ONE-WAY ANOVA

Maret 30th, 2020

Uji t 2-sampel digunakan untuk memeriksa selisih di antara rata-rata dua populasi. Uji tersebut sering digunakan untuk memeriksa apakah dua populasi memiliki rata-rata yang sama. Bagaimana apabila sekarang terdapat lebih dari dua populasi dan kita ingin mengetahui apakah populasi-populasi tersebut memiliki rata-rata yang sama? Pertanyaan ini dijawab dengan menggunakan one-way ANOVA (one-way analysis of variance). One-way ANOVA merupakan perluasan dari uji t untuk perbedaan dua rata-rata populasi dengan variansi sama (pooled variance t test for the difference between two means).

Contoh-contoh kasus yang dapat dijawab oleh one-way ANOVA, misalnya:

Apakah beberapa buah kantor cabang penjualan suatu produk memiliki rata-rata hasil penjualan yang sama?
Apakah beberapa pabrik yang memproduksi suatu barang sama dalam hal rata-rata persentase barang cacat yang dihasilkan?
Apakah beberapa metode pelatihan yang berbeda yang diterapkan kepada pegawai baru memberikan hasil yang berbeda?
Apakah ada perbedaan dalam hal rata-rata lamanya anak-anak usia Taman Kanak-kanak menonton iklan makanan, mainan, dan pakaian?

Asumsi-asumsi ANOVA
1. Syarat kenormalan: masing-masing populasi berdistribusi normal
2. Syarat kehomogenan variansi: semua populasi bervariansi sama
3. Setiap sampel yang diambil merupakan sampel acak yang saling bebas

Jika terdapat k buah populasi yang akan diuji rata-ratanya, maka dalam one-way ANOVA pasangan hipotesisnya adalah:

H₀: ${\mu}_1 = {\mu}_2 = {\mu}_3 = \cdots = {\mu}_k$
H₁: tidak semua ${\mu}_j$ bernilai sama (j = 1, 2, 3, …, k)

Statistik uji yang digunakan adalah: $F = \frac{MSA}{MSE}$
Daerah kritis uji ini adalah $F > F_{\alpha}$ , di mana $F_{\alpha}$ adalah nilai kritis distribusi F untuk taraf nyata $\alpha$ , derajat kebebasan pembilang ${\nu}_1=k-1$ dan derajat kebebasan penyebut ${\nu}_2 = n - k$ .
Pada statistik F di atas,
$MSA = \frac{SSA}{k-1}$ (= mean square treatment atau rata-rata kuadrat treatment)
$MSE = \frac{SSE}{n-k}$ (= mean square error atau rata-rata kuadrat galat)
$SSA = \sum_{j=1}^{k} n_j ({\bar{X}}_j - {\bar{X}}_G)^2$ (= jumlah kuadrat treatment)
$SSE = \sum_{j=1}^{k} {\sum_{i=1}^{n_j} (X_{ij}-{\bar{X}}_j)^2}$ (= jumlah kuadrat galat)
${\bar{X}}_G=\frac{\sum_{j=1}^{k} {\sum_{i=1}^{n_j} X_{ij}}}{n}$ (dinamakan grand mean, rata-rata keseluruhan)
$n=\sum_{j=1}^{k} n_j$ (total banyaknya sampel)
$X_{ij}$ adalah sampel ke-i yang diambil dari populasi ke-j
${\bar{X}}_j$ adalah rata-rata sampel yang diambil dari populasi ke-j (= rata-rata treatment)
$n_j$ adalah banyaknya sampel yang diambil dari populasi ke-j

Catatan:
Dalam ANOVA, jumlah antara SSA dan SSE adalah SST, yaitu Sum of Squares Total: SST = SSA + SSE

Dalam one-way ANOVA, dari masing-masing populasi yang akan diperbandingkan rata-ratanya, diambil sejumlah sampel. Untuk mengidentifikasikan populasi yang berbeda dalam one-way ANOVA, biasa digunakan istilah treatment. Jadi, dalam memperbandingkan k buah populasi dengan one-way ANOVA, kita dihadapkan pada k buah treatment. Misalnya, pada contoh kasus 4 di atas, terdapat tiga buah treatment, yaitu iklan mainan, iklan makanan, dan iklan pakaian. Sampel ke-i yang diambil dari treatment j dilambangkan dengan $X_{ij}$ . Di tahap awal setelah nilai-nilai $X_{ij}$ didapatkan perlu dihitung rata-rata sampel masing-masing treatment ${\bar{X}}_j$ untuk j = 1, 2, 3, …, k. Selain itu, rata-rata keseluruhan ${\bar{X}}_G$ juga dihitung dengan rumus yang telah diuraikan di atas. Setelah semua rata-rata ini dihitung, statistik F dapat dihitung.

Contoh
Untuk mengetahui apakah di antara Kabupaten Bandung, Bandung Barat, dan Cimahi terdapat perbedaan rata-rata penghasilan penduduknya, diambil sampel acak penduduk masing-masing daerah tersebut. Dari populasi penduduk Kab. Bandung diambil 10 sampel, dari Bandung Barat 5 sampel, dan dari Cimahi juga 5 sampel. Hasil sampling tersebut (dalam satuan juta Rupiah) diringkaskan dalam tabel berikut.

Apakah terdapat perbedaan rata-rata penghasilan penduduk di ketiga daerah tersebut? Gunakan taraf nyata 0,05. Anggaplah masing-masing populasi berdistribusi normal dan memiliki variansi yang sama.

Misalkan:
Rata-rata penghasilan penduduk Kab. Bandung adalah ${\mu}_1$
Rata-rata penghasilan penduduk Kab. Bandung Barat adalah ${\mu}_2$
Rata-rata penghasilan penduduk Kota Cimahi adalah ${\mu}_3$

H₀: ${\mu}_1 = {\mu}_2 = {\mu}_3$ (Rata-rata penghasilan penduduk di ketiga daerah sama)
H₁: Rata-rata penghasilan penduduk di antara ketiga daerah tersebut ada yang berbeda

Taraf nyata: $\alpha = 0,05$

Statistik uji yang digunakan adalah $F = \frac{MSA}{MSE}$

Untuk menentukan daerah kritis dalam uji ini, hitung dulu derajat kebebasan (df) pembilang dan penyebut. Dalam contoh ini ada 3 buah treatment, sehingga k = 3, dan diperoleh derajat kebebasan pembilang adalah $df_1 = k - 1 = 3 - 1 = 2$ . Total banyaknya sampel adalah $n = n_1 + n_2 + n_3 = 10 + 5 + 5 = 20$ , sehingga derajat kebebasan penyebut adalah $df_2 = n - k = 20 - 3 = 17$ . Dari tabel nilai kritis F untuk $\alpha = 0,05, \: {\nu}_1 = 2, \: {\nu}_2 = 17$ , diperoleh nilai kritis sebesar 3,59. Jadi, kriteria untuk menolak hipotesis nol adalah F > 3,59.

Langkah berikutnya adalah menghitung nilai F hasil sampling. Ini diawali dengan menghitung rata-rata sampel masing-masing treatment.
Kab. Bandung: ${\bar{X}}_1=\frac{4,2+3,7+2,8+ \cdots +2,9 }{10} = \frac{40}{10} = 4,0$
Kab. Bandung Barat: ${\bar{X}}_2 = \frac{1,5+4,2+2,0+4,1+3,2}{5} = \frac{15}{5} = 3,0$
Kota Cimahi: ${\bar{X}}_2 = \frac{1,8+4,2+5,4+3,8+4,8}{5} = \frac{20}{5} = 4,0$
(Lihat tabel berikut)

$n = n_1 + n_2 + n_3 = 10 + 5 + 5 = 20$
Grand mean hasil sampling tersebut adalah ${\bar{X}}_G = \frac{40,0+15,0+20,0}{20} = 3,75$
$SSA = n_1 ({\bar{X}}_1 - {\bar{X}}_G)^2 + n_2 ({\bar{X}}_2 - {\bar{X}}_G)^2 + n_3 ({\bar{X}}_3 - {\bar{X}}_G)^2$
$SSA = 10 \cdot (4 - 3,75)^2 + 5 \cdot (3 - 3,75)^2 + 5 \cdot (4 - 3,75)^2 = 3,75$
$MSA = \frac{SSA}{k-1} = \frac{3,75}{3-1} = 1,875$
$SSE = \sum_{i=1}^{10} (X_{i1} - {\bar{X}}_1)^2 + \sum_{i=1}^{5} (X_{i2} - {\bar{X}}_2)^2 + \sum_{i=1}^{5} (X_{i3} - {\bar{X}}_3)^2$
$SSE = \left[ \sum_{i=1}^{10} (X_{i1} - 4,0)^2 \right] + \left[ \sum_{i=1}^{5} (X_{i2} - 3,0)^2 \right] + \left[ \sum_{i=1}^{5} (X_{i3} - 4,0)^2 \right]$
$SSE = [(4,2 - 4)^2 + \cdots + (2,9 - 4)^2] + [(1,5 - 3)^2 + \cdots + (3,2 - 3)^2] + [(1,8 - 4)^2 + \cdots + (4,8 - 4)^2]$
$SSE = 9,46 + 5,94 + 7,52 = 22,92$
$MSE = \frac{SSE}{n-k} = \frac{22,92}{20-3} \approx 1,35$
$F = \frac{MSA}{MSE} = \frac{1,875}{1,35} \approx 1,39$

Karena hasil sampling menunjukkan F = 1,39 (sedangkan daerah kritisnya adalah F > 3,59) kita tidak dapat menolak hipotesis nol. Tidak cukup bukti untuk menyatakan adanya perbedaan signifikan di antara rata-rata pendapatan penduduk ketiga daerah tersebut.

Catatan:
Hasil perhitungan ANOVA biasanya ditampilkan dalam Tabel Ringkasan ANOVA dengan format berikut.

Jadi, pada contoh ini, Tabel Ringkasan ANOVA-nya adalah sebagai berikut.

edscyclopedia.com

Untuk anak bangsa yang lebih cerdas

ONE-WAY ANOVA

Catatan:
Dalam ANOVA, jumlah antara SSA dan SSE adalah SST, yaitu Sum of Squares Total: SST = SSA + SSE

Tabel nilai kritis F dapat diunduh di (klik di sini)

Youtube Channel materi ini: (klik di sini)

File pdf materi di Youtube Channel di atas : (klik di sini)

Latihan Soal: (klik di sini)

Most visitors also read :

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Arsip

Kategori

Follow Us!

edscyclopedia.com

Untuk anak bangsa yang lebih cerdas

ONE-WAY ANOVA

Catatan: Dalam ANOVA, jumlah antara SSA dan SSE adalah SST, yaitu Sum of Squares Total: SST = SSA + SSE

Tabel nilai kritis F dapat diunduh di (klik di sini)

Youtube Channel materi ini: (klik di sini)

File pdf materi di Youtube Channel di atas : (klik di sini)

Latihan Soal: (klik di sini)

Bagikan ini:

Most visitors also read :

DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SINGULAR VALUE DECOMPOSITION)

MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATOR

JARAK STATISTIKAL

SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Arsip

Kategori

Follow Us!

Catatan:
Dalam ANOVA, jumlah antara SSA dan SSE adalah SST, yaitu Sum of Squares Total: SST = SSA + SSE