PENERAPAN TURUNAN DALAM OPTIMASI DI BIDANG EKONOMI

Maret 28th, 2017

Post kali ini menyajikan beberapa contoh bagaimana konsep turunan digunakan dalam optimasi di bidang ekonomi atau bisnis.

 

Contoh 1: (Meminimumkan Biaya Rata-rata)

Dalam produksi suatu barang, biaya totalnya adalah TC = (0,4Q2 + 500Q + 16000) rupiah. Berapakah banyaknya barang yang harus diproduksi agar biaya rata-ratanya (AC) minimum? Berapakah biaya rata-rata ninimum tersebut?

 

Jawab:

Biaya rata-rata (AC) dapat dinyatakan sebagai:

[pmath]AC(Q) ~=~ {TC}/Q[/pmath]

[pmath]AC(Q) ~=~ {0,4 Q^2 ~+~ 500 Q ~+~ 16000}/Q[/pmath]

[pmath]AC(Q)  ~=~ 0,4 Q ~+~ 500 ~+~ 16000/Q[/pmath]  ………………………………………………. (*1)

Untuk meminimumkan AC, bentuk persamaan [pmath]{dAC}/{dQ} ~=~ 0[/pmath]. Dengan rumus turunan, diperoleh:

[pmath]{dAC}/{dQ} ~=~ 0,4 ~-~ 16000 Q^{-2}[/pmath]

Dengan membuat [pmath]{dAC}/{dQ} ~=~ 0[/pmath], diperoleh persamaan:

0,4 Q2 – 16000 = 0

Q2 – 40000 = 0

(Q+200)(Q-200) = 0

Q1 = -200 dan Q2 = 200 [Q = -200 atau Q = 200]

Di sini diperoleh dua buah titik stasioner, yaitu Q1 = -200 dan Q2 = 200. Untuk menentukan mana di antara kedua nilai ini yang menghasilkan AC minimum, kita tentukan dulu AC”(Q) = [pmath]{d^2 AC}/{dQ^2}[/pmath], yaitu turunan dari [pmath]{dAC}/{dQ}[/pmath] terhadap Q. Dengan menggunakan rumus-rumus turunan, diperoleh:

[pmath]{d^2 AC}/{dQ^2} ~=~ 32000 Q^{-3}[/pmath]

Jika Q = -200 maka nilai turunan kedua AC terhadap Q adalah [pmath]{d^2 AC}/{dQ^2} ~=~ 32000 (-200)^{-3}[/pmath]

Karena turunan kedua AC terhadap Q tersebut negatif, nilai Q = -200 menghasilkan nilai maksimum relatif biaya rata-rata.

Jika Q = 200 maka nilai turunan kedua AC terhadap Q adalah:

[pmath]{d^2 AC}/{dQ^2} ~=~ 32000 .200^{-3}[/pmath]

 

Karena turunan kedua AC terhadap Q tersebut positif, nilai Q = 200 menghasilkan nilai minimum relatif biaya rata-rata.

Jadi, agar biaya rata-rata minimum, banyaknya barang yang harus diproduksi adalah 200 unit.

Untuk menentukan berapa biaya rata-rata yang minimum tersebut, substitusikan Q = 200 ke dalam (*1), diperoleh:

[pmath]AC(200)  ~=~ 0,4.200 ~+~ 500 ~+~ 16000/200 ~=~ 660[/pmath]

Jadi, biaya rata-rata minimumnya adalah Rp 660.

 

Contoh 2 (Memaksimalkan Penerimaan Total)

Diketahui permintaan terhadap suatu produk mengikuti persamaan berikut: P = (2700 – 9Q2) rupiah/unit. Berapakah banyaknya produk yang harus terjual agar penerimaan total (TR, Total Revenue) dari hasil penjualan tersebut maksimum?

 

Jawab:

Jika Q unit produk terjual maka penerimaan total (TR) yang terjadi adalah TR = PQ. Karena P = 2700 – 9Q2, diperoleh:

TR(Q) = (2700 – 9Q2).Q

TR(Q) = 2700Q – 9Q3     ………………………………………………………………………………. (*2)

Untuk meminimumkan TR, bentuk persamaan [pmath]{dTR}/{dQ} ~=~ 0[/pmath]. Dengan rumus turunan, diperoleh:

[pmath]{dTR}/{dQ} ~=~ 2700 ~-~ 27 Q^2[/pmath]

Dengan membuat [pmath]{dTR}/{dQ} ~=~ 0[/pmath], diperoleh persamaan:

2700 – 27Q2 = 0

100 – Q2 = 0

(10 + Q)(10 – Q) = 0

Q1 = -10 dan Q2 = 10 [Q =  -10 atau Q = 10]

Di sini diperoleh dua buah titik stasioner, yaitu Q1 = -10 dan Q2 = 10. Untuk menentukan mana di antara kedua nilai ini yang menghasilkan TR maksimum, kita tentukan dulu TR”(Q) = [pmath]{d^2 TR}/{dQ^2}[/pmath], yaitu turunan dari [pmath]{dTR}/{dQ}[/pmath] terhadap Q. Dengan menggunakan rumus-rumus turunan, diperoleh:

[pmath]{d^2 TR}/{dQ^2} ~=~ – ~ 54 Q[/pmath]

Jika Q = -10 maka nilai turunan kedua TR terhadap Q adalah [pmath]{d^2 TR}/{dQ^2} ~=~ -54.(-10) ~=~ 540[/pmath]

Karena turunan kedua TR terhadap Q tersebut positif, nilai Q = -10 menghasilkan nilai minimum relatif total penerimaan.

Jika Q = 10 maka nilai turunan kedua TR terhadap Q adalah [pmath]{d^2 TR}/{dQ^2} ~=~ -54.10 ~=~ -540[/pmath]

Karena turunan kedua TR terhadap Q tersebut negatif, nilai Q = 10 menghasilkan nilai maksimum relatif total penerimaan.

Jadi, agar total penerimaan maksimum, banyaknya barang yang harus terjual adalah 10 unit.

Untuk menentukan berapa total penerimaan yang maksimum tersebut, substitusikan Q = 10 ke dalam (*2), diperoleh:

TR(10) = 2700.10 – 9.103 = 27000 – 9000 = 18000

Jadi, total penerimaan maksimumnya adalah Rp 18.000.

 

Contoh 3 (Memaksimumkan Laba)

Permintaan terhadap suatu produk memenuhi persamaan P = (90 – 3Q) rupiah/unit dan total biaya (TC, Total Cost) untuk menghasilkan Q unit produk tersebut adalah TC = Q3/10 – 3Q2 + 60Q + 100. Berapakah banyaknya produk yang harus dijual agar diperoleh laba maksimum? Berapakah laba maksimum tersebut?

 

Jawab:

Jika Q unit produk terjual maka penerimaan total (TR) yang terjadi adalah TR = PQ. Karena P = 90 – 3Q, diperoleh:

TR(Q) = (90 – 3Q).Q

TR(Q) = 90Q – 3Q2

Selanjutnya, laba yang diperoleh (π), adalah

π = TR – TC

π(Q) = (90Q – 3Q2) – (Q3/10 – 3Q2 + 60Q + 100)

π(Q) = – Q3/10 + 30Q – 100    ……………………………………………………………………….. (*3)

Untuk memaksimumkan π, bentuk persamaan [pmath]{d pi}/{dQ} ~=~ 0[/pmath]. Dengan rumus turunan, diperoleh:

[pmath]{d pi}/{dQ} ~=~ – ~ 3/10 Q^2 ~+~ 30[/pmath]

Dengan membuat [pmath]{d pi}/{dQ} ~=~ 0[/pmath], diperoleh persamaan:

[pmath]-~ 3/10 Q^2 ~+~ 30 ~=~ 0[/pmath]

Q2 – 100 = 0

(Q + 10)(Q – 10) = 0

Q1 = -10 dan Q2 = 10 [Q = -10 atau Q = 10]

Di sini diperoleh dua buah titik stasioner, yaitu Q1 = -10 dan Q2 = 10. Untuk menentukan mana di antara kedua nilai ini yang menghasilkan π maksimum, kita tentukan dulu π”(Q) = [pmath]{d^2 pi}/{dQ^2}[/pmath], yaitu turunan dari [pmath]{d pi}/{dQ}[/pmath] terhadap Q. Dengan menggunakan rumus-rumus turunan, diperoleh:

[pmath]{d^2 pi}/{dQ^2} ~=~ – ~ 3/5 Q ~=~ – ~ 0,6 Q[/pmath]

Jika Q = -10 maka nilai turunan kedua π terhadap Q adalah [pmath]{d^2 pi}/{dQ^2} ~=~ -~ 0,6.(-10) ~=~ 6[/pmath]

Karena turunan kedua π terhadap Q tersebut positif, nilai Q = -10 menghasilkan nilai minimum relatif laba.

Jika Q = 10 maka nilai turunan kedua π terhadap Q adalah [pmath]{d^2 pi}/{dQ^2} ~=~ -~ 0,6.10 ~=~ – ~ 6[/pmath]

Karena turunan kedua π terhadap Q tersebut negatif, nilai Q = 10 menghasilkan nilai maksimum relatif laba.

Jadi, agar laba mencapai nilai maksimum, banyaknya barang yang harus terjual adalah 10 unit.

Untuk menentukan berapa laba yang maksimum tersebut, substitusikan Q = 10 ke dalam (*3), diperoleh:

π(10) = – 103/10 + 30.10 – 100 = 100

Jadi, laba maksimumnya adalah Rp 100.

 

File presentasi: Applications of Derivatives in Business Optimization

 

Latihan Soal: Exercises on Application of Derivatives in Business Optimization

Tagging: , , , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *