atas barangkali memberikan kesan dalam pikiran kita adanya jalan yang sedemikian panjangnya atau suatu tempat tujuan yang demikian jauhnya sehingga perjalanan seolah tanpa akhir. Padahal perjalanan yang dimaksud di sini adalah perjalanan menuju suatu tembok yang jaraknya 2 meter dari titik berangkat! Mengapa bisa perjalanan tersebut tanpa akhir?
Andre dan Burhan sama-sama berdiri sejauh 2 meter dari suatu tembok. Keduanya bermaksud berjalan menuju arah tembok. Namun keduanya memakai dua cara berbeda dalam menempuh perjalanan tersebut. Cara Andre: tiap satu detik ia melangkah sejauh 40 cm ke arah tembok. Cara Burhan: tiap satu detik ia melangkah sejauh setengahnya dari sisa jalan yang harus ditempuh ke arah tembok. Dengan cara Burhan ini, setelah 1 detik, jaraknya ke tembok sisa 1 meter, setelah 2 detik jaraknya ke tembok tinggal ½ meter, setelah 3 detik jaraknya tinggal ¼ meter, setelah 4 detik tinggal 1/8 meter, setelah 5 detik tinggal 1/16 meter, demikian seterusnya. Mana di antara Andre dan Burhan ini yang akan tiba duluan di tembok?
Andre akan tiba duluan. Setiap detiknya Andre menempuh perjalanan sejauh 40 cm. Jadi, jaraknya ke tembok sejauh 2 meter = 200 cm dapat ditempuhnya dalam waktu 5 detik! Sedangkan dalam waktu 5 detik tersebut, jarak yang masih harus ditempuh Burhan adalah 1/16 meter = 6,25 cm. Sisa perjalanan mereka (dalam satuan meter) di detik ke-n dapat dilihat di tabel sbb.
n (detik)
0
1
2
3
4
5
Andre
2
1,6
1,2
0,8
0,4
0
Burhan
2
1
1/2
1/4
1/8
1/16
Pertanyaan selanjutnya adalah kapankah Burhan tiba? Dengan cara seperti ini, Burhan tidak akan pernah tiba di tujuannya. Setiap detik perjalanan yang ia lalui selalu menyisakan jarak yang masih harus ditempuh.
Menggunakan istilah dalam matematika, jarak-jarak yang tersisa di saat n detik perjalanan Burhan merupakan suatu barisan bilangan nyata. Sisa perjalanan Burhan pada detik ke-n dapat dinyatakan dengan (un), dengan un = 21-n. Secara lebih khusus, barisan ini merupakan suatu contoh suatu barisan yang dinamakan dengan barisan geometri.
Suatu barisan (un) disebut barisan geometri (disingkat BG) apabila terdapat a, r ∊ ℝ dengan r ∉ {0, 1}, a ≠ 0 dan un = arn-1 untuk setiap n ∊ ℕ. a dinamakan suku awal atau suku pertama dan r dinamakan rasio. u2 dinamakan suku ke-2, diperoleh dengan mengalikan a (= u1) dengan r. Jadi, u2 = r.u1 = r.a. Selanjutnya, u3 dinamakan suku ke-3, diperoleh dengan mengalikan u2 dengan r. Jadi, u3 = r.u2. Demikian seterusnya, dan berlaku un+1 = r.un untuk setiap n ∊ ℕ.
Perhatikan beberapa contoh berikut:
BG dengan suku awal 5 dan rasio 2 (a = 5, r = 2): 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, …
BG dengan suku awal 81 dan rasio 1/3 (a = 81, r = 1/3): 81, 27, 9, 3, 1, 1/3, 1/9, …
BG dengan suku awal -2 dan rasio 3 (a = -2, r = 3): -2, -6, -18, -54, -162, …
BG dengan suku awal 3 dan rasio -10 (a = 3, r = -10): 3, -30, 300, -3000, 30000, -300000, …
Rumus un = arn-1 dapat digunakan untuk menghitung suku ke-n dari suatu barisan geometri apabila suku awal dan rasionya diketahui. Sebagai contoh, jika diketahui suatu barisan geometri yang suku awalnya 2,5 dan rasionya 2, kita dapat menghitung nilai suku ke-10 sebagai berikut:
Jumlah parsial sampai dengan suku ke-n (yaitu sn) dari suatu barisan geometri adalah:
atau
Catatan: sn = u1 + u2 + u3 + u4 + … + un
Sebagai contoh, jika diketahui suatu barisan geometri yang suku awalnya 2,5 dan rasionya 2, kita dapat menghitung jumlah parsial sampai dengan suku ke-4 (yaitu s4) sebagai berikut.
[Perhatikan bahwa s4 = u1 + u2 + u3 + u4 = 2,5 + 5 +10 + 20 = 37,5]
Barisan (sn) dengan sn sebagaimana dirumuskan di atas dinamakan deret geometri. Dalam deret geometri, apabila 0 < r < 1 atau -1 < r < 0, deret tersebut akan menuju ke suatu nilai s∞ seiring dengan bertambahnya n. Dengan kata lain, deret tersebut akan konvergen (atau menuju) ke suatu nilai s∞. Nilai s∞ dapat ditentukan sebagai berikut.
Pada contoh di awal tulisan ini, di detik ke-1 jarak yang ditempuh Burhan adalah 1 meter (s1 = u1 = 1 m), di detik ke-2 jarak yang ditempuh Burhan adalah 1,5 meter (s2 = u1 + u2 = 1 m + 0,5 m = 1,5 m), di detik ke-3 total jarak tempuhnya 1,75 meter (s3 = u1 + u2 + u3 = 1 m + 0,5 m + 0,25 m = 1,75 m), demikian seterusnya. Nilai s1, s2, s3, s4, … akan menuju ke nilai 2 meter seiring dengan bertambahnya nilai n. Nilai 2 meter tersebut diperoleh dari:
Namun, 2 meter tersebut tidak akan pernah bisa dicapai, walaupun semakin didekati. (“Semakin dekat namun tak kunjung tiba.”) Ini disebabkan aturan yang ditetapkan Burhan sendiri, yaitu bahwa ia harus selalu menyisakan setengahnya dari sisa jalan yang belum ditempuh!
Topik-topik lain yang berkenaan dengan barisan dan deret dapat diunduh dari tautan-tautan berikut ini.
PERJALANAN TANPA AKHIR
Judul di atas barangkali memberikan kesan dalam pikiran kita adanya jalan yang sedemikian panjangnya atau suatu tempat tujuan yang demikian jauhnya sehingga perjalanan seolah tanpa akhir. Padahal perjalanan yang dimaksud di sini adalah perjalanan menuju suatu tembok yang jaraknya 2 meter dari titik berangkat! Mengapa bisa perjalanan tersebut tanpa akhir?
Andre dan Burhan sama-sama berdiri sejauh 2 meter dari suatu tembok. Keduanya bermaksud berjalan menuju arah tembok. Namun keduanya memakai dua cara berbeda dalam menempuh perjalanan tersebut. Cara Andre: tiap satu detik ia melangkah sejauh 40 cm ke arah tembok. Cara Burhan: tiap satu detik ia melangkah sejauh setengahnya dari sisa jalan yang harus ditempuh ke arah tembok. Dengan cara Burhan ini, setelah 1 detik, jaraknya ke tembok sisa 1 meter, setelah 2 detik jaraknya ke tembok tinggal ½ meter, setelah 3 detik jaraknya tinggal ¼ meter, setelah 4 detik tinggal 1/8 meter, setelah 5 detik tinggal 1/16 meter, demikian seterusnya. Mana di antara Andre dan Burhan ini yang akan tiba duluan di tembok?
Andre akan tiba duluan. Setiap detiknya Andre menempuh perjalanan sejauh 40 cm. Jadi, jaraknya ke tembok sejauh 2 meter = 200 cm dapat ditempuhnya dalam waktu 5 detik! Sedangkan dalam waktu 5 detik tersebut, jarak yang masih harus ditempuh Burhan adalah 1/16 meter = 6,25 cm. Sisa perjalanan mereka (dalam satuan meter) di detik ke-n dapat dilihat di tabel sbb.
Pertanyaan selanjutnya adalah kapankah Burhan tiba? Dengan cara seperti ini, Burhan tidak akan pernah tiba di tujuannya. Setiap detik perjalanan yang ia lalui selalu menyisakan jarak yang masih harus ditempuh.
Menggunakan istilah dalam matematika, jarak-jarak yang tersisa di saat n detik perjalanan Burhan merupakan suatu barisan bilangan nyata. Sisa perjalanan Burhan pada detik ke-n dapat dinyatakan dengan (un), dengan un = 21-n. Secara lebih khusus, barisan ini merupakan suatu contoh suatu barisan yang dinamakan dengan barisan geometri.
Suatu barisan (un) disebut barisan geometri (disingkat BG) apabila terdapat a, r ∊ ℝ dengan r ∉ {0, 1}, a ≠ 0 dan un = arn-1 untuk setiap n ∊ ℕ. a dinamakan suku awal atau suku pertama dan r dinamakan rasio. u2 dinamakan suku ke-2, diperoleh dengan mengalikan a (= u1) dengan r. Jadi, u2 = r.u1 = r.a. Selanjutnya, u3 dinamakan suku ke-3, diperoleh dengan mengalikan u2 dengan r. Jadi, u3 = r.u2. Demikian seterusnya, dan berlaku un+1 = r.un untuk setiap n ∊ ℕ.
Perhatikan beberapa contoh berikut:
BG dengan suku awal 5 dan rasio 2 (a = 5, r = 2): 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, …
BG dengan suku awal 81 dan rasio 1/3 (a = 81, r = 1/3): 81, 27, 9, 3, 1, 1/3, 1/9, …
BG dengan suku awal -2 dan rasio 3 (a = -2, r = 3): -2, -6, -18, -54, -162, …
BG dengan suku awal 3 dan rasio -10 (a = 3, r = -10): 3, -30, 300, -3000, 30000, -300000, …
Rumus un = arn-1 dapat digunakan untuk menghitung suku ke-n dari suatu barisan geometri apabila suku awal dan rasionya diketahui. Sebagai contoh, jika diketahui suatu barisan geometri yang suku awalnya 2,5 dan rasionya 2, kita dapat menghitung nilai suku ke-10 sebagai berikut:
u10 = 2,5 . 210-1 = 2,5 . 29 = 2,5 . 512 = 1280
dan nilai suku ke-15 sebagai berikut:
u15 = 2,5 . 215-1 = 2,5 . 214 = 2,5 . 16384 = 40960
Jumlah parsial sampai dengan suku ke-n (yaitu sn) dari suatu barisan geometri adalah:
atau
Catatan: sn = u1 + u2 + u3 + u4 + … + un
Sebagai contoh, jika diketahui suatu barisan geometri yang suku awalnya 2,5 dan rasionya 2, kita dapat menghitung jumlah parsial sampai dengan suku ke-4 (yaitu s4) sebagai berikut.
[Perhatikan bahwa s4 = u1 + u2 + u3 + u4 = 2,5 + 5 +10 + 20 = 37,5]
Barisan (sn) dengan sn sebagaimana dirumuskan di atas dinamakan deret geometri. Dalam deret geometri, apabila 0 < r < 1 atau -1 < r < 0, deret tersebut akan menuju ke suatu nilai s∞ seiring dengan bertambahnya n. Dengan kata lain, deret tersebut akan konvergen (atau menuju) ke suatu nilai s∞. Nilai s∞ dapat ditentukan sebagai berikut.
Pada contoh di awal tulisan ini, di detik ke-1 jarak yang ditempuh Burhan adalah 1 meter (s1 = u1 = 1 m), di detik ke-2 jarak yang ditempuh Burhan adalah 1,5 meter (s2 = u1 + u2 = 1 m + 0,5 m = 1,5 m), di detik ke-3 total jarak tempuhnya 1,75 meter (s3 = u1 + u2 + u3 = 1 m + 0,5 m + 0,25 m = 1,75 m), demikian seterusnya. Nilai s1, s2, s3, s4, … akan menuju ke nilai 2 meter seiring dengan bertambahnya nilai n. Nilai 2 meter tersebut diperoleh dari:
Namun, 2 meter tersebut tidak akan pernah bisa dicapai, walaupun semakin didekati. (“Semakin dekat namun tak kunjung tiba.”) Ini disebabkan aturan yang ditetapkan Burhan sendiri, yaitu bahwa ia harus selalu menyisakan setengahnya dari sisa jalan yang belum ditempuh!
Topik-topik lain yang berkenaan dengan barisan dan deret dapat diunduh dari tautan-tautan berikut ini.
(link belum tersedia)
LATIHAN SOAL BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Bagikan ini:
Most visitors also read :
BERKENALAN DENGAN NILAI DAN VEKTOR EIGEN
DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SINGULAR VALUE DECOMPOSITION)
MATRIKS AKAR KUADRAT
SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA