MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT DENGAN RUMUS abc

Pebruari 12th, 2017

Persamaan kuadrat adalah persamaan dengan bentuk umum ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0. Ada beberapa teknik yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaian (atau akar-akar) suatu persamaan kuadrat. Salah satunya adalah dengan teknik pemfaktoran, yang sudah pernah dimuat pada post saya terdahulu. Kelemahan dari teknik pemfaktoran adalah sulit diterapkan apabila akar-akar persamaan tersebut irasional. Dalam post kali ini akan diuraikan metode lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu yang sering dinamakan rumus abc.

 

Misalkan diberikan suatu persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Persamaan kuadrat ini ekivalen dengan persamaan kuadrat ax2 + bx = -c. Karena a ≠ 0, kita dapat membagi kedua ruas persamaan itu dengan a, sehingga diperoleh:

x^2 ~+~ b/a x ~=~ - ~ c/a

x^2 ~+~ b/a x ~+~ {b^2}/{4a^2} ~=~ {b^2}/{4a^2} ~-~ c/a

Perhatikan bahwa (p + q)2 = p2 + 2pq + q2. Dengan mensubstitusikan p = x dan q ~=~ b/{2a} ke dalam rumus tersebut, ruas kiri persamaan kuadrat di atas adalah sama dengan (x ~+~ b/{2a})^2 sehingga persamaan tersebut dapat ditulis kembali sebagai berikut:

(x ~+~ b/{2a})^2 ~=~ {b^2 ~-~ 4ac}/{4a^2}

Dengan menarik akar kuadrat dari kedua ruas persamaan tersebut, diperoleh:

x ~+~ b/{2a} ~=~ pm {sqrt{b^2 ~-~ 4ac}}/{2a}

x ~=~ - ~ b/{2a} pm {sqrt{b^2 ~-~ 4ac}}/{2a}

x ~=~ {- ~ b pm sqrt{b^2 ~-~ 4ac}}/{2a}

Rumus di atas populer dengan rumus abc!

Jika D = b2 – 4ac maka hasil tersebut dapat dinyatakan kembali sebagai:

x ~=~ {- ~ b pm sqrt{D}}/{2a}

D dinamakan diskriminan. Ada tiga kemungkinan bagi D, yaitu D > 0, D = 0, atau D < 0.

 

D > 0

Jika D > 0 maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar yang berbeda nilainya, yaitu:

x_{1} ~=~ {- ~ b ~+~ sqrt{D}}/{2a} atau

x_{2} ~=~ {- ~ b ~-~ sqrt{D}}/{2a}

 

D = 0

Jika D = 0 maka x1 = x2. Dengan kata lain, persamaan kuadrat tersebut memiliki akar kembar, hanya memiliki sebuah akar.

 

D < 0

Jika D < 0 maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar yang merupakan bilangan nyata. Persamaan ini memiliki dua akar yang merupakan bilangan kompleks.

 

Contoh 1

Tentukan akar-akar persamaan 2x2 – 5x – 3 = 0.

Jawab:

Pada contoh ini, a = 2, b = -5, dan c = -3. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus abc, diperoleh:

x ~=~ {-(-5) pm sqrt{(-5)^2 ~-~ 4.2.(-3)}}/{2.2}

x ~=~ {5 pm sqrt{49}}/4

x ~=~ {5 pm 7}/4

x_{1} ~=~ {5 ~+~ 7}/4 ~=~ 3 dan x_{2} ~=~ {5 ~-~ 7}/4 ~=~ - ~ 1/2

Jadi persamaan ini memiliki dua akar berlainan, yaitu x = 3 atau x = – ½. [Perhatikan bahwa pada contoh ini, D = 7 > 0.]

 

Contoh 2

Tentukan penyelesaian dari persamaan -x2 + 6x – 9 = 0.

Jawab:

Pada contoh ini, a = -1, b = 6, dan c = -9. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus abc, diperoleh:

x ~=~ {- ~ 6 pm sqrt{6^2 ~-~ 4.(-1).(-9)}}/{2.(-1)}

x ~=~ {- ~ 6 pm sqrt{0}}/{-2}

x = 3 [Perhatikan bahwa pada contoh ini D = 0 sehingga persamaan hanya memiliki sebuah akar.]

 

Contoh 3

Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut: 5x2 – 3x + 10 = 0.

 

Jawab:

Pada contoh ini, a = 5, b = -3, dan c = 10. Perhatikan bahwa D = (-3)2 – 4.5.10 = – 191 < 0. Karena D < 0, persamaan kuadrat ini tidak memiliki akar yang merupakan bilangan nyata.

 

Tagging: , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *