PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER SECARA ANALITIK

Desember 24th, 2016

Di post saya yang lalu, sudah diajarkan metode eliminasi dan substitusi. Ada cara lain yang disebut dengan cara analitik. Perhatikan contoh berikut.

 

Contoh 1

Misalkan diketahui sistem persamaan linier sebagai berikut:

Jika x = x0 dan y = y0 merupakan penyelesaian sistem persamaan tersebut, maka penyelesaian tersebut haruslah merupakan penyelesaian dari persamaan berikut, untuk setiap L ∊ ℝ:

(2x + 5y + 3) + L(-3x + 7y + 10) = 0

⇔ (2 – 3L)x + (5 + 7L)y + (3 + 10L) = 0   ………………………………………….. (*)

Untuk menentukan nilai x, koefisien y dibuat nol, yaitu menggunakan L ~=~ - ~ 5/7. Substitusikan nilai L ini ke dalam (*), diperoleh:

{29}/7 x ~-~ {29}/7 ~=~ 0

Dari sini diperoleh x = 1.

Untuk menentukan nilai y, koefisien x dibuat nol, yaitu menggunakan L ~=~ 2/3. Substitusikan nilai L ini ke dalam (*), diperoleh:

{29}/3 y + {29}/3 ~=~ 0

Dari sini diperoleh y = -1.

Jadi, penyelesaian untuk sistem persamaan linier tersebut adalah x = 1 dan y = -1.

Dengan kata lain, (1,-1) merupakan koordinat titik potong antara garis-garis dengan persamaan 2x + 5y + 3 = 0 dan -3x + 7y + 10 = 0

 

Catatan:

Cara ini memang cukup ‘praktis’ apabila sistem persamaan liniernya hanya melibatkan dua anu. Untuk sistem persamaan linier dengan lebih dari dua anu cara lain bisa lebih cepat.

 

Secara umum, untuk menyelesaikan sistem persamaan linier

bentuklah terlebih dahulu persamaan linier dalam x dan y sebagai berikut.

(A1x + B1y + C1) + L(A2x + B2y + C2) = 0 ; L ∊ ℝ

⇔ (A1 + LA2)x + (B1 + LB2)y + (C1 + LC2) = 0   …………………………………….. (**)

Catatan:

(**) merupakan persamaan garis-garis yang melalui titik potong antara garis dengan persamaan A1x + B1y + C1 = 0 dan garis dengan persamaan A2x + B2y + C2 = 0. [Lihat juga post saya yang berkenaan dengan ini.]

Untuk menentukan nilai x, substitusikan L ~=~ - ~ {B_{1}}/{B_{2}} ke dalam (**).

Dari hasil substitusi tersebut, akan diperoleh nilai x.

Untuk menentukan nilai y, substitusikan L ~=~ - ~ {A_{1}}/{A_{2}} ke dalam (**). Dari hasil substitusi tersebut, akan diperoleh nilai y.

 

Contoh 2

Tentukan penyelesaian bagi sistem persamaan berikut:

Jawab:

Sistem persamaan tersebut ekivalen dengan:

Bentuk persamaan linier yang baru sebagai berikut:

(2x – 5y + 1) + L(11x + 2y – 24) = 0 ; L ∊ ℝ

⇔ (2 + 11L)x + (-5 + 2L)y + (1 – 24L) = 0   ………………………………………….. (***)

Untuk menentukan nilai x, substitusikan L ~=~ 5/2 ke dalam (***) [sehingga koefisien y menjadi nol]. Sebagai akibatnya, diperoleh:

{59}/2 x ~-~ {118}/2 ~=~ 0

Dari sini diperoleh x = 2.

Untuk menentukan nilai y, substitusikan L ~=~ - ~ 2/{11} ke dalam (***) [sehingga koefisien x menjadi nol]. Sebagai akibatnya, diperoleh:

- ~ {59}/{11} y ~+~ {59}/{11} ~=~ 0

Dari sini diperoleh y = 1.

Jadi, penyelesaian untuk sistem persamaan linier tersebut adalah x = 2 dan y = 1.

Tagging:

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *