MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DENGAN ELIMINASI GAUSS-JORDAN (1)

 

Di post saya yang lalu, telah diuraikan beberapa teknik penyelesaian sistem persamaan linier (SPL). Cara-cara tersebut mungkin cukup cepat dilakukan apabila banyaknya anu relatif sedikit. Tetapi apabila banyaknya anu cukup banyak, cara-cara tersebut bisa kalah cepat dengan eliminasi Gauss-Jordan.

 

Bagaimana menyelesaikan suatu SPL dengan eliminasi Gauss-Jordan? Sebelum menjawab ini, marilah kita perhatikan dulu secara garis besarnya. Perhatikan SPL berikut ini.

[pmath]delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{2x+y+4z=4} {x+y=1} {2x+5y+4z=12}}}{ }[/pmath]

SPL tersebut dapat ditulis kembali seperti ini:

Untuk menyederhanakan, SPL tersebut dituangkan dalam suatu matriks, yang disebut augmented matrix, matriks yang diperluas:

Augmented matrix tersebut kemudian “diolah” [menggunakan serangkaian operasi yang disebut dengan operasi baris elementer (elementary  row operations) yang akan diuraikan kemudian] sehingga diperoleh hasil akhir berupa matriks berikut.

Dari matriks tersebut kita peroleh penyelesaian dari SPL yang dimaksud, yaitu x = -1, y = 2, dan z = 1. Matriks terakhir tadi merupakan matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi (reduced row echelon form) atau kanonik baris (row canonical form). Eliminasi Gauss-Jordan pada prinsipnya mengubah augmented matrix awal (menggunakan operasi baris elementer) sehingga pada akhirnya diperoleh matriks dalam bentuk kanonik baris. Dari matriks dalam bentuk kanonik baris ini kemudian disimpulkan penyelesaian dari SPL tersebut.

 

Operasi-operasi yang diperkenankan dalam Operasi Baris Elementer (OBE):

1. Menukar baris ke-i (R_i) dengan baris ke-j (R_j): R_i ↔ R_j
2. Mengalikan suatu baris R_i dengan suatu konstanta k ≠ 0: R_i →R_i
3. Menjumlahkan suatu baris R_i dengan hasil kali baris R_j dengan konstanta k: R_i → R_i+kR_j

 

Operasi mana pun yang dijalankan akan menghasilkan matriks yang ekivalen/setara dengan matriks sebelumnya.

Note: untuk menyatakan matriks A setara dengan matriks B, kita menyatakannya dengan A ~ B.

 

Contoh 1: R_i ↔ R_j

Matriks semula:

[pmath]delim{[}{matrix{4}{3}{2 0 1 {-1} 3 4 7 1 1 0 5 {-3}}}{]}[/pmath]

R₁ ↔ R₃ merupakan operasi menukarkan baris pertama dengan baris ketiga, sehingga dihasilkan matriks:

[pmath]delim{[}{matrix{4}{3}{7 1 1 {-1} 3 4 2 0 1 0 5 {-3}}}{]}[/pmath]

 

Contoh 2: R_i → k.R_i

Matriks semula:

[pmath]delim{[}{matrix{4}{3}{2 0 1 {-1} 3 4 7 1 1 0 5 {-3}}}{]}[/pmath]

R₂ → 5.R₂ merupakan operasi mengalikan baris kedua matriks semula dengan 5, sehingga dihasilkan matriks:

[pmath]delim{[}{matrix{4}{3}{2 0 1 {-5} {15} {20} 7 1 1 0 5 {-3}}}{]}[/pmath]

 

Contoh 3: R_i → R_i+kR_j

Matriks semula:

[pmath]delim{[}{matrix{4}{3}{2 0 1 {-1} 3 4 7 1 1 0 5 {-3}}}{]}[/pmath]

R₁ → R₁ + 2R₂ merupakan operasi menjumlahkan baris pertama dengan hasil kali baris R₂ dengan konstanta 2:

sehingga dihasilkan matriks:

[pmath]delim{[}{matrix{4}{3}{0 6 9 {-1} 3 4 7 1 1 0 5 {-3}}}{]}[/pmath]

 

Contoh 4: R_i → R_i+kR_j

Matriks semula:

[pmath]delim{[}{matrix{4}{3}{2 0 1 {-1} 3 4 7 1 1 0 5 {-3}}}{]}[/pmath]

R₃ → R₃ + (-3)R₁ merupakan operasi menjumlahkan baris ketiga dengan hasil kali baris R₁ dengan konstanta (-3):

sehingga dihasilkan matriks:

[pmath]delim{[}{matrix{4}{3}{2 0 1 {-1} 3 4 1 1 {-2} 0 5 {-3}}}{]}[/pmath]

 

Matriks eselon adalah matriks yang memenuhi kedua syarat berikut.

1. Setiap baris yang semua unsurnya bernilai nol menempati bagian terbawah matriks.
2. Setiap unsur tak nol terdepan terletak lebih kanan dari unsur tak nol terdepan pada baris sebelumnya

 

Suatu matriks dikatakan dalam bentuk kanonik baris apabila memenuhi ketiga syarat berikut.

1. Matriks tersebut merupakan matriks eselon.
2. Setiap unsur tak nol terdepan bernilai 1.
3. Setiap unsur tak nol terdepan merupakan satu-satunya unsur tak nol di kolomnya

 

 Contoh 5

Perhatikan matriks:

[pmath]A ~=~ delim{[}{matrix{4}{6}{2 0 {-1} 4 2 3 0 0 3 0 1 {-5} 0 0 0 0 0 0 0 0 0 {-2} 1 8}}{]}[/pmath]

A bukan matriks eselon karena baris yang semua unsurnya bernilai nol tidak menempati bagian terbawah matriks.

 

Contoh 6

Perhatikan matriks:

[pmath]B ~=~ delim{[}{matrix{4}{6}{1 {-1} 0 4 2 1 0 0 0 7 0 5 0 0 9 1 2 6 0 0 0 0 0 0}}{]}[/pmath]

B bukan matriks eselon karena unsur tak nol terdepan baris ke-3 (yaitu 9) tidak terletak lebih kanan dari unsur tak nol terdepan pada baris sebelumnya (yaitu 7).

 

Contoh 7

Perhatikan matriks:

[pmath]C ~=~ delim{[}{matrix{4}{6}{1 0 0 0 0 5 0 0 6 0 0 {-3} 0 0 0 1 7 0 0 0 0 0 0 0}}{]}[/pmath]

C merupakan matriks eselon, namun tidak dalam bentuk kanonik baris karena unsur tidak nol terdepan baris ke-2 (yaitu 6) tidak bernilai 1.

 

Contoh 8

Perhatikan matriks:

[pmath]D ~=~ delim{[}{matrix{6}{7}{1 0 0 0 0 0 3 0 1 0 0 0 0 5 0 0 0 1 {-3} 2 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0}}{]}[/pmath]

D merupakan matriks eselon, namun tidak dalam bentuk kanonik baris karena unsur tak nol terdepan baris ke-4 (yaitu 1) bukan merupakan satu-satunya unsur tak nol di kolomnya (yaitu kolom 5); pada kolom 5 tersebut ada unsur tak nol lain, yaitu -3.

 

Contoh 9

Perhatikan matriks:

[pmath]E ~=~ delim{[}{matrix{6}{6}{1 0 0 0 {-3} 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0}}{]}[/pmath]

E merupakan matriks dalam bentuk kanonik baris.

 

Contoh 10

Perhatikan matriks:

[pmath]F ~=~ delim{[}{matrix{2}{5}{1 0 0 0 4 0 0 0 1 6}}{]}[/pmath]

F merupakan matriks dalam bentuk kanonik baris.

 

Contoh 11

Perhatikan matriks:

[pmath]G ~=~ delim{[}{matrix{2}{3}{0 0 0 0 0 0}}{]}[/pmath]

G merupakan matriks dalam bentuk kanonik baris.

 

Contoh 12

Perhatikan matriks:

[pmath]H ~=~ delim{[}{matrix{5}{4}{1 0 0 3 0 1 0 {-1} 0 0 1 8 0 0 0 0 0 0 0 0}}{]}[/pmath]

H merupakan matriks dalam bentuk kanonik baris.

 

Contoh 13

Perhatikan matriks:

[pmath]I ~=~ delim{[}{matrix{3}{3}{1 0 0 0 1 0 0 0 1}}{]}[/pmath]

I merupakan matriks dalam bentuk kanonik baris.

 

Contoh 14

Perhatikan matriks:

[pmath]J ~=~ delim{[}{matrix{3}{4}{1 0 0 3 0 1 0 5 0 0 1 {-4}}}{]}[/pmath]

J merupakan matriks dalam bentuk kanonik baris.

 

Di bagian awal post ini telah dikatakan bahwa eliminasi Gauss-Jordan pada prinsipnya menerapkan operasi baris elementer untuk mengubah augmented matrix awal menjadi matriks dalam bentuk kanonik baris. Dari matriks dalam bentuk kanonik baris ini kemudian disimpulkan penyelesaian dari SPL tersebut. Kita telah mengenal operasi baris elementer maupun matriks dalam bentuk kanonik baris. Sekarang, bagaimana cara menerapkan operasi baris elementer tersebut sehingga dihasilkan matriks dalam bentuk kanonik baris? Ini akan dibahas pada post saya berikutnya.

 

Tagging: elementary row operations, Gauss-Jordan, kanonik baris, matriks eselon, operasi baris elementer

Most visitors also read :

BERKENALAN DENGAN NILAI DAN VEKTOR EIGEN



DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SINGULAR VALUE DECOMPOSITION)



MATRIKS AKAR KUADRAT



SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA